LIVRE VIII, C H A P. IL

bite, C, C En nommant u, u" , les anomalies vraies , on connaît l'angle au soleil u'' — uzziÇ/' — C, et les rayons vecteurs aJjacens , r^ r" , d'où l'oa conclura C§. 342-)

la longitude du périhélie mP, la distance périhélie "znq, et le tems du passage par le périhélie "zz 0, ensorle que tous les élemens sont connus.

§. 352. Considérons maintenant la correction de la seconde supposition (§. 35 1.). Pour cet effet on se servira du tems de la seconde observatit)n , en calculant pour cet instant , avec les élémens trouvés par la méthode précédente, l'anomalie vraie u'. Cela posé on a {Fig. gS.)

• *;t> • ^,-r> AS.sinASS CS.sinCSô

sin A o B zr: sin G <9 B zz ; zz .

Aô C è ^

sin SeT zzsin SeK =: zz , d ou il suit

Ab -.Cb '.'. rsinii/ — -u) : r" sin {u' — u') , et

Te : Re : : Rsin(0'— O) •• R''sin(0''— O')-

Mais les projections Op, Qp, sont entre elles comme Ab, Cb: en faisant donc

7i^ sin [u^'— u') R' 'sin ( ©'' — g')

r— ( zz m, ^^ — ; c zz: n.

r sin {u' — U) R sin [o' — G )

on aura -^ zr m.v — zz:/z. Comme ces rapports doivent être à trës-pea O ^ ^/ T e '

près égaux à —zzr, supposons m zz. r -\- p, n zzir -\- g,

__ r'' sin [y.'' ~ u*) ^f __ R^^sin(G^— qQ t^

^ ~ sm (îi'— u) 7' ^ ^ "~ R sin (^O'— ©) t *

étant donnés. Or on a {l'ig. 96.)

OAsinA OBsinB . TAsinA R B sjn B ,

Sin p zz zz -^ ■ , sin e zz — zz: — — , donc

^OA-fTAzz^zz^^i^^tl-î^ilî, et

' sin A

O B 4- RB zz p" Q j' sin J7 + Re sine __ (t + j)) O j> sin j>-+-(t 4- gl Te sine ___

Sin B sin B

T ^ sin A -f f) , O ^ s in ^ -f- (j , T e sin e

- ' - sin B

En substituant Op sinpzzO A sin Azz(e — TA) sin A, et T A sin AzzTésine, il viendra

^„ (t -\-p) ç . sin A H- (^ — p)T esin e

sin B " ^

636 ASTRONOMIE RATIONNEI.LE

et Ton a dans le tiiangle TSe {Fig. gS.) Te siu e zr ST sin TSc. Mais STzzR, TSe zizQ)' — Q, et A, B {l'ig. 96.), sont les angles qne le rû3'on visuel dirigé vers le lieu réduit de la coraèle dans la II observation fait avec les raj-ons visuels dans la I et la III observation, donc Azzi'a — -a,

Br=a''— 'a, et . '

f, {r-\-p) P sin C'a — a") -H [q — ■p)'R sin (g'— o)

SIR \^oi — a)

En faisant donc e''— N?, N étant ia valeur corrigée de M (§. 35i.), on aura

m sin ('a — a) -\- (n — ■ '«) — sin (Q' — Q)

sin {a!' — 'a)

oii Ton peut, sans erreur sensible, substituer au lieu de ? la valeur trouvée par le premier calcul (§. 35 1.), que je désignerai par (^). On aura donc

{(^^ sin ['a — a) — R sin [0^—0),^ T".im[u"— u')-^^'',- sin [q''— ç/) sin [u'— u)

( ^ ) r sin (^a'' — 'a) sin [u' — u) *

et la valeur corrigée de ^''zzN?. On mettra donc dans les équations (2) (3) (§. 35 1.^ N à la place de M, et l'on changera ç, jusqu'à ce qu'on tr'ou-

vera ( M — ^^ r~Tr^ ' Avec ces dernières va-

leurs de r, r', ~ etc. on calculera tous les élémens paraboliques de rorbite, d'après les formules du §. 35i.

353. Quand les élémens ont été corrigés, par la méthode précédente^ de manière à satisfaire parfaitement à trois observations, on ne peut pourtant pas les regarder comme^ exacts , à cause des erreurs d'observation; car il est impossible, que les véritables élémens soient d'accord avec des observations défectueuses. Pour être exacts, ils ne doivent être parfaitemeîit d'accord avec aucune observation, mais ils doivent satisfaire à peu près à toutes les bonnes observations, en donnant tantôt trop, tantôt trop peu. Pour les rendre tels, il faut les vérifier par un grand nombre d'observations, aussi éloignées que possible des trois observations qui ont servi à déterminer les élémens. 11 est aisé de voir que cette vérification consiste à calculer avec les élémens supposés, d'autres observations. Mais comme on n'a pas besoin de tous les élémens, pour faire ce calcul, il y a deux méthodes principales de vérification, d'ont l'une est fondée sur les élémens paraboliques, et l'autre sur la position de l'orbite relativement à i'écliptique.

L I V îl E VIIÎ, C H A P. II. 539

Suîvant la première méihode qui est de M. Laplace ('), les élemens

supposés sont le tems du passage par le périhélie =-:T, et la dislance pé-

•'hélie '::rzcr et il s'agit de les vérifier par trois autres observations, dont

les époques soient t., i' , i" ■ Avec t — T, t'—T, t"^'T, et q, on trouvera

.^ 3'.^ 344.) les anomalies vraies (^, (p', (p'', et les rayons vecteurs

^ gtjj. Nommons les longitudes et les ialitudes géocentriques dans

les ti^ois' observations, «, a", «", et p, (3', [3'^ et les longitudes du soleil, ^/ ^//. gj gpit CFig. ioo.) S le soleil, T la terre, C la comète, Ce

r^.iioÎTf. à rérliotinue, donc pour la première observation, STcrr: perpencuculaii e a icuMiJi"!*^"-' » r r >

^ CTcznO et cos S T C :ii: cos (3 cos (a — Q). Connaissant donc dans

le trian'-le rectili-ne CST, i'angle STC et les côtés ST=rR, CSzzr, on aura sinSGTzz-^inST G, CSTzzzr8o°-(ST C + SCT;, et CT^^^^:^,

d'où l'on tirej;a Cc"-CTsinp, et sinCSczi: -~, ce qui est la latitude

léliocentrique. Maintenant on connaît dans le triangle spliérique dont le centre est S le côté perpendiculaire CSc et l'hypotîiéiîuse CST, d'où l'on tirera

ryic . COS ^j^ ^.g ^^\ dounc la longitude héliocentrique. De cette ma-

nière on trouvera pour les trois observations, les latitudes et les longitudes hé= liocentriques, X, V, \" , et L, I/, V. Soit (^Flg. 101.) E le pôle de récliptique, A C les lieux de la comète dans la I et la III observations, et nommons v,v', les angles au soleil , traversés par la comète entre la I et Ja II, et entre la I et la III observation^ cela posé on aura EA=^90°--X, EC~9o° — X^ AEG

zzV — Lj donc

cos v'zz: sin X sin \" -\- cos X cos X'' cos (U'— L) ,

cos V -zz. sin X sin X' -|- cos X cos X' cos (L' — L) j

et il doit être vzziq)'— $, v'— Cp''— -Cp. Si donc les élémens T, q, ont besoin de

correction, il se trouvera une différence entre ces valeurs. Supposons donc

(cp' __ CP) -- v — m et (Cp-"— Cp)--i;'=:/2. En mettant T' au lieu de T, sans changer q, on trouvera par le procédé précédent d'autres différences, savoir

(q)' „ cp) ™ t; — ,x, et (cp" - cp) — -u' zz V. Supposons enfin qu'avec T et q , on ait trouvé

(q)' . 0^ 1; m M, et (cp'< — ^) — v' = N.

Xl) Mém. de Paris, ^i]in. 1700, et Théorie du mouv. et de la Jig. ellipt. des Planètes. 17^4.

64o ASTRONOMIE RATIONNELLE

Ces trois hypothèses donneront la véritable par une règle de fausse position. La variation de l'hypothèse, T' — T, a produit les changemeus des erreurs, fil — m et V — n. Puisque les élémens sont à peu près exacts, on peut supposer qu'une variation peu diirérente, T' — T, produira des changemens des erreurs , qui seront à fx — m et à y — n^ comme T' — T est à T' — Tj et il en sera de même de q. Nommons donc les véritables éiémens qui ne donnent aucune erreur, T'', q" , et faisons T''— T — :r (T' — T) et q"—qz=z yW — 9)'- cela posé, les changemens des erreurs qui résultent de T' et de ^'', seront

^^ {(/^ — m)-l-(v — «)} et ^^ {(M — m)4-(N — n)}.

Le changement total de l'erreur, qui résulte de T'' et q" à la fois, sera donc

^(/a. — m)-\- X {^^ —n)-\-y (M — w)-]- J ^N — «) =l e -j- f , e étant la variation de l'erreur m:iz.{i3. — m) x -\- [M. -^ in) y , et e celle de l'erreur n iz: (v — n) x -\- (P^ — ")jy ainsi qu'on le verra plus clairement dans le tableau suivant.

Hypuiliese

'1 ti q

1' et q-

T et q

T' ei q

Erreur

m et n

/j. et V

M et N

0 et 0

Variation c de l'hypothès; ^

G et 0

Variation C de l'erreur \

0 et 0

fA — m V — n

Pour que les deux erreurs, m, n, résultant de la combinaison de la I obser- Tation avec la II et la III, soient nulles, il faut que m diminue de m, et n de n, c'est-à-dire que ezn — met e ziz — n; d'où résultent ces deux équations:

(m — \i)x-\-(m — M) yzzm, et {n-^^j x-\- {n — N)/zz«^ dont la solution donne

•m N — nM

n ju. — m V

n(/A— M)— v(m— M)-f N(m— fi)

71 {^o. — 31) — . V ,^m— M) -+- N (m— a) ' Après cela on aura

le tems corrigé du passage par le périhélie, T^ziiT 4" •* (T'' — T),, et la distance périhélie, ç" zzzq -\-y (9' r— y).