LIVRE VIII, C H A P. II
noeuds: on aura donc l'inclinaison de l'orbite AMO=:J. Le point 0 est dans
la projection, et si l'on joint tous ces points par la courbe Op, elle sera
l'orbite réduite. Soit AQ perpendiculaire à PS, PSzzy^ SQuzX, QAzzzY^
on aura i
Soit pour la projection, SM= r, MO =5; AM = ^^ et AQ seront dans le
plan de l'orbite. Appelons (p l'angle MSQ =: PS« que la ligne des noeuds
fait avec l'axe, et soit q le point où AQ coupe SN: on aura AqMzzSçQzn
go° — cp, d'où, en faisant pour abréger, sm(P'z:zm,cos<p:zzn,cosJzii — , on aura
ks ^^ mks „ mks ^ m^ k s AM=z/cs, A^n:— , Mçziz—^, Sgzzr , Qq — mr —,
SQmnr — mks z:zX, Q Azumr-A-nks-zzY, Il en résulte pour la projection cette équation entre r et 5,
I. o zz m" r^ -|- 2.mjikrs-\-n'' k''' s^ — ^qnr-\- ^qmks — 4 9*» ee qui est la forme générale pour les sections coniques ^ mais les constantes dépendent l'une de l'autre ensorte que la parabole seule satisfait à cette équation^ ce qu'on verra aisément, en transformant les coordonnées.
Qu'on tire dans l'écliptique par S la droite SR, faisant avec la ligne des noeuds SN l'angle RSNzzv}/ dont la tangente est—, qu'on abaisse la perpendiculaire OR sur SR, et qu'on prenne les coordonnées SRzn^, ROzi:w,* en nommant sin xj/ =z /x, ces vp zz v, on aura
— zz:— -ou /nv — /z/tazzo, Srzz— , Kriz: — , Utzztm — — .
-vnfe V V V»
OMm^zzivu — \it, MrzzfXM , SM z= rzz:|n,w -|- v/.
En substituant ces valeurs au lieu de r et 5 dans l'équation 1. on aura o zz: (m iu, -\- n v kf uF' ~\- (rn v — n\K k)^ ^^ -|- 2 (in v — nk\i.) {jn}}. -\-nk-i) ut -\- ^q {pi^k — n}}.) u — ^q {in k }s. -\- 11^) t — 4 7% ou à cause de mv — 7Z/^fxzz:o,
IL ozzA='u=*-|-4B7w — 4C^!! — 4^% A étant zz: m fx -|- « /^ v , Bzz:m^v — «/x, C zz m^/x -|- «v. Comme t n'a qu'une seule valeur pour cliaque valeur de u, il s'en suit que la projection est aussi une parabole^ dont le grand axe est parallèle à SR, faisant avec la ligne des noeuds un angle 4* dont la tangente est zztangcpcosJ,. et tombant du même
53o ^ASTRONOMIE RATIONNELLE
côté qa&V l'axe de l'orbite. L'axe de la projection est la ligne VT, paralljèle à SR à la distance R T ii: S V m e iz: — — . En etïct, si l'on nomme les ordonnées prises sur VT, TOm/, on aura SRiz:VTz=:^^ et ROzzuzzj — e, ce qui étant substitué en II, donnera léquation
/s^ , oziA^/-f-^(2B^ — A"e)j— 4G<7^4-A^e^^4B^e — 49^ "it à cause de 2.Bc/ — A^ezuo,
Soit Vp ::ir:gzz — — -t elpTzzx, ou i zn x — ^." la dernière equnlion
deviendra, ^
et à ciîuse de C^ — - . ^ — o,
-r O — A^^ — ^Cqx.
^ -. m~v tans: (î) . m „ m'' — u* v^ , , -v
Or on a kziz^— z= — --r, A=: -, B= , C zr -: ia dernier©'
équation se cliangefâ donc en j
