LIVRE VIIÏ, C H A P. II. 5i

drature de la courbe, on emploie la parabpîe, dont la quadrature est extrêmement simple. Il y a encore une autre raison: c'est que, tou'es les paraboles étant des courbes semblables comme le cercle, on peut calculer une table générale pour toutes les orbites,

§. 338. Ce qui nous autorise de substituer la parabole à l'ellipse, c'est la grande excentricité des orbites, et le peu d'éloignement des observations du périhélie: car, près du sommet, une ellipse très-allongée ne s'écarte qu'insensiblement de la parabole qui a la même distance périhélie. En effet, si l'on veut faiïje cette comparaison relativement à l'orbite d'une comète, il faut se rappeler que le foyer est le centre du soleil, et que la distance du sommet au foyer est l'élément le plus important des orbites j de sorte que ces deux points doivent nécessairement coïncider dans la parabole et l'ellipse.

Soit donc {Fîg. ^"i.) PB une ellipse^ PC une parabole, P, S, le commun sommet et foyer. Ayant élevé d'un point A du grand axe PS la perpendiculaire ABC, soit --

l'abscisse VK-nzx, les ordonnées KCzziy, KVtzzzz, le paramètre de la parabole m p, le grand demi-axe de l'ellipse zz: a, le petit zz b. Cela posé on aura '

y^zz »r, et 2^=z — X x .

Or on a dans la paraboje PSzz|;7, et dans l'ellipse PSzza — y(tt^— 3'*), â'oii il suit ^^~— (a — --j j ce qui étant substitué dans la valeur de 2% donnera

2— f P\ ^^ 2 z^iizpx [i — --] ^ x^.

Dans toutes les orbites de comètes ^ et ^ sont très-petits par rappori ha: on peut done négliger le dernier terme, et l'on aura à tiès.peu près

^ \ xoaj' ^ 16 c

Cette différence est d'autant plus petite, que a est plus grand par rapport à ;? ou à PS, c'est à dire que l'ellipse est plus allongée. Il est donc permis d'employer la parabole au lieu de l'ellipse, ce qui facilite singulièrement le calcul. En nommant P le paramètre de l'ellipse, on aura b^i^^Vazz:

5r8 ASTRONOMIE RATIONNELLE

5^V^~~8"y' ^'""^ ^^ ^"^^ ^ "^""eâ' °^ parceque ;? est trës - petit par rapport a a, Pz=/7 à peu près.

§. 339. Toutes les méthodes indirectes suivant l'hypothèse parabolique exigent trois observations, et elles difTerent l'une de l'autre selon les élémens qu'on suppose connus. En supposant, par exemple, l'angle au soleil, oa procédera de k manière suivante. En comparant d'abord deux observations, c'est-à-dire deux lieux géocentriques, réduits à l'écliptîque, A et B {Fi'g. 92.). et en prenant arbitrairement [es angles de commutation AST, BSE, on calculera avec ces angles, et avec les quantités données ATS et TS, BES et ES, les distances accourcies de la comète au soleil, SA, SB, et le mouvement héliocentrique sur l'écliptique ASB. Les angles à la terre et âU soleil, et les latitudes géocentriques, donnent les latitudes héliocentriques et les rayons vecteurs SA, SB, A et B étant maintenant les lieux dans l'orbite (§. 84.); et avec les latitudes et longitudes héliocentriques on calculera l'inclinaison, le lieu du noeud, et les longitudes sur l'orbite, ou le mouvement vrai ASB. On a donc deux rayons vecteurs, SA, SB, avec l'angle compris ASB, d'où l'on conclura, en vertu de la nature de la parabole, la distance périhélie SP, la longitude du périhélie ou l'angle ASP, et l'aire du secteur ASB, ainsi que le tems que la la comète emploie à parcourir PA, PB, et AB, d'où il résulte le tems du passage par le périhélie. Si le tems qu'on a ainsi calculé pour l'arc AB, n'est pas le même que le tems écoulé entre les deux observations, les angles de commutations AST, BSE, ne peuvent pas avoir lieu en même tems: on changera donc l'un de ces angles, sans changer l'autre, jusqu'à ce que le tems calculé pour A B se trouve d'accord avec le tems observé. Maintenant, tous les élémens de l'orbite étant déterminés, on calculera pour le tems de la troisième observation C, ou pour le tems de P à C, l'anomalie vraie PSG qui est conforme à l'hypothèse parabolique, et par conséquent la longitude sur l'orbite, et le rayon vecteur se. Le lieu du noeud et l'inclinaison donneront alors la latitude et la longitude héliocentriques du point C, et la distance accourcie S G. Les longitudes de G et de la terre en R feront connaître Tangle CSR: connaissant donc dans le triangle CSR cet angle et les côtés SR, SG, on calculera