IV. y^ zz ±-^ X, y

ce qui est l'équation de la parabole, les abscisses x étant prises sur l'axe'

principal depuis-4e sommet p. Le paramètre de l'orbite réduite^ est — -^ — q,

qui est au paramètre de l'orbite 4<7 comme )u,^ v est à 771'^ n, ou sii^vpsina^'

, q sin \|/ sin 2 \p

à sin (1) sin 2 (t); et sa distance périhélie est zn - — - — : — -r-,

^ ^' 4 sm Q) sin 2 (p

Ainsi, l'orbite ayant été construite d'après les éléraens c|), J, ç, on calculera tg vp zn tg (p cos J3 on prendra sur la ligne des noeuds NStz, Swzz zz— — —^ lU^iz-^-ï ^ —. — ^^ -, on fera SnVzzzvpj npi:z

sin\}y jj. m^n sir. (psinacp '

,ï V — Vp z= S «. cos v^ — ^ zz:. ^-^^ t-^ '- = — — -—3— , ou

S 7t g sin \f^ sin a \[/ q sin vp sin 2 \f/

- "^ 2 cos $ ~" sin Cp 5in2 (p '' ^ """ sin (p sin 2 (p >

ce qui suffit pour connaître le sommet p et le foyer F , et par conséquent pour construire la parabole entière pOv. Il faut distinguer le sommet p de la projection du sommet P de l'orbite. Ayant abaissé sur l'écliptique et sur la ligne des noeuds les perpendiculaires Po, et om^, Vm, on a

LTVRE VIII, C H A P. II. 53î

P/?7orrJ, PS/nzzcf), donc Smzzzq cos (p, P/nrz^sin^, mo in*/ sin $ cos J, et la projection o du périhélie P est donnée par Sm et mo.

§. ^47. Pour vérifier les éléraens par la comparaison avec les obser^ valions, il ne suffit pas de connaître l'orbite; il est nécessaire qu'on puisse indiquer pour un tems donné, le lieu occupé par la comète, pour en déduire son lieu géocentrique. Dans une première hypothèse on peut se dispenser du calcul, en employant la construction de l'orbite et de sa projection, qui vient d'être développée. Si l'on a tracé de plus l'orbite terrestre, on trouvera pour un tems quelconque, le lieu géocentrique de la comète, pourvu\ qu'on puisse déterminer les lieux occupés par la comète dans la projection, et par la terre dans son orbite. Pour cet effet il est nécessaire de diviser les deux orbites en jours et heures, suivant les préceptes qui seront donnés ci -api es.

Comme il est plus que suffisant, de substituer -à l'orbe terrestre un cercle excentrique, il s'agit seulement de la placer dan,s la situation juste relativement à l'orbite de la comète. Soit {Fig. 98.) AP l'orbite de la comète,, S/i la ligne des noeuds: la longitude supposée du noeud, et la longitude connue de l'aphélie de la terre SI, donneront les angles YS«;, TSI, nSl^ et nSP. Ayant donc pris sur SI une ligne S H égale à l'excentricité de la terre, sur la même échelle sur laquelle on a fait SPzz<7^ on décrira du centre H et du rayon HIizii le cercle ITR qui représente l'orbite de la terre, sur laquelle on pourra déterminer, pour un tems donné, les lieux de la terre T, R, par le moyen des angles TST, TSR. Si donc AP est l'orbite réduite", et divisée en jours etc. on n'a qu'à chercher deux lieux T, A, sur les orbites de la terre et de la comète, qui répondent à un tems donné: cela posé, V TA sera la longitude géocentrique de la comète, TSA la longitude héiiocentrique, STA l'élongation, et TSA la commutation.

Deux observations suffisent pour diviser l'orbite de la comète. Puis dont que le passage par le périhélie est un des élémens les plus importans, il sera bon de prendre ^ce passage- pour Tune des observations.

§. 34H. Le M ME, Imaginés dans chaque iiistantim cercle passant par le lieu de la cojnéte C (/%. 98.)^ le périhélie P, et le foyer ou le soleil S; le cen-

53i ASTRONOMIE RATIONNELLE

tre de ce cercle sera coasfaminent dans la droite KL, perpendiculaire à la distance périhélie PS par son milieu F, et le centre avancera sur cette ligne d'un mouVQment uniforme,^

La première proposition est évidente, parceque le cercle est supposé passer constamment par les points S, P. Soit la comète en C, G le centr© du cercle décrit par G, S, P, et CM perpendiculaire à l'axe. , En nommant VMzizx, MC—y, VS — q, PF^o^. on aura y^z-^qx, la surface PCMzZo-^j, le triangle SMCzzï(x — q)y, donc

le secteur P C S = ï X (9 -1- 1 ^cj z= S. En abaissant sur CM la perpendiculaire GD, et en joignant GS, on aura

GS^ — DM^4-FS^— j^-^2j.DC + DG=^ + Ç, et

GC^ — FM^ -f DG^ — x^ - 90:+ ^ + DG^ Mais GS = GG, d'où l'on tirera DQzz.^lz^^l±3^ FG=:r -pç— ^"^'''"^ ^ — ^^ ^^ g + ^) __.y (-^ ^ + ^)

et en substituant j (3^-|-a:)z=:6S, FG— -— . Or S étant proportionnel au tems suivant les lois de Kepler, .le mouvement du centre F G est uniforme. Au moment où la comète passe par le périhélie, le centre est en F. Eri exprimant donc le tems t depuis le périhélie en jours, on a (§. 34i.)

S:zz —V q, et FGzz: -; en rayons de l'orbite de la terre.

Cette propriété des orbites paraboliques, aussi élégante qu'importante, est une des nombreuses découvertes de Newton (^).

§. 349. Le lemme précédent otfre un moyen très-simple de diviser l'orbite parabolique en tems. Comme les élémens doivent nécessairement donner le tems T du passage par le périhélie, et la dislance périhélie q, on marquera en P le tems T, et pour un tems quelconque t depuis le périhélie,

on fera FE=: , t étant exprimé en jours, et l'on décrira du centre

A'nyq * . -

E et du rayon ESiziEP un cercle qui coupera la parabole dans un point

B qui sera le lieu de la comète dans l'instant t. On peut obtenir le même

résultat sans calcul , et sans connaître T. Si A et C sont deux lieux de la

(!) Fhil. ffat, tnnG. Maih. Lih. L frep. XXX. §. 167.