LIVRE Vin, C H A p. III. 55i

la diMance Iit^liocenlrique au noeud et le rayon vecteur (§. 3540; trois observations donneiont donc trois rayons vecteurs et les angles compris. Dans un pareil cas on n'a besoin d'aucun autre élément, et trois observations suffiront pour calculer tous les éléraens de l'ellipse, le paramètre ou le grand axe, la position, la dislance, et l'époque du périhélie (§. 176.)*

§. 36o. Quand on a trouvé ainsi les anomalies $ et $-{-a, et les êlêmens elliptiques par le moyen des rayons vecteurs r, r , et de l'angle compris a, on calculera d'après la formule V. (§. 358.) les tems t, i , qui sont employés à parcourir PB, PC, et par conséquent le tems i — t dans lequel l'arc BG est parcouru. ^On peut aussi trouver ce tems immédiatement, sans connaître l'anomalie (f). -

Pour cet effet il faut exprimer 90 par le rayon, vecteur r. L'équatioîi IIÎ. ou cos (J) =z ~- ■^— ^ donne, en faisant

-p — 2 ^ HZ .^, et 4 7 — pzzm,

k r^ sin Cp

et sin Cp

donc

q ^TT .yp

En faisant donc Vç — nr'^-j- ^q^ r — pq'^) zziu, on aura {% 358,) ds =: ~ d (D == "L^^yl dr. et u^ =z n (tl r^ {r-g).

:: d ^ = "L^^yP dr, et u^=zn (^ - A {r z ^ au \ n. /

Supposons wzz fî-l-rjvVn, ensorte que u'^-nv'^ l^ — r) ziznf •n(.>'~f/)f

d'où il suit nj'^fpq —7ir)=zn (r — o), et rzz ^--— ^^. On a donc

drzz—^ :zz^—^ , ^-i — rzr ~ — , uz-:—. — -, donc

n[i-hv^f n[i-hv^)^ n 71(14-1/=)' (iH-u*)/»'

ds zz:

h étant

(14-1;^)'' ' 71|/rt

Dans l'ellipse, oiî n est positif, l'intégration donnera

k hv . j . ^ ~

s-zz. :; ■4-2/^0. Arc tanff -y.

En substituant 'v —V '^^'^.~^1 ^ i -^ v^ = -ll±- , il viendra

p q — tir pq — rir

an ^ /^ V/-V ^ ^ ny-a ^ pq — nr

Puisque l'intégrale doit être prise depuis rzzzr j-usqu'à rzzzr, il f^ut ajouter

oaa ASTRONOMIERATIONNELLE

isne consîante qui la rende nulle, si rz=.r, et ensuite mettre r-zr.r'. Or le tems t qui répond au secteur 5^ étant zz — — (§. 34i.), on aura le tems dans lequel l'arc BS est parcouru,

t — -— j Arc tang V — ^ — — J-^ Arc tang V — >

La distance périhélie «7 est donnée, ou on la trouvera par r^ r , a, et p (§. 359.), ce qui donnera aussi 72:zz^ç — p.

Pour disposer les formules plus favorablement à l'usage des logarithmesj on peul calculer d'abord deux angles, ,a, v, par les équations tang — z=:V — ^ — , tauD; — rn V — —

p q — nr ' ^ z ' fq — n 7^' ^

ce qui donnera tang \i n: ^ ^ -^ ■ > o^

l/n['r — q][fq—'nr) . ^ n [r' — q^ \p q -— n r'')

^\.p — ^q) qip—^q) ' ^ '

d'où il viendra

, 2mç= . 'm-q^(p~zq) .

^ = i— ^ (v — M-) — — —^ ^ (sin V — sm |x), ou

'2771 g^r v™^ v-|-M-> ^ zz ^ S <7 (v — - U-J r~~ (p — 2 (7j sm ces > •

§. 36i. Une des comètes les plus remarquables sous plusieurs rapporfs,est celle de 1770, dont l'orbite a été calculée par Lexell, suivant la théorie elliptique, parcequ'on ne pouvait la calculer dans une parabole (^). D'après ce calcul qui a été fait avec le plus grand soin, et qui a été confirmé par les recherches de M. Burckliardt (^), le périhélie est dans ii^26°j6, entre les orbites de Vénus et de Mercure, et l'aphélie est très-peu au delà de l'or bite de Jupiter. Le plan de l'orbite coupe Técliplique en 4^ ' 2® sous le petit angle de 1*34', et cette comète est peut-être celle qui s'est le plus approchée de la terre, savoir de 0, oi54, ensorte qu'elle n'était que six fois plus éloignée que la lune. Comme on avait observé un arc de son orbite de plus de 170^, il était à prévoir, que les observations ne s'accorderaient pas avec la parabole, et qu'on pourrait calculer les élémens elliptiques avec assps dp précision. Vn effrt , toutf^s les observations, calculées suiv/înt la

(l^ ^cia ylcdU. Ji.i,int. uriij.', Jr'eliop. pro anno X777. F. i. (a) Mém. d« l'Jnstitui de FrancCf li)o6.