cosTVS

~;^ , ce qui doit être u«i maximum. En faisant STzzK, SV — r^

T V zz: a-); on a

cosTVS= ^ , et I 4-cos T\ Szz ^ ,

et Ja lumière sera comme ^ — ' — 3 En différentiant cette expression

par rapport à x, r et R étant supposés consians, Je cas du maximum donnera Féquation : ozz: x^ -^ ^rx — 3 (R^ — r^), d'où Ton tire

iii ASTRONOMIE RATIONNELLE

et en substituant r zz; R . 0,72333^

x iz:R . 0,43.

, , x^ ■+ R'^ — t'"^ Or cos VTS étant zz , si Ton y substitue r rzR. o,'7a333 et .r —

R.o,4^^j on aura cos V TSzz:o,';69t3 et VTSzz:39°4^', ce qui est la digression de Vénus du soleil, lorsque sa lumière est la plus brillante. Comme Vénus parvient à cette digression deux fois de chaque côté du soleil, avant et après la plus grande digiession qui est de 4^®, il taut observer que^ la plus grande lumière répond à la digression de 3q°^'.V, qui arrive entre la plus grande digression et la conjonction inférieure, attendu que :r.est moins grand que R.

§. 82. Les orbites planétaires, en s'écartant des deux côtés de'l'écliptique, ne peuvent pas être situées dans le plan de l'écliptique: elles le couperont donc sous un angle qui est appelé VincUnaîson de l'orbite planétaire,et qui est égal à la plus grande latitude de la planète. Si le plan de l'oibite passe par la terre, les plus grandes latitudes géorentriques des deux côtés de l'écliptique doivent nécessairement être égales; et si cç n'est pé^s le cas, il est certain que la terre n'est pas toujours dans le plan de Forbite planétaire (§. 70.). Or les observations ayant prouvé, que les plus grandes latitudes des planètes , dans chaque révolution, sont fort différentes l'une de l'autre, au point que celle de Vénus change de i® à ^°; et ce changement ne dépendant pas de la longitude de la planète, mais de sa situation relativement au soleil: e'est une preuve géométrique que le système de Ptolémée n'est pas admissible, et il était naturel d'après cela, de rapporter les planètes au soleil et non à la terre. On chercha à déduire les latitudes héliocentriques des géocentriques que les observations donnent, et qui changeaient trop irrégulièrement pour pouvoir être les véritables latitudes: on trouva, que les plus, grandes latitudes héliocenti'iques des deux côtés de fécliptique étaient constamment égales, et que le changement de latitude, étant comparé avec les longitudes héliocentriques, suivait exactement la loi qui, conformément à la géométrie, doit^ avoir lieu , lorsque deux plans s^ coupent. Il fallait donc conclure, cjue les plans de toutes les orbites planétaires traversent le s'ôleil et non la terre, ei que par conséquent les planètes tournent autour du soleil et non pas autour de la terre. Cette recherche suppose qu'on peut trouver la longitude et ia,ii"

. LIVRE III, C H A P, lîî. ii5

tude béitocentrîques d'une planète, les géocentriques étant données, et réciproquement^ et il est aisé de voir, que chaque observation ne donne qu'un seul angle. Pour trouver les autres angles du triangle, il faut connaître le rapport des côtés3 ensorte que toute la théorise des planètes dépend du problème, de trouver leurs distances au soleil ou à la terre pat rapport à celle de la terre au soleil. Les méthodes ingénieuses, imaginées par Kepler, pour résoudre te problème, seront exposées ci-après: elles sont fondées sur les formules trigonomé triques qui servent à comparer entre eux les lieux géocentriques et héliocentriques des planètes: pour éviter des répétitions inutiles, ces formules vpnt être rassemblées ici. Elles serviront non-seulement à calculer pour une époque quelconque ie lieu apparent d'une planète, à l'aide des tables, son -orbite- étant connue, mais aussi à corriger ses élémens par .le moyen des observations: elles sont dx)nc la base de la théorie des planètes, et nous indiquent la route, par laquelle on est parvenu à connaître le vrai système planétaire. 5. 83. Soit (/%. 21.) TAB récliptique, coupée en A et B par le plan ou la projection de l'orbite planétaire sur la sphère, MADB, T le point vernal, TAB l'ordre des signes, suivant lequel les longitudes se comptent, et îe mouvement de toutes les planètes se dirige. Les points d'intersection A, B^ sont appelés les noeuds de la planète, et spécialement le noeud ascendant (Q) est le point A, où la planète s'éiëve au dessus de l'écliptique vers le nord, et 13 est le noeud descendant (23'} où la planète descend -.vers le sud. L'angle sphérique CADzzv, sous lequel ces deux plans se coupent, est inclinaison de l'orbite. Maintenant il est aisé de voir que, ACB^ A DB, étant les communes sections des plans des orbites dé la terre et de la planète avec , la sphère céleste, dont le centre est occupé par le soleil, et par conséquent de grands cercles, tous les problèmes 'dont il s'agit ici, pourront être résolus à l'aide de la trigonométrie sphérique. En ciïet, la planète étant en P, et PL un cercle de latitude, PL:ri(3 sera la latitude, et 'YALznX la longitude héliocentrique de la planète, TA^iJ la longitude du noeud ascendant: L est îe lieu réduit à l'écliptique, P le lieu héliocentrique de la planète dans son orbite. Afin que ce dernier soit peu différent de la longitude dans l'écliptique TAL, il n'est pas compté du noeud A , ,mais d'un autre point M dans-

si6 A S T R 0 N 0 MI ERATÎONNELLE

l'oibîtp, duqiipl le riopud A est aussi éloigné qv^e du point vernal Y, ensorie qu'en tijovitani AP ci\ec TA, on a Va. longitude de ia planète dans son orbite M A P m L 1= J -j- A P- La distance de la planète au noeud ascendant, ou APznaiziL — J, est appelé Vargiiment de latitude, parceqne la laliiade en dépend immédialemenl ^ et Ja différence entre les longitudes dans l'orbita et dans récliplique. AP — AT-n: a — AL zn L — 'Xzz:^, esi Xa rcduction a i*édipficiue, à Taide de laquelle on trouve chacun des angles L, X, l'autre étant doûné, par une simple addition ou soustraction, L zz: X -(- ^, X zz L — ^. L'inclinaison V étant connue, le triangle ALP fournit les équations suivantes: I. ^sin (3 zz sin y sin a zzz sin v &in (L — J) , I L fang , X — J zz: cos v tang (L — J) zz; cos v tang a^ II L tang |3 zz tang V sirr (X — Js

1 V. tang a zz tang L — J) zzz ^^ ,

cos V

L'équation ï L donne tang { (L — J,; — (X — J) } zzi tang (L — X) =r tang p =

tg( -— J — t^(X — Jj tan^ n, [-i — cos v) 2 farg a {s;n | v)^ a sin acos7.(?ir*v)^

i4-!g^i. — Ji g,À— J) I -f-cos V laiig2-a — sec^a — atg^a^^sn |^ j=^ i — 2sin2a(?ii iv)^ """

sin -a sin .v,^ ^ ; + 2 sin^a (sin ~ j + 4 sin4 « ('sin - 1 -j-cel.^.

A regard de toutes les planètes de notre sjstème, excepté une ou deux des

nouvelles planètes, il suffit de développer l'expression précédente jusqu'à la

sixième puissance de %, leurs inclinaisons étant au dessous de 7 ou 8 degrés^

dont la sixième puissance est 0,00000^4 ou i i secondes. On aura donc

' ' 2 — 2 48 •" 3040' r^" 7y ~ 4" ~~ 48 "T" 44Ô' l,^"" 7y " le ~~ ^'

tang t = - ,,i„ .^« (. - - + --J J, + »i„= . (, -j + - si.4 «

-J Sin a a ^ I -j- -^ (6 sin^a - ij-^ JL (^i Jo sin" a -[- 90 sin^ aj l .

Or p éiant zz tang p — | Eang^^, on trouvera

e ZZ — sinaa j i -h - ^6sin^a— i)-4--l f , __3osin=a -foosin^cc — — ('sin2al^ ) i ^ 't C 12 3do\^ ^ j j

En substituant ici sin^ a zz ilIÎ^^Hf «h/. « — 3 — —-^ 4- î^ilif

(sm 2 c; ^'zz = , il viendra

^- ?— 7- I -h V H- -- - sin 2 a — ^^ I -|- — sm 4 a -4- — sin 6 a.

Feux une planète comme Pailas^ dont iinciinaison est de J4'^ à j5'', il iiiu.-