LIVRE IV, G H A P. IV. 3i

est saivant P^olémêe =:6*2o^ suivant Mayer =; 6° i8'33'''. Elle change, en. vertu de la seconde inégalité que les astronomes modernes ont appelée Eveo" iîoj}, de 5^ à 7*4^^: Févection est donc suivant Ptoléraée zz 1*20', suivant Mayerzr: i^ 20^ o/^^\ La grande précision, avec laquelle Piolémée a déterminé ces deux inégalilés'principales de la lune, est vraiment étonnante. Il faut cepeifdant remarquer, qu'il suivait nécessairement de sa manière d'observer, que sa détermination de cliacune de ces deux équations en particulier était défectueuse. Suivant les recherclies modernes, révection est à peu près zzz -|- 80' sin ;> — 2 -vil, l'équation du centre z= — -6° ig'^ sin ]a. Dans les syzy-gies on a aviizio, dans les quadratures ai^zz: i8o°- Les anciens, en n'observant que les éclipses ou les syz>gies, devaient trouver l'équation de la lune r~ — 6^ 39' sin jx. -|- 80' sin }x zzz — 5* sin m- , d'où il résulta la .plus grande équation zz: 5®. Or Ptoiémée prenant cette valeur pour base de ses observations de la lune dans les quadratures, où réquaiion est zz — ô^.g'sinja — So'siri j^ zz — 7 " 40' sin /x, il trouva la seconde équation ou l'évection zz^°4o' — 5°zZ2i°4o'. §. îqS. Par le moyen de ces deux équations, Ptoiémée parvint à accorder les observations avec sa tîiéorie, aussi bien dans les quadratures que dans les syzygîesj mais dans les autres aspects, principalement dans les octants, la lune étant en même tems dans les apsides, il se trouva encore une différence considérable. Ayant examiné avec soin cette nouvelle inégalité, il crut y satisfaire par l'hypothèse suivante. Il avait supposé, que le centre de l'épicycle extournait autour de la terre T suivant l'ordre des signet, au lieu que la lune parcourait l'épicycle contre Tordre des signes, depuis l'apogée B suivant BC, et que les deux mouvemens étaient uniformes. Cela posé, Ptoiémée supposa encore, que le point B, qui n'est le vrai apogée que lorsque C coindde avec fapogée A de l'excentrique, avait aussi un mouvement rétrograde vers P, ensorte que la droite F C, dont la lune s'éloigne d'une manière uniforme , ne passait plus par T, mais par un point G, aussi éloigné de T, que T l'est du centre E {Ii'g, 54.)= Il fonda cette hypothèse sur une observation d'Hipparque, qui donna les longitudes vraies du soleil z:II^'J*4^^ ^^ ^^ ^"'^^ zz 11^ 21° i8'zz C, les longitudes moyennes du soleil zz i^6^4'^^^ ^' ^^ '* lune zz 12/22* iJ'zzL, et l'anomalie moyenne de la lune zz iB5*do :zz^.

3i6; ■ A s T R 0. N 0 MIE; R. A T; 1 0 N Ni E L L E- Le lieui moyen de la iune était donc sur. T C, et ayant fait CT C •=:£ — C =4^^ la lune était en C. Or le centre C s'éloignant de A avec une vitesse deux foit plus gi-ande que le mouvement &ynodique(§..i^5.), on a ATGi:36o"— 2(L — M-) ^1:88*56', et suiv-ant. la dernière hypothèse,. FcH C.z:::/^, donc GC C :=M- — i8o* =:5^3o'. Connaissant dans le triangle GTE, GE—a,.TEzze, GTE — BB^oe', on trouve T G zza.. 0,9814439- Maintenant on connaît, dans. le triangle CTC>. TC,. GC 3z::c^ GTC=^4'^'3 d'où l'on tire TGC=^6?i^', ou suivant Ptolémée- 6" 21', Connaissant donc dans, le triangle TCG,TGG=:TCC-[-GCCzr II** 46', CTGzz: 180° — CTA=::,9i*'4',. et TC,. on trouve TG = «.0,2002^: à peu près égale à. KTz^e (§, igS.),. D'autres observations lui donnèrent. le même: résultat O».

Il s'en suivait, que; le- vrai mouvement des apsides autour de T n'étaitpas- oniform.g, mais qu'il avait, besoin d'une correction, donnée par l'angleliCH. En. effet, si l'on nomme la longitude moyenne de la lune zzz A,, son snomalie moyenne rrB^ la. longitude- vraie de l'apogée m C)- on. & con?stamment. B-Zz: A—C^ eu C :=i A— B^ donc le mouvement de l'apogée :z:A — BzrTTC — BCC {Fig. S'a.) ($. 195.), Mais suivant l'hypothèse de- Ptolémée, que le mouvement anomalistique est uniforme relativement au; point F, B ne sera plus égal à BCC, mais B:ii:EC€, donc le moavementl vrai de l'apogée zziA — B m: TTC — ECCj et la eorrection des- apsides? :=:(TTG — FCC) — (TTC— BGc)z=:BCC ~EGC=:BCFz=:TCG,. ou.; zuLCH (/%, 54.)' Cet anglei devient un maximum^ lorsque GT est perpendiculaire à AT, c'est-à-dire dans les oclsnis, vu que AT G est le doubler

de la< distance de la lune aux syzygies. Alors on a &in LGJH nr , et'

€' GGrrCE, donc ski LGIizn — , et LGH:^ ïa°ii''; ce qui est parfaitemenf.

d'àccord avec la théorie moderne.. Suivant Ptolémée , cette correction des'

apsides 3 tantôt positive tantôt' négative, monte à' i3*^9'. Comme il n^avaif

employé pour ces observations, que lès octants, où la lune était en même'

Jeins dans les apsides, enscrte que le double de la distance d\j soleil au^e:

apsides de la lune était également 90®, l'argument de cette correction pou-

£ I V R E IT,. C H^ A P., IV.. ^ij

vait être deux fois la distance da soleil à, la Itine ou à ses apsideSi Pto^ îiémée clioisit le premier; mais la théorie et les observations modernes ont donné le résultat, que Fcquation des apsides dépend de deux fois îa distance du soleil à Papogée de la lune-, et que sa plus grande valeur est de 12*' à i3*. Ptolémée a donc déterminé cette correction avec une grande précision, mais il en a donné une explication qui n'est pas juste. 11 Tap*^ pelle la correction^ tantôt posîtwe tantôt négative, de l'apogée de ^excentrique (^^). Il paraît que la plupart des astronomes modernes ne s'en sont pas aperçus", puisqu'ils en parlent comme d'une découverte du i^me siècle, due à la me* sure du diamètre de la lune (^).

§: 197, Les> astronomes modernes ont' trouvé, par les retîiercîies lès plus- soignées-, les deux premières inégalités de la lune, à très-peu près telies que Ptolémée les avait déterminées^ et la petite différence est plutôt le résultat de la théorie de l'attraction que des observations. L'équatit)n elliptique pu du centre est, suivant les tables de M. Biirg, 6°ï8'a8'^. l'évection i*2o'3o''^, donc la plus grande valeur des deux inégalités réunies 'j'*àg\ de i' plus^ petite que suivant Ptolémée. L'équation 6®' 18' 28'' donne (§. i4o. VIIL). l'excentricité 7 zn o,o55o266'.

Dans les- tems modernes •, la mesure exacte du diamètre dé la liin^ avec les micromètres, a servi à déterminer avec une grande précisioii le vrai lieu eî le mouvement vrai des apsides de la lune: et sa comparaison avec le mouvement, moyen qui est exactement connu, a indiqué d'une ma» nière fort simple, que le lieu vrai des apsides est plus ou moins avancé que le lieu moyen, mais tout au plus de 12® 18^. Getle différence est nulle,. ai le soleil est dans la ligne des apsides de la lune, ou s'il en est éloigné de gQ°p e41e est un maximum, lorsque le soleil eist éloigné des apsides de 45**. Or comme cela peut arriver de quatre manières, on a observé, que la correction est positive, c'es;t-à-dire que Papogée vtrai< est plus avancé de la® 18' que le lieu moyen , lorsque la longitude du soleil est plus grande de 45** ou de 225.° que celle de Papogée de la lune, niiais que la correctioïï.

(l; iKKiVT^it ■K§os6v.(pQt.iûtats «.Ttoy^t» {^Ahn. L. V ■ C. 7. Colonne 3. de la Tahle^ pag, Sxj.), (?) tdiironomls par Lalande, Tem. 11. .§. X^l> 1437. Ji>o§y l6a.'. 1^5. édii» Z/

est nêgativ^e, quand cette durérence est de i35* ou de 3i5*. Il est aisé de voir^ que c'est parfaitemenî d'accord avec riiypollièse de Ptolêmêe, saivant laquelle les lienx vrai et moyeii de l'apogée sont sur les lignes TCc et GGF {lîg^ 54.)' le lieu Trai est donc moins avancé que le lieu moyen, comme dans ia. Jjgure, dans le dernier demi-cercle PGÂ, c^est-à-dire dans le second et le quatrième quadrans de la distance du soleil à. l'apogée de l» lune, parceque le mouvement de l'épicycle G sur la circonférence de Ves.' centrique est le double du mouvement synodique (^. igD.)^ dans l'a,utre demi-cercle, c^est-à-dire dans le premier et le iroisième quadrans ^q cette distance, le lieu vrai est plus avancé que Iç lieu moyen. Il est aussi aisé de voir, que cette correction est intimement liée avec révection. Il suit de ce qui précède, que Tune et l'autre dépendent de la distance du soleil à Fappgée de la lune, de la manière suivante. En nommant cette distance zz: a, l'apogée de la lune zz: A, sa correction mB, la correction de l'équation du centre zrE, on a vu que, a étant o ou iBo', B est nul et E un maximum positif^ que a étant 90" ou 1270*, B est nul et E un maximum négatifj que « étant 45* ou 226®, B est un maximum positif et E nul; -qu^'enfin a étant i35° ou 3i5°, B est un maximum négatif et E nul (§. 195. 196.), ainsi que le présente la table suivante, dans laquelle le maximum positif et négaiif «aî cléstgné par -f- ^ ^^ — ^- *■

Il ne sera pas inutile d'observer, qu'il ne faut pas confondre î'éveclîoiî dans le sens de Ptolémée qui la regarda comme une correction de la plus grande équation , avec Tévection des modernes qui la regardent comme une équation particulière de la longitude, ou comme une correction générale de l'équation du centre. Dan« le premier sens, elle est un maximum chaque fois

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que a devient urn , go'^, n étant un nombre enlierr queteonque; mais sous le socond piHJir de vue,, elle ne peut avoir aucun Qilè\^ si i'équalion du centre qu'eile est deslince à corriger,, est elle-même nulle,, ou si la lune est dans les apsiiles : il est donc clais-,. que réveclion. doit dépeadre non seulement de c^ mais aussi de l'anomalie. Il en sera purlé ci -après»

Les. équations B. et E sont des fonctions de a, qui ont les: minies- ■çaleurs. pour a. et pour î8o*-}~a; d'oi^i il suit que ce sont des- fonctions, de. jîn 2 a, parceque sin 2 a zn sin x (^180^ -j- a)^

La plus grande yaleuE de B est 12.'* l8/ o.a 12^ tx^ (§. 196.) ^ d'oiî, Toa tli'e (§. 19-^^»^.

-^ T. __ ^ , '^ — '^*'\__ sin 7 ''^o'— sin S*»- fg; 1(7° 40''— 5=»)

OU en nommant l'équalian. du centre, G" zo' zz: g , et l'évection, i? i(J izihg: ■ T, tan?;& ; , . „ Z?

sm D m. , ou a- pea près sm B i^ — l

tan- g' t f g>

€6 qui fait voir clairement L'intime liaison qui existe entre l'évrection et Téqua-

tien d'€s apsides. En effet, pour expliquer cette dernière suivant la méthode;

de Ptolimée,. par un mouvement circulaire,, soit (Fig„55..) T la terre et le

fpyer ou le point excentrique de Torbite lunaire,^, C son centre,, T A, la po-

altion moyenne de l'apogée^ et TG l'excentricité moyenne 7 zi:o^ o55o266^

Supposons, que le vrai centre de l'orbite ne soit pas en G, mais- qu'il décrive

un cercle AEBF autour de G, ensorte que l'équation B soit un maximum^

lorsque le centre est en E. oU: F;, TE, T F étant tangentes au cercle E F.

Cela posé, on a B m G TE, donc siu B zz: — =^^ — , et GEzz— 7. En re-

, . erg' g

gardant l'evection h„ simplement comme une correction àe la plus grande.

équation g ou de l'excentricité "y,, et en nonjmant la plus grande valeur de

cette équation variable, 'j'*i^o'ziiGy on aura G.zz:g-\~h^. donc/ GËzzif ~ — -rl^»

Or réquation du centre étant à peu près en raison de l'excentricilé,, soit T

la plus grande valeur de l'exeeniricité mod-fiéa par réveetionr. alors, on aura

CE — (^I— i) y-=z:T — y~:TK-~TC — Q.K. Le rayon GA du cercle

q,ue décrit le centre de l'orbite lunaire,, est donc égal à la plus grande va-

Eiation de rexcentiicité ou de l'équation du centre, ou plutôt, il est à l'ex--^

iieiitricilé moyearA® TC ^ Ojo55c£.6-6- conime révection ifxol est à i'équatioa.

320 A s T K G iN^ O M I >E R ^ T I G N N E L L E

du centre ô'ao'. Il paraît qu'on n'a pas toujours fait attention . à ces conclusions qui se tirent si facilement d«s découvertes de Ptolémée. §. iqS. Suivant cette liypothèse on a

•€T.E— B=zi2»î8', .CT=r7 — q,g55o2.6x^; et CE zrrCA rz'ysin I2«r8'zi:o,.oii72sti =:ô". Lorsque le centre de l'orbite est dans un autre point D, réquation des ap- »ides ATD—B dépend de J'angle ACD, et l'on a tang B — ^'"^^^^

'V-hô'cosACD

Cettg équation est nulle, lorsque ACDzzio ou i8o®; elle devient un jnaximu/n, aJ .GosA.,CDzr—- ^^00577*42', d'où il suit ACD = 180" ±: 77^ 42'; AGDzr:i02*i8^ donnant à B sa plus grande valeur pos/^^Ve, et AC^— :207''4^' sa plus grande valeur négative. En comparant ce résultat avec la table (§• f97-)> 0^^ voit qu'en général il faut faire ACDmsa, d'où il vient tangBirr-^ — ^ , et TD::=:y(7^-4-5=4-e7a- cos 2œ) = — — ^^

T + ôcosaa v i 1 sin B

«e qui donne la correction de l'excentricité zzTD — 7. Cette correction est

nulle, si TD:z:;7, ou cosaazz:- — -^ ce qui donne à peu près, a = 48% «^^=^i32°, amaaS", ar=:3iîa'': elle est un maximum positif, lorsque D tombe en A, a étant o" ou i8g^, un maximum négatif, si D tombe en B. a étant

-,^0 n -n r- • . 0 -^ • sn Ê sin 2 a

90 ou 270 . En faisant --zz: £ =10, 21 3: on aura sin B =i — ; -r„

TD zn 'y .V(i -[- 2 s cos 2 a -f- s") , ou à peu près T'D = 7 (i -j- ^ ces 2 a),x la «orrection de l'excentricité, En&ccsaa, et son accroissement z—2ô3asin2cç •e qui est conforme à la table (§• 197.)-

Ayant ainsi trouvé pour une époque donnée, c'est-à-dire pour la distance a du soleil au "lieu moyen G de l'apogée de la lune, îa vraie excentricité TD et la correction de l'apogée ATDj on comiaît la longitude vraie de l'apogée, TD, et par conséquent l'anomalie moyenne corrigée:^ d'où l'on conclura l'équation du centre corrigée, et la longitude vraie de la lune. C'est la méthode dont on se servait autrefois, mais que la longueur du calcul a fait abandonner. Comme il ne s'agit que de trouver la correction de la longitude dç la lune, on n'a pas besoiii de l'équation .des apsides., et l'on employé actuellement l'approximation suivante.

Suivant l'hypotlièse elliptique simple (§. i4i.(i)), on a tang — zz — rr-~, fj.j V, étant les anomalies moyenne et vraie, et \}.-^vzzzg l'équation du centre^

Ll YK E ÎV, C H A P. ÏV. 3^1

Si ia lune est en 'L {jFig. 55.), on peut supposer, sans erreur sensible, CL

•C T égal à la distance moyenne, ce qui donne— -=r 7, et dans le triangle

^ 7sin LCT ^ . ^ __

LCT, tangLr=:^..y^^^^^-. Mais AGL est l'anomalie moyenne \i, d'où

y sin u. g

il Vient tajigLiz:— — -, donc 1.=:—., Si le vrai cejiitre de l'orbite

I — p- I eus r* 2

n'est pas en C mais en D, Fangle L ou — se change en DLT=— — • on a

donc ^-^-^ == ^ = C LD. Mais sin C L D r= ^ sin D G L , C D étant con. «tant, et DL ne changeant que fort peu, parceque CD est fort petit par rapport à CL: en faisant donc — =«, et ainCLDizzCLD, on aura 2CLD:r:9jO-r=:272&in DCL, dont la plus grande valeur zza/z a lieu, lorsque DCLiri^o^; ensorte que la plus grande et la plus petite valeur de l'excentricité seront, G z=:g -^ zn^ et H=^ — , ^n. Or on a vu que G =37^40' et H = 5% d'où il 5uit 2»=-^^ — — 1^20', et l'évection 3^ :zz 80' sin D CL. Mais DCL r=: ÀGL — ACD iz:>L — 2a, donc 3^ rz: 80' sin (|u, — za). En nommant C, O» l^s longitudes moyennes de la lune et du soleil, et tjzC— O Télongation de la lune du soleil, on a azzQ— apogée C Z O — (C — ^l,)z:)x— vj, et (x — 2a:r:2>) — /x. On peut donc donner à ievection ces deux formes,

dg =80' sin (|x — 2 a), ou dg = 80' sin (27] — ja). (Voy. §. iq5.) Hous avons supposé que l'anomalie, comptée de l'apogée, est plus petite que 180% et que par conséquent /x^i;; d'où il suit que, le lieu moyen étant donné, ce qui est le cas supposé dans les tables, il faut retrancher l'éveotion dg du lieu moyen de la lune, ou du lieu corrigé par Péquation elliptique du centre j on aura donc 3^=i:— bo'sin (/j, — 2a)i=: — 80' sin (2 y) — /a). Si les anomalies sont comptées du périgée, l'évection prendra le signe h|-, La dernière forme est celle qu'on a adoptée dans les tables^ et sa valeur exacte, conclue des observations et de la théorie de l'attraction, est suivant les tables de M. Biirg,. z=:-j-8o'29'',5.sin(2 7) — ^(,)-f-35'',4.sin2..(2>^— /x) (^). L'évection est l'effet le plus considérable de l'action du soleil sur la îune: elle est donc fondée sur des principes de physique, mais les observaîtons depuis Ptolémée en ont donné une preuve empirique. L'évection n'^est

(i) Voy. TalUs astron, puil. par Itiureau d«s long. d$ France. Fart, I. Tah.JHII. delà Zuns,

aaa ASTRONOMIE RATIONNELLE

pas îa correction de la plus grandie équation du centre , que présente la table y§. '97)r et qui dépend de a seuFj maïs la correction du ceutie en général,. ou de la longitude de la lune, quelle que soit son anomalie:; elle dépend donc nécessairement de deux argumens» i) de la valeur de rexeentricité^ ee qui donne Targument «j 2) de Tanomalie ^j^ d'où il résulte l'argusnent composé ja — 20c.

Ç. 199. Les tables calculées sur les Formules précédentes de Téquatioiî ivL centre et de Tévection, devraient satisfaire à toutes les observations, si c'étaient les seules inégalités de la lune. Mais on ne fardait pas à apercevoir^ que ce n'était pas le easj et iî était aisé de découvrir les nouvelles inégalités, parce que la plus considérable d^eîles a lieu dans les aspects , où l'évection est nulle. Quand la ligne des apsides est dans les octants, en faisant avec les sjzygies et les quadratures des angles de 4^% ^^ correction E est nulle (S- '97-)t et l'excentricité a sai valeur moyenne: or la lune étant alors» dana les syzygîes et quadratures, éloignée de 45" des apsides > elle devrait avoir> dans ces deux aspects,, la même équation du centre et la même vitesse. Soit {lig. 56.) la terre en T» le soleil sur la ligne T6i AP, MN, EF,. se» ront \q& lignes des apsides^ des quadratures,, et des distances moyennes,, formant entre elles des angles de 4^* :=^ «> La lune étant en (£ j l'anomalie est |tz:a,, et l'argument de l'éveetion, jx— actz— a| donc l'évection 3^"— 80'sina, Dans le dernier quartier M, ju. est i8Q'*+PTMiz:i8o''-i-3a,, jx. — aotzrïBo^+otj ôg^z: — 80'sin «i; dans le prernier quartier N, on a fx^r90*-+-a, ft—aargo**"— a» 9^.zr^-|-8ofcosa,-; enfin dans ropp^sitîon ^^ fjt est i8o*-j^a, u, — 2a:zzi8Q* — a, i&^z:^-|-8Q^sinazi:-^8o/ cQ&a. L'évection est donc la même» aux signes près^ dans tous; ces quatre points.

Cependant Tycbo,. à qui Fon doit cette découverte,, remarqua que Ta vitesse de la lune était sensiblement plus grande en é qu'en M;, qu'elle continuait de (*, jusqu'à E„ en^orte que le lien calculé de la lune était le plus avancé à égales distance» de J; et N en E;, et q,ue cette dififérence montait à 37^ 4"« Aya.nt observé la lune en différens points de son orbite , il aperçut ^ne cette correction ne dépendait pas de la position des apsides, maif. seulement de Téiongatioa de la lune dn soleil n» Elle était un maximum p©-