L I V R E VI, C H A P. IL

§. 285. Pour déterminer la parallaxe du soleil, ce qui "est le résultat lé plu& important des passages, il est absolument nécessaire de savoir, de quelle manière ces phénomènes seront vus de chaque lieu de la terre, pour en choisir ceux qui sont le plus favorablement situés. La méthode suivante, fondée sur la théorie des projections, est très-commode pour cet effet. Soit {lig- .80.) TAF la terre, E son centre, t un point de sa surface, A le lieu qu! a le soleil S au zénit, TF son horizon, Vénus en V, Y Ihf un plan perpendiculaire à SE et parallèle à TF: cela posé, VES sera la distance géocentrique des centres, V/Szzitr la distance apparente ou parallaetique pour le lieu t. Si la parallaxe du soleil était nulle , cet astre serai-t vu du lieu t suivant la ligne ^X parallèle à ES, et Vénus suivant ^V. Mais ©n attribuant à Vénus la parallaxe relative P — p au Heu de P, il faut regarâer la parallaxe du soleil comme nulle, et par conséquent supposer VAhkt. Comme ces angles, durant le passage, ne sont pas plus grands que 16', leur rapport ne différera pas sensiblement de celui de leurs sinus, — , c'est-à-dine, les distances apparentes des centres a- seront comme les lignes VX, par- «eque la distance de Vénus à la terre, V/, peut être regardée comme constante. En projettant donc chaque lieu de la terre / en X, ^X étant perpendiculaire à VL et parallèle à ES, VX représentera la distance apparente des «entres pour ce lieu, si P — p est substitué à P3 il faut maintenant déterniner l'unité de ces quantités. La projection du centre de la terre et da lieu A sera L, et en abaissant sur ES la perpendiculaire /t, on aura LXzz !fT zn E^ sin ^ESj et pour la projection y du lieu F on aura de même L/:ii^ E F sin FES :=! EF. En supposant Vénus en v, la distance àes centres, vue du lieu F, sera j^v : il verra donc l'occultation centrale, &\ fv est nulj et comme il est le premier ou le dernier de tous les lieux de la terre, la distance géocentrique est dans le même instant du commencement ou de la fia du passage izzP — p (§. 281.). Or, Vénus étant en f, la distance géocentrique est représentée par hf, d'où il suit que L/ ou le rayon de la projection de la, terre EFzzrP — p. Cela posé, on aura la proportion, EF est à LX comme P — p est à la distance des centres, vue du lieu t^ et la projection \ de chaque lieu t sera éloignée da centre de la projectiea L, de la g^uaif-

44o ASTRONOMIE RATIONNELLE

tilé trzzEls'mt'ESzi:(V — p)siniES, ce qui est conforme aux règles de la projection ortograpîiique. En traçant donc l'orbite relative et géocentrique de Vénus (§. 284.) sur une échelle quelconque, et en faisant sur la même échelle, le rayon de la terre r= P — p, la projection ortographique des lieux de la terre donnera exactement, sur cette échelle, la distance apparente des centres pour ces lieux, VX. Il est visible, qu'il faut employer dans cette construction les angles géocentriques, en multipliant tous les angles héliocett' triques, trouvés précédemment, par — — (§. 284.)'

§. 286. Soit {Fig. 81.) SF perpendiculaire à l'édiptique EC, FSG-=w {§• 284.)5 qu'on prenne sur une échelle quelconque, SFiz:— ^^^ — ô, SGzhm-zz

;^^^ m (§.284.), SAîizSBzrP — p, SEi=SC=z:SH=7v et qu'on mène par F et G l'orbite relative VN d'orient en occident: cela posé, le mouvement

Jioraire y] servira a diviser l'orbite VN en heures et minutes, en mar-

quant en F le-tems de la conjonciion. Au moment ou Vénus est en H, la distance des centres, vue de S, c'est-à-dire du centre de la terre ou du lieu qui a le soleil au zénit, sera SHizi/', donc le lieu S verra le centre de Vénus sur le bord du soleil. Ayant mené la droite HDSJ^ la dislance apparente des centres sera pour le lieu D, HDurr — (F — p) , et pour le lieu d, H^=:r-)-(P— p) (§. 285,). Si le rayon du cercle S H est zzr-j-R ou ;— R, le lieu S verra, lorsque Vénus est en H, le contact extérieur ou intérieur; le lieu D verra Vénus avancée sur le disque solaire de P — p^ et d la verra éloignée du bord du soleil de P — p: le lieu D aura donc déjà vu l'immersion, mais d ne la verra pas encore. Comme il en est de même de Témersion, cela fait connaître les quatre points importans de la terre, savoir les lieux qui verront /e premier et le dernier rimmersion^ et ceux qui verront le premier et le dernier Vémersion. Supposons qu'on ait <:lécrit du centre S et des rayons SV=r:r-|-P— p^ Sïinr—- (P — p), des cercles qui coupent l'orbite relative en V, N, eti, L, et que les rayons SV, SN, SI, SL, rencontrent la projection de la terre en ka, Mm, ^h, Rr: alors A, h, r, M, seront c^s quatre endroits. En effet, on a pour tous les quatre, les dislances apparentes des centres,

L I V R E \^I, C H A p. II. 44i

A-V:=SV-~(P— p) = r, Mi= S I + (P— p)i=r, rL=:SL-|-£P -p)=ir, MN zz: SN — (P — p) =zr. Mais si l'on prend au delà de V ou N un point v ou n sur l'orbite, la plus courte distance apparente des centres pour la terre entière sera vu ou nv, et l'un et l'autre est plus grand que AV:z:MN:zzr: Vénus, étant en v ou n, ne sera donc vu sur le disque solaire d'aucun lieu de la terre, et A, M., sont les lieux qui verront l'immersion du centre de Vénus avant tous les autres lieux, et l'émersion après tous les autres: ce sera le contact extérieur ou intérieur, si SV=ir-hP. — pitiR. En prenant sur l'orbite un point E entre I et L , S F sera plus petit que Slzzr — (P — p), donc la plus grand© distance des centres sur toute la terre, yFrzSF-j-CP — p% sera moinr're que r; d'où il suit que tous les lieux de la terre verront Vénus sur le soleil; b sera donc le lieu qui verra le dernier l'entrée, et r celui qui verra le premier la sortie. L'entrée et la sortie seront donc vues sur la terre entière, durant tout le tems que Vénus emploie à parcourir les segmens VI et LN.

Il est vrai que les points A, b, et M, r, ne sont pas diamétralement opposés; mais comme, dans ce calcul général, on ne demande pas une précision parfaite, il est permis de substituer a b et r les points a et m, qui sont diamétralement opposés à A et M. L'erreur qu'on commettra , sera l'angle aSbou m S r: elle sera donc diminuée de la Moitié, si l'on prend les points du milieu D et c? au lieu de A et Z», et pour la sortie Q et 9 au lieu de M et r. Cette substitution sera d'une grande utilité dans la suite, parcequ'il est nécessaire de connaître les points de la terre qui se trouvent sur la droite qui joint les centres de la terre et de Vénus, pendant l'entrée et la sortie pour la terre entière, ou ce qui revient au même^ pendant que Vénus décrit les parties VI et LN de son orbite. Le calcul sera donc singulièrement simplifié, en substituant à tous ces points le lieu D pour l'entrée, et Q pour la sortie. Mais il faut avant tout voir, à combien peut monter cette erreur, c-est-à-dire l'angle ^ S J:= BSD =HSL

En faisant pour abréger, HSIrzxJ/, SIzrr — (P — p)zz:Sf on aura

cosKSGzi: — - — -, et cosISGzi:-, donc SH r s

éê

44î» ASTRONOMIE RATIONNELLE

sinvp— sin(HSG— ISG)=:^ {Y i^r^ -. jj,^) -^Y (^s^ ^ ti'^)} . Cette valeur est nulle, si ju, est nul, et elle croît- avec ju-, mais seulement jusqu'à une certaine limite, parceque \j/ devient imaginaire^ lorsque ii est plus grand que 5. L'angle 4* sera donc un maximum,- en même tenïs que son sinus, parceque vp est toujours moindre que 9o^ En différentiant t'équation précédente relativement à vp et ju, , on aura pour le maximum l'équation

(r^ — 2 )x^) y (5= — /x^) — (5^ — 2 M-^j Y (r- — la-), dont le carré donnera

ja=^ (r4 — 54) = r^ s^ {r" — s^) , ou i^'

En faisant r^ -\- s'^ ziz u^, on aura

P- = — , y {r^ — ii-)—~, y {s^ — iJ.^) zz: ~ , et sm \p z= — -.

En supposant rzziô', P — ^ zz 2y, il viendra

5 z= 9J8", ^^ — 1 1' I i", et \p = 1° 19' 4o". La plus grande erreur qu'on puisse commettre, est donc i® 19^40''') mais le plus souvent elle sera beaucoup moins considérable.

§. 287. La position du premier lieu D d'où l'on verra l'entrée, et du dernier Q d'oià l'on verra la sortie, est donnée par le point S qui, au mo- Bient de l'entrée ou de la sortie, a le soleil au zénit (§. 285.). Soit ÇFig.Gg.) QDçd rhémisphère illuminé de la terre, P le pôle boréal ou austral, selon que le passage de Vénus arrive au moins de Juin ou de Décembre, S le lieu qui a le soleil au sénit, au moment de l'entrée. PS a son méridien, et nommons D, ô', les déclinaisons du soleil et de Vénus, qui sont nécessairement du même côté de l'équateur. Si ô est plus grand que D, sa latitude est de même nature que D, et l'orbite OH tombera du côté de P: si c'est au mois de Juin, la latitude boréale du lieu S sera z^ D. Or O étant le eôté occidental, H le côté oriental, de manière que la terre tourne sur son axe dans le sens QSD, H sera le point d'entrée, et O celui de sortie (§. 2840- Pour tracer l'orbite relative, on calculera l'angle de position ASEzzim (§. 255.), le cercle de latitude SF s'inclinant vers l'occident, parcequ'au commencement de Juin le soleil est dans les signes ascendansj dans les passages du mois