LIVRE ÏIÎ, C H A P. VI

SP=: 1,6618; le rayon vecteur =1,66228; et la longitude sur l'orbite pour le 3i Octobre iS^o à 61ieur. i5 min. du malin zn ^^0° iq^iq'' (^).

Au moyen de cette méthode on peut, sans le secours d'aucune hypothèse, trouver la longitude, la latitude, et la distance, héliocentriques de la planète, dans chaque point de son orbite, où elle a éié observée deux fois: ce qui suffit pour déterminer toute l'orbite.

§. Il 5. Maintenant il s'agissait d'examiner, si l'hypothèse adoptée jusqu'alors (§. HT.), et que toutes les observaiions paraissaient confirmer relativement au soleil, avait aussi lieu à Tégaid des planètes, c'est à-dire , si leurs orbites étaient circulaires; et Kepler fit cette vérification, en comparant rh)potlièse, i) avec les longitudes héiioceniiiques, observées immédiatement dans les oppositions, 2) avec les longi'udes géocentriques hors des oppositions, 3) avec les latitudes, 4) avec les distances. La- longitude des noeuds et l'inclinaison étaient connues, par les méthodes précédentes, assés exactement, pour réduire à l'orbite les longitudes observées dans les oppositions, sans erreur sensible. La précession é ant aussi connue, Kepler trouva de cette manière l'angle que Mars avait décrit autour du soleil d'une opposition à l'autre , et quatre oppositions lui servirent à déterminer l'orbite de Mars,

En supposant {fig. 340 que le soleil est en S, et que Mars a été observé dans les quatre oppositions M, N, O, P, on connaît la direction des lignes S M, SN, SO, SP, et les angles MSN, NSO, OSP, PS M, dont la. somme fait J6o°j mais les points M, N, O, P, sur ces lignes sont inconnues. Si rhypolhèse est juste-, qn^ ces quatre points sont situés sur la circonférence d'un cercle, il faut que la somme de deux angles opposés, NMP-j- NOP=::MNO -|-MPO soit égale à "180°. De plus, si G est le centre de ce cercle , chaque angle au centre doit être le dou"bIe de l'angle inscrit dans le même segment, M CN zz 2MON iz: 2 MPN, etc. Enfin, s'il existe sur la droite SC un point E, autour duquel le mouvement est uniforme, il faut que les angles M EN, NEO, OEP, soient entre eux comme les tems

(l) Ibid. Cap. XXFJII.

î68 ASTRONOMIE RATIONNELLE

écoulés d'une opposition à l'autre. Kepler résolut ces problèmes de la manière suivante. Faisons, pour abréger,

TanomaHe vraie ASMzza,

réquation du centre EMS = Cp,

l'anomalie moyenne AEMz=:7ii:a-|-(p,

le demi- diamètre du cercle CAzuQBzna .

Texcentricité CSiizc,

la distance du point d'égalité CEzze.

Kepler commence par donner à a une valeur arbitraire qu'il détermine cependant, pour approcher plus vite de la vérité, conformément à la position des apsides AB connue à peu près. La difTérence entre la longitude moyenne, aussi connue à très-peu près, et la longitude observée, donne rfi pt 7 — ci-|-^. La durée d'une révolution de Mars, et les tems écoulés entre deux oppositions, font connaître les angles M EN, NEO, OEP, et par conséquent AENzz7^-MEN, AEG ~ :i6o° — (AEn'-j- IN E0>, AEP zz AEG — OEP. Connaissant par observation, les angles MSN, NSG, GSP, onauraASNzz MSN-j-a, ASGzz36o°— (ASN-j-NSG), ASP zz ASO — OSP; ce qui donne les équations du centre ENSzz AEN — ASN, EOSzz AEG — ASO, EPS=: AEP — ASP. Maintenant le triangle EMS fournira les équations

S M -— '^ltlll}ï2. s N — (ii^i'^iA— S 0 -- Lîillfi'iAE^ s P — (^+'^'>^"'^^^

sin (p ^ "^ siii E N s ' sin E O S ' sm E P S * .

Au moyen de ces valeurs ou aura dans le triangle MSN,

^,,-, SM sin MSN . sin 7 . sin M S N . sin E N S

S iN — s M cos M s N sin (]) sm A E N — "sm 7 cos M S ]N . sm E ]\ S '

et l'on trouvera de la même manière les angles NMS,, Oi^^S, KOS, PO S, GPS, PMS, MPS, MOS, OMS. Maintenant la somme de MNG zz MNS-|- ONS et de MPO zz MPS -f OP S , ainsi que NMP -f NOP iz NMS -j- PM S -|-NOS -}- POS, doivent être iBo°. S'il se trouva une différence, Kepler cionna successivement dillérentes valeurs à a, sans changer 7, jusqu'à ce que ces deux sommes étaient égales à 180®. Alors il était certain, que les points M, N, G, P, était sur la circoniérence d'un cercle, mais que cela ne pouvait plus avoir lieu, quand a prendrait une autre valeur^ 7 restant invariable: d*où il suivait qu'il ne fallait changer aucun de ces angles, ou qu'il fallait Ciianger tous les deux à la fois. Cela posé, on a