LIVRE V, C II A P. VI. 4ir

La droite Cpm repi'ésente un méridien fixe, dans lequel le soleil se trouve constamment, et chaque lieu de la terre lorsqu'il a midi: conséquem* ment, si le pôle p est dans l'hémisphère supérieur, ou illuminé par le soleil, ou ce qui revient au même, si la latitude du parallèle atb est de même nature que la déclinaison du soleil D^ffg sera la projection de l'arc diurne, et gmf celle de Tare nocturne. Soit donc ftg dans l'hémisphère supérieur la direction d'occident en orient par le midi t, ensorte que le lieu T, par le mouvement diurne, parcourra y a if Z^^w^^ le soleil se lèvera, lorsque T est en y, il se couchera, lorsque Test en g: il aura 6 heures du matin en a, 6 h. du soir en b, midi en t, et minuit en m. Si y et D sont de nature opposée, gmf sera l'arc diurne, fig l'arc nocturne, m sera midi, i minuit, g le lever, et y le coucher du soleil. Ayant donc construit sur le grand axe ab, comme diamètre, un cercle aEb, il résulte de la nature de l'ellipse, que pour une abscisse donnée cdziix, les ordonnées de l'ellipse et du cercle sont entre elles, comme le petit et le grand axe, ou en nommant dezziz, jrs:: ccos^sinD rccosy^ donc jzzissinD. Le cercle a^b est le vrai parallèle du lieu T, l'ellipse amgt est sa projection: T décrira donc le cercle uniformément, à raison de i5°par heure^ et chaque point du cei'cle est projette en tif où la ligne ed, perpendiculaire h. ab ou AB, rencontre l'ellipse. Supposons donc, que le quadrans Ee^ soit divisé en 6 ou 12 arcs égaux, c'est-àdire en heures ou demi-heures, et que Ee réponde à une heure ou i5<*: cela posé, e et n seront les points du parallèle et de sa projection, où se prouvera le lieu T, quand il compte 11 heures du soir, etc. En faisant donc de '. dn : : cE : cm : : i : sin D, on construira de cette manière l'ellipse entière, et on l'aura divisée en même tems en heures, etc.

§. 264. L'orbite relative de la lune sera construite suivant les mêmes règles, dont nous nous sommes servis pour l'éclipsé générale, avec cette différence, que CD n'est pas ici le cercle de latitude, mais de déclinaison: on aura donc besoin de l'angle de position k, qui a été déjà calculé (^§. 255.). On fera suivant les règles précédentes {Fig' 74')> DCFztk, GEzz^, ou CA:GE::P— p:^; alors CF sera le cercle de latitude, et E le lieu de la lune en conjonction. En faisant de plus, EMz^p, en élevant sur CF la perpendicu-

4r3 ASTRONOMIE RATIONNELLE

laire MN^ et en faisant EN n: n :=: H — h, N sera aussi dans Forbite? ©n joignant donc E, N, LENU sera l'orbite relative de la lune. On marquera en E le tems de la vraie conjonction, qui est donné par la première partie du calcul , et qui doit être réduit au méridien de T, dont la longitude est eonnuef et l'on divisera^ au moyen du mouvement relatif iq, l'orbite LU en heures et minutes du méridien de T, en partant de E. En comparant deux points de l'orbite et de l'ellipse, auxquels e&t marqué le même t^ms, par exemple N et R, leur distance RN, prise sur l'échelle où CDz:;?-— p^ donnera la distance apparente des centres du soleil et de la lune pour le lieu T, qui a lieu dans, l'instant marqué. En effet, la parallaxe du soleil étant ici nulle, parcequ'on en a tenu compte, en faisant le rayon CD égal à la parallaxe relative P — p, l'observateur en R verra le soleil suivant une droite^, perpendiculaire au plan de la Jigure^ et passant par R, parceque le soleil est supposé perpendiculaire sur Cj é\ la lune sera perpendiculaire sur N: sa distance apparente au soleil sera donc mesurée par l'arc NR qu'on peut égaler à son sinus, parceq^u'il est toujours plus petit q^ue P — p ou qu'ua degrés

Ç ^65. Cela posé, on trouvera te commencement et la Jin de Féclipse partiale et totale en T, en cherchant avec un compas, ouvert de R -|- y' et R — r, deux points^ dans- l'ellipse et dans l'orbite, éloignés l'un de l'autre de' ^ZÏZfr et répondant au même tems. La plus gi^ande phase ou le milieu de l'éclipsé se trouvera à l'aide du compas, en cherchant deux tems égaux,, marqués dans l'ellipse et l'orbite, où ces deux lignes s'approchent le plus l'une de l'autre: l'ouverture du compas donnera la plus courte distance, ou la plus grande phase, et les tems marqués donneront l'époque du milieu, 'qui sera à très-peu près le milieu entre les époques du commencement et de la fin, qu'on vient de trouver..

La méthode précédente dés projections; donnera à une minute près„ «es époques: car elle n'est pas exacte, étant fondée sur de faux principes,, tn supposant, par exemple, la déclinaison du soleil invariable durant l'éclipie, etc. Il faudra donc corriger les époques ^u'on vient de trouver, par les «alcul des parallaxes.

L I V R E V, C H A P» VI. 4iâ

f. 166. L'effet des parallaxes sur les éclipses se trouvera par le moyen des formulas (I. §. aie). En nommant t le tems vrai pour le méridien d» T, A Tascension droite du soleil, l^ b, la longitude et la latitude de la lune, f -mf — co la hauteur du pôle de T, corrigée par l'aplatissement de la terre, H la parallaxe horizontale de la lune sous la latitude f ^ diminuée de jD n: 8", 6,' e l'obliquité de l'écliptique, et MiniSr-j-Aj on commencera par calculer l'angle auxiliaire ($), la hauteur et la longitude du Nonagésime

K, N> au moyen des formules tang (^ zz — -j- , cos K in; — ■ \^ — -^,

„ - tgMsin{e-f-d)) -, TT 7 7 -. 7 » ,

tang IN zz —-1: , et la parallaxe de longitude en secondes , A Izz

/sinHsinRx sin{Z — N] /sfnHsinKY sins(7. — N) , /sinHsiiiK\3 sin3(Z— N)

Y cos & / sin i'*' *^ \^ cos ô / sins" '^ \ cos 6 / sinS'''

■m .. î , . . tgKcosfZ — N-f-IAri , ,. „ 7 7 ,. 7

Ensuite on calculera tang t- zz ■ ■■- ■■' -w — t — i et la parallaxe de latitude,

, cos J Ai /sinHcosK\ eos (&-f-^'l AinHcos KYsin2(5-f. ^'j , /sîn HcosR\3cos3(&+^) '~ \ cos Ç / sin î^' \ cos^ / tin 1'* \ cos ^ / sin 3"

Après cela on aura la longitude apparente de la lune, l'znl-^-Al^ et la< latitude apparente, b' zzz b -\- A b. On verra dans le §. cité , dans quels' cas la lojigitude et k latitude est augmentée ou diminuée. Le lieu du soleil n'est point altéré par la parallaxe, parcequ'on en a tenu compte, en mettant H — p au lieu ■ de H.

§. 267. Ce ealeuî donnera, pour un instant quelconque, la distance apparente de la lune au soleil. Soit {Fîg, 75.) l\. Fécliptique, l le lieu vrai et apparent du soleil,. L le lieu apparent de la lune, 'Llzz.s la distance apparente des centres. Cela posé, on aura

/X zz B zi f — O » L X zr b\ donc cos s zn cos B cos b\ Pour en déduire la pliàse apparente,, il faut connaître les demi diamètres apparens. Celui du soleil ne diffère jamais du géocentrique , quelle que soit sa hauteur, mais le diamètre de la lune croit avec sa hauteur. En nommant R le demi-diamètre central en secondes,, tiré des tables ou des éphémérides, le demi-diamètre apparent à la hauteur vraie Q sera (§, 2i6^)

R' z: R 1 1 -)- 3,6d%4 . R sin i" [sin ^ + o, 91 6 . R sin 1" (i — 3 cos 2 ô)] 1 » Le commencement et la J7« d« l'éclipsé apparente arrive, lorsque 5 zz R' -}" '^ "' ©n peut donc répéter le calcul précédent,, jusqu'à ce qu'on aura trouvé de&

valeurs de s et R' .lelles , que s soit exactenient :2i:P/-l~r. Le milieu entre ces deux ^époques sera à très-peu près l'instant du .mil/eu; du moins il en résultera .îrèstexactemeut Ja plus grande phase qui, étant à son maximum^, ne change qu'insensiblement. Ayant donc calculé s .et P/ pour le tems ,du .mi-- Heu entre le commencement et la fin, .on aura îa plus grande phase de l'éclipse. Si {Fig.6'].) QB, LM,, sont les ,demi-diamètres apparens du soleil et de la lune, la distance apparente des centres .sera QÏjZizs, et la plus grande phase BM z=. Q.B — (Q L — LM) — r -)- R^ — .s = ^ ^''"^^' ~' ' doigts.

§. 268. Pour éviter ce calcul un peu long, dont on a .besoin pour trouver exactement sziz r-\-W , on peut se servir d'une interpolation. Après avoir déterminé^ par un calcul r.igoureux, ;les valeurs de B, è% R' (§. 267.), qui conviennent aux époques supposées du commencement, de la fin, et du milieu, on connaît la vitesse, avec laquelle ces quantités changebt: les trois époques serviront donc .à construire, par interpolation, une table qui, de dix en dix, ou de cinq en cinq minutes, présentera en quatre colonnes, les valeurs de logcosl/znx, logcosBznj^ x-^jzzz, et logco3(r-|-R'')=^^- Puisque R' ne change que de 18'' depuis Fhorizon jusqu'au zénit, on peut supposer a constant, en donnant à R' la valeur qui convient au tems du milieu de l'écîipse apparente, connu à peu près. Pour le commencement, et la fin, on a szur-T-Rj ou cos B cos Z»' :i:cos (r-|-R'), donc z-:iza: le tems, pour lequel on aura trouvé dans la table une valeur de z, égale à a, sera donc l'instant du commencement ou de la fin; et il est aisé de trouver ce tems, par le moyen des dilTérences entre les nombres de la table.

Dans Je milieu de l'éclipsé s est un minimum ^ ds'^ox l'équation

cos 5 zn cos B cosè' donnera donc 0 rz: dB sin B cos é' -|- 3 ô' cos B sin Z»', ou

db" dV ■

tangBizi— r— tang b\ On trouvera -- — au moyen des valeurs de b' et B

de 5 en 5 minutes, données par la table; et l'on peut égaler b'' à la valeur que la, table présente pour le milieu entre le commencement et îa fin^ Connaissant donc B, on trouvera dans la table le tems qui répond à cette valeur de B, et la plus grande phase sera izz r* -j- R' -— 5.

Les trois époques, trouvées de cette manière, seront corrigées par le >éalcul des parallaxes (§. 266.). Au reste, il est aisé de voir qu'au lieu de