il

et si n est un nonibi-e impaij-,

2.^'^^ cos"- v :z: cos nv -\- ~ . cos (n — 2) i; -|~ —^^^^-^ cos (n -— 4) t' -f- .

J- . — ■ .1 — - — i cos V.

La substitution de ces valeurs donnera à îa série précédente la forme:

li—y\oiv)^ =1 + a7 cos t' -f I 7^ (cos 2 V -f i) -\- — 7^ (cos Sv-fS coa v)

-|--^7-^(cos4v-i-4cos2V-|-3)4-~7^[cos Sv-j-lcosS v-| ^cosv)

+ n r f ^ f\ # ,6.5 ,t6-5. 4-\ 4'^^ 1 cos 6 y 4-ï cos 4^ "h - — cos 2 v -f- ^ . ^ -| cet. 2* V -^ 1.2 '2i2.3/'

La loi de cette série est évidente: son terme général est 4: 7^.N, N étant

la valeur précédente de 2"""^ .cos"- 1;. En ordonnant la série suivant les angles multiples de v, on trouvera

3 ^,2 1^-5 ^4 I ^■^•7o,fi I 3.5.7.9

^ \ = 1-1- -y^A--^ 74. I :^^jZ76 4 l:jLiZ:-i 78j.,,

(i 7cosi;)2 '2 ' 2.4 ' 2,4.6 2.4.6.3 "^

-4- 2 7 cos v ("i 4- - 7^-1- ^ 7"^ + ^~ 76 4- cet.)

-}- — cos2i; (3-^31. 7^-^ -~^^-\ -^' -^76 4- cet.)

- H — ^ cos 3 v ( 4 -^ ^ 7^ -^ 7 ' - ^^ + ^ \ • -r 'V^ + cet. )

,7* , /,- , 6 7 „ , 7.8 q , , 8.Q.IO II . , \

- 4-~cos4i; (5H ^7^4-^ — . —^^"^ A r76 4-cet.)

J — -cos5u(64-~- — 7--^ ~'~i.^^-\--- ; • -^ "^^ 4- cet. )

Si l'on fait pour abréger, 7 r;^ -rr =: .

^ (i — .7coslM^

A-}-2 A^*' 70081; -| A'^^^ cos2 i;-| ^ A^^^ cos3 i;-{- . . . • 4" "i;^! -A. ^'^^ cos7îi;^

il est aisé de voir que A •::z A^^^ =: (i — 7^)~^^j et le terme général

196 ASTRONOMÎJE RATIONNELLE /„j!^-j i )(«4-!!'-}2)(«-|-!^J-3) (/?,-}-7?0 ("+/?? 4-0

1 V ^ ' ^ ^- ^ - ^- ^ ^ .. 'ym^

En multipliant donc la série par

(I— 7^^=:ï 7^-f-74 ^i-f -f- -^-— h^TT" C + ^eh

'^ ^ 2 '8 c 6'6.ÔD.o.io'6ô.io.i2) '

3 3 . 5 , n . . . . (r — 5) 7^ le terme sénéral étant zz-4-— «--^r^ — "' " ' / i- — > il viendra

-— z= , ^ 4- =1: I-i-2 7C0Sf

dV (l^7cosV)2 1^

En faisant pour abréger,

— nri -!-2 7cosv-4-^B'^' cossv-l -B^^' cos3v-\-..,.-\---~ — 'B^'"''cos7iv,

w , multipliant cette série par a v, et intégrant, on aura

fo).... uzru + 27sin VH •sin2i;s — r--^- sm 3 t; + ....+ ,,, — ^ — sinn v,

Dans l'application de celte formule à un cas particulier, on commencera par déterminer la puissance de l'excentricité, jusqu'à laquelle il faut développer la série, pour que les termes négligés ne produisent pas une erreur sensible, et alors on réduira les coëfficiens B^^' à la forme la plus simple. S'il suffit, par exemple, de porter la précision jusqu'à la sixième puissance de

7j on aura

72 / 72 3 7'4v 7' / 3 ^N ix:=i:i;-l-2 7sint;-| 3-] — --1-- )sin2i;-l (4-1 — 7" sin3u .

-1 (5 4-37^) sin4v -\ 7^ sinSv-l- -^y^sinGv.

La valeur de h- qu'on vient de trouver, donne en même tems V équation du