LIVRE III, C H A P. V. i

rement des planètes, relalivement à la seconde inégalité, étant le plus rapide dans les conjonctions, le plus lent dans les oppositions, et de même grandeur à égales distances à la conjonction, ce mouvei^ient est divisé en deux parties égales et semblables par la ligne des syzygîes , comme le mouvement par rapport à la première inégalité est divisé par l^Jigne des apsides. La seconde inégalité est donc nulle dans les syzygies , ainsi que la première disparaît dans les apsides 5 et les oppositions donneront la première inégalité seule, sans la seconde. C'est sur ces réflexions, que Ptolémée fonda sa théorie.

Supposons {Fig- 19.) que le soleil soit en O, la terre en C, une planète supérieure en A , et AB perpendiculaire à Fécliptique: la planète étant en opposition avec le soleil^ le point B sera diamétralement opposé au soleil, OCB sera une droite, et la longitude liéliocentrique de la planète OB égale à la géocentrique CB5 ainsi l'observation .de l'opposition donne immédiatement la longitude héliocentrique. Pour trouver l'instant où la planète était opposée au soleil , ainsi que la longitude géocentrique quelle avait à cette époque, il faut l'observer assidûment quelques jours avant et après l'opposition, afin qu'on puisse en conclure la vitesse avec laquelle sa longitude géocentrique a changé dans l'opposition, ainsi que les deux observations entre lesquelles l'opposition est comprise, ensorte que la différence entre sa longitude et celle du soleil était , dans l'une de ces observations un peu plus , et dans l'autre un peu moins grande que 180®. Le mouvement du soleil étant connu par la't\ théorie, ou par les observations qu'on en a faites les mêmes jours, on trouvera également sa vitesse lors de l'opposition: or la .planète étant rétrograde, la somme de ces deux vitesses donnera la vitesse rdafn^e^ avec laquelle la planète se rapproche ou s'éloigne du point B. On trouvera donc le tems vrai et la lougitude vraie dans l'oppc^ition , par le moyen d'une interpolation, où il faut tenir compte des secondes différences (L §. i65.} Le même procédé donnera la latitude géocentrique ACB dans iïnstani de l'opposition. Quand * on a des tables des planètes assés exactes , qu'on se propose de corriger par ces observations, on calculera pour l'époque de l'opposition, la longitude et la latitude de la planète; et en les comparant avec les observations, on découvrira les erreurs des tables en longitude et en latitude.

§, Î07. A:vant d'entreprendre les recherches sur la nature des courbes que la planète décrit, dans le plan de son orbite, il faut connaître ce plan-, ou sa position relativement à un plan connu, comme Fécliptique, Cette position est ciéierminée, par ia ligne de la commune section- des deux plans •^la Lgne des noeuds), et par l'angle qu'ils font entre eux {VincUnaisoïi àQ l'orbite sur i'éclipiique) (§.-83.). -La longitude des noeuds est la longitude lieîiocentrique de la planète dans l'instant où elle est dans l'écliptique , et que par conséquent, sa latitude héliocentrique et géocentrique es-t nulle. Si la planète était dans le même instant opposée au soleil, sa longitude géocentrique serait le lieu héliocentrique du noeud- Maïs comme cela n'arrivera guë^ res, on trouvera du moins une valeur approchée de la position des noeuds, en observant la planète dans une opposition qui est près du noeud. La variation diurne des latitudes observées donnera, par interpolation, le terns ^ avant au après- l'opposition, où la latitude étai4: nulle. Puisque les révolutions âes.. planètes, ou leurs mouvemens moyens sont connus- (§. 99.), 011 trouverait la longitude, du noeud, en combinant le mouvement moyen qui convient au iems /, avec la longitude dans- l'opposition, si le mouvement vrair depuis l'opposition jusqu'au noeud était égal au moyen (^). L'erreur ne peut pas être considérable, si l'opposition est très -près du noeud ^ et il est alaé de voir,, comment la longitude du noeud peut être corrigée, ai l'on connaît à peu près ia position de& ap&ldes et FeyGehiricité de la planète.- Celte mév thode Q&t principalement applicable aux passages des planètes inférieures sus le soleil, où elles sont très -près du noeud..

Cette détermination des noeuds est assés exacte,, pour en conclure, sans erreur sensible, non-îeulement rinclinaison, mais aussi les élémens de l'orbite eAcer.îriquc, ainsi qu'on le verra plus bas. Mais ces élémens étant connus-^ il est facile de Galculer la. longitude et la latitude héliocen-triques,. à l'aide « d'une observation géocentrique quelconque (§. t'4.). Ayant donc observé la planète plusieurs fois avant et après son passage par le noeud, ensorte que sa latitude était dans une observ^ation boréale, et dans l'autre australe,- lemouven-ient diurne en longitn -e et en lalitude donnera, ]iar inlerpolation,.

{i) Kepler di stalla Marùs, Cop. Xi£,

rinsiaiit où la latitude élait nulle, la plauèle passant par le noeud. La longitude h-éîiocentrique, calculée pour cet instant, donne celle du noeud ( ^ ). Au moyen de celte yaleur plus exacte, on peut corriger les autres élémens, et en répétant l'opération précédente avec ces élémens corrigés, on trouvera ■une valeur encore plus exacte de la longitude des noeuds. Ces Eiélhodes indirectes qui servent à corriger mutuellement un élément par Tautre, soat d'un grand usage dans toute l'astronomie, et ont donné les élémens des oibites planétaires avec plus de précision, qu'aucune méthode directe, ^ La planète aj^ant la même latitude liéliocentrique à égales distances-

au noeud, cela donne lieu à une autre métliode. En observant la planète à la même distance avant et après Le noeud , et calculant pour chaque observation la longitude et la latitude liéiiocentriques, on cherchera deux latitudes égales: alors la longitude liéliocentrique qui est le milieu entre celles qviï répondent aux deux latitudes, sera la longitude du noeud, aux époques de chaque observation,, si la ligne des noeuds est immobile, et à l'époque moyenne entre les deux observations, si les noeuds ont un mouvement.,

§. io8. La longitude des noeuds étant connue, chaque observation d'une longitude et latitude géocentrique de la planète donnera son //jc//hgwo7z^ par une mélhod.e extrêmement simple (^). Qu'on observe la planète P {F/g. 3o=) et le soleil S, au moment où sa longitude est exactement égale à celle du noeud N, et que par conséquent la terre T est sur la ligne des noeuds fm. Ayant abaissé la perpendiculaire PQ sur l'écliptique KQ«, on connaît par l'observation,, rélpngalion de la planète NTQziza,. et sa latitude .géocentrique PTQzi:(3-. On connaît donc les deux côtés qui comprennent l'angle droit Q du triangle sphérique NQP,- ^l'où. l'on, conclura riaclinaisoit PNQzi:v^ à. l'aide de la furniule

tang 3 taiig V zn ---^..

^ " sm a

Quand même la longitude du noeud^ ou l'angle a ne serait pas parfaitement juste, il en résulterait, pour l'inclinaison, une erreur peu sensible. En effêt,-

(ï) De Stella Mards, Cap. iJ^J.

{^ IhiS. Cap. XIII.

- , d a cos atRB^-^

ï5S . A S T R O N O -M I E R A T î 0 N N K L L E différentiant l'équvqtion précédente par rapport à a et y. cm trouveraj à cause de cos- V zz: — - — — -tttt ,

d V zz.' cos^ V. d tang v L'erreur sera donc d'autant plus petite, que a est plus grand ^ elle sera nulle, si la distance géoceiitrique de la planète aux noeuds, a, est 90°. Ainsi de niême que la ligne des noeuds est trouvée par des observations près du noeud, de même l'inclinaison sera déterminée d'autant plus exactement, que .la planète est plus près de sa plus grande latitude, ou des limites {iermi-

nus borealis vel australis). Kepler trouva par ex, par une observation de

/ / T X -1 f ^ COS a tang |3 Mars, azzi^o'', Q=:i*4q'2o', o'ou il resuite -t-t: -—•11:0,0057: donc

s'il s"était trompé d'un degré sur la longitude du noeud. Terreur qui en résulterait sur l'inclinaison, ne serait que de iS""'. Si a est =190*, on a v m (3, et le résultat est aussi exact que l'observation même.

Après avoir corrigé les autres élémens avec l'inclinaison et la position des noeuds, ils serviront réciproquement à rectifier l'inclinaison, ainsi qu'on l'a vu relativement aux noeuds (§. 107.). Si l'on a observé une opposition irès-près des limites, on connaît la longitude liéliocentrique et la latitude géocentrique. Au moyen de la théorie de la planète et du soleil , on conclura, pour l'instant de l'opposition, les distances de la planète et de la terre au soleil, SP {Fig. 3i.) et STj on connaît la latitude géocentrique PTQzi:[3^, et l'on trouve la latitude héliocentrique PSÇ=:p, à l'aide de l'équation

sin (p'— (3):z=sinSPT= ^sinp^ donc (3 zz: P' — ((3' — (3). Maintenant, la longitude héliocentrique de la planète et du noeud, et par conséquent sa distance au noeud ziz a, ainsi que sa latitude zi: (3, étant connues, l'équation tang v zz — -— donnera l'inclinaison. Si l'observation est hors

^ ^ sin a

de l'opposition, mais à peu près 90° du noeud, 'on peut calculer, sur les élémens de la planète, sa longitude héliocentrique qui, étant ajoutée avec le supplément de la longituue du soleil à 180", donne la commutation 7. L'élongation r\ et la latitude géocentrique ^' étant données par l'observation, on aura {%. 84. XVL) tang (3 = --^^-^— , et tang v =1 — -^ ( ^ ).

(ij De Stella Marùs, Cap. hXLI.