LIVRE ITT, CHAT. VIII

' Or on a M=L— N=L+P-|“ér^ donc M'— — Ç, N' — N=:X4-Ç. d'où il luit

{N'— «) + (>!'— M) (N' N) — (M'—Ml

^ , ei Ç ^

Cela donne la vraie époque pour la première observation =L:=I/— X, et la plus grande équation corrigée — Ç, ainsi que l'excentricilé Corrigée.

L’époque corrigée L, le mouvement moyen connu, et la longitude do l'aphélie supposée A -}- <>), donnent pour l'instant de la troisième observation en or, l'anomaUc mo3’cnne, d’où l'on conclura, è l'aide de l'excentricité corrigée y, l'anomalie vraie oSa et la longitude vraie ~ oSa A -|-w. Si elle n'est pas parfaitement d'accord avec la longitude liéliocentrique, observée en tt, l'erreur ne peut naître que de ra. En nommant donc B la longitude moyenne en a, C la longitude vraie observée, l'équation d.u centre sera B — CsA. Or l'excentricité 7 étant connue, il est aisé de trouver l’anomalie vraie, à laquelle convient l'cquatioa hi en la nommant v, on aura la

i longitude vraie de l'aphélie, A — C — w, et u— A' — C -l- u.

$. i47* Le seul inconvénient de la méthode précédente est que deux observations doivent être faites dans les points, où l'équation du centre. ^ est nn maximum. Dans d'antres cas, il"{aat procéder de la iqaniëre suivante.

En nommant A, B, C, les trois observations , on calculera , avec lea valeurs supposées et très-approchées de l'excentricité 7 et de la longitude de l'apliélio a, les anomalies vraies et les équations du centre, qui répondent aux loiigitudea vr.-iies, observées en A et Bj les équations donneront les longitudes moyendes, et leur dilTéronce qui est donnée par le tems écoulé: si ^ elles ne se trouvent pas d'accord, on (Rangera et seul, jusqiilà oe que la diilerence entre les longitudes moyennes calculéés soit parfaitement conforme au tems écoulé entre les deux observations. Ensuite on changera la valeur de 7, on procédera de même, pour déterminer a. De celte manière on trouvera une série de valeurs correspondantes, 7 et a, V et a'\ Y' et a", et<x Mais deux couples suUiront, pour en conclure, par interpolation, une autre couple quelconque. En eflêt , si l’on opère de la même manière sur les observations A, C, ou B, C, en employant les valeurs tirées de deux couples précédentes 7, a, et Y, a', CCS deux résultats indiqueront, à l’aide d'une simple proportion, de

■2^6. ASTRONOMIE RATIONNELLE «onibirn il biut changer y et a, pour que la dilférenre de« anomalies noyeile nés en A el C soit d'accord avec le tems écoulé. Ces corrections donneront les justes valeurs de 7 et a. En ôtant a des longitudes héllocenlriques A, B, C, on aura trois anomalies vraies, d’oii l'un conclura, au moyen de l'excenlricité 7, les équalions el les anomalies moyennes,, lesquelles, étant ajoutées aveu «, donneront les trois époques corrigées.

Il est aisé de voir par ce qui a été dit relativement aux méthodes précédentes, que le résultat de cette méthode sera pateillemcnt,. d’autant plu* exact, que les observations sont plus près des apsirles et des moyennes dislanoes; et que l’excentricité ou le lieu des apside»; se.ra trouvé avec plus de sûreté^ •«Ion que deux observations sont faites prés des moyennes distances ou prés det apsides.

H a été supposé jusqu'ici , que U ligne des apsides a été immobile

pendant l’intervalle entre les deux observations, ou que son mouvement est

connu. A l'aide d'une quatrième observation, on peut déterminer, par le pro«

eé> é suivant, non • seulement ces trois élémeiti, mais aussi le mouvement

des apsIJrv,

}4'^. Supposons qu’ôn ait trouvé, par les tables ou soiranl un* tiusse hypotlièse,

la toDgitiKle de Taphélie pour une époquo' quelconque zzA,

Son mouvement annuel — a, l’excentricité =7, et que les valeurs exactes' soient, A -f- x, «-j-s, y x> *, y, élant lee erreurs qu’on cherche. En raummant L‘, L", L'", L*'’,*les longtiudee ▼cales sur i’orbite aux époques des ohscrvJlions I, 11, lil, IV, el en dér signant lis teins écoulés entre 'les- observations, par 11 — 1, LU — I, etc. lee vrouvcmeris moyens pendant ces teins donneront la dillérence des longitu» des moyemirs d'une observation h l'autre, que je nommerai M, M', M". On conclura de A et a, poor les époques des observations I, 11, les lon> gitudes de l'aphélie, A', A", et les anomalies vraies u'”L' — A', v"zzL'* — A"t avec CCS/ anomalies v', v", el l'excentricité 7, on calculera 1rs anomalie* Buycniics fi', n"; el l’on aura le mouvement moyen dans le tems ll-~l=a ce qui doit èue égal h M> U en lésutkra. ,

LIVRE Iir, C II A P. VIII. ’ l’erreur do la première hrj>othèse, ou des valeurs A, o, 7, k = Cji" — p.') — M.

En opérant de la même manière sur les observations I et II, avec les valeurs n, 7, et A-f-3A} A' et .K" se changeront en A'-|-dA et A"-|-dA, parccque a a conservé la même valeur: donc v' et v" se tr.insformeront en — 8A et v" — 3A, ensorle que dv'rrdv"“ — 3A; et p.rr là les anomalies moyennes fv', ft", éprouveront aussi des changemens

Ott

>ji". Or 7 étant constante, on a (î. i3o.) dp.'— ^ — ~ — —

(i — VcosU'J*’

/I s , » d.V(i— 7*,î , ' „ iA.(,V*)î

<’où l’on tirera de la meme manière,

Terreur de la seconde hypothèse, ou des valeurs A-f-3A, «, 'V, /=(p"-f-dp"— p'— dp') — m:

En mettant 7-+"^'l' ^ la place de 7, sans changer A ni tt; v' et t>" n'éprouveront aucun changemenij mais les équations du centre seront chan> gées , et par conséquent les anomalies moyennes prendront les valeurs p' -|- dp' et p"-l-dp". Or on a (§. laS. (a), §. ng. (4)) dp'~d7sin^ et sin t :

, don il suit

I — r eut v'

J I — /culU' ’ L f- J I — Ycy»v''

Terreur de la troisième /îvpot/ièse, ou des valeurs A, ot, 7-|-d7, m — { p" -J- fdp"J — p'— [dp'J } — M.

EiiGn, si Tou met o-f-do à la -place de a, A' et A" prendront les râleurs A'-f-dA' et A"-|-dA", où Ton a dA'“/da, dA'' = Tda, / et t étant les ^tems écoulés depuis Tépoque de A jusqu’aux observations 1 et IL Il en résulte dv' = — dA' et dv"=— dA', donc '

ra-.(i — 7^s /An"!— Td^ti — 7«|î

^ — r cuiu'j* ’ 1 ^ ^ ~ (i- 7cviW"j>’

4’où il viendra

Terreur de la quatrième hypothèse, ou des valeurs A, a-J-da,7,

" = — h'— Idp'}) — M.

Il suit de ce qui précède, que la siibslilutioii de A-f“dA au lieu de A change Terreur k en 4 uu que dA augmente Terreur k de / — k, Ot les'

aa8 ASTRONOMIE RATIONNELLE

erreurs élanl Irbs-pelites (par hypollibse', on peut supposer que la variation de lericur (/ — X) est proportionnelle à sa cause (3 A): d’où il suit qu'en augmentant A de x, IVlîet sera , ou que l’erreur /• augmentera

. On trouvera de la même manière, qu’en augmentant y dey, et a de a, les aecroissemens de A seront - et En mettant

donc à la fois A + j:, > a + ® 1» place de A, 7, o, l’accroissemeat de * sera V .

— *) I y[n — k) . z(n— t) à\ d y ' <tCL

Or A 7 -|-y, o + a, sont les valeurs exactes: il faut donc que cet ac> croissement rende l’erreur A nulle, d’où il résulte celte équation:

VA ' àï

En opérant de la même manière sur les observations' 1 et III , on trouvera quatre erreurs A', l', m’, »/, qui fourniront l'équation

(a) O = xv+fi!:- -* ■

<^A y ' àoL *

et la combinaison des observations 1 et IV donnera une équation semblable: ' I x{l"-k") ^ y{m"-k") , z{n"-k")

dA

-k") ■ z{n' à7 ' àx

La solution des équations (i) (a) (3) donnera les trois corrections x, y, z, et les valeurs exactes, A-A-x, 7 -J- y, et a-j-a; et cela suffit pour conclure les longitudes moyennes qui conviennent aux longitudes vraies L', L”, L'*', L'^ ou les époques pour l'instant de chaque observation.

S- i49- On peut regarder toutes les méthodes précédentes comme des applications d’une méthode plus générale et purement analytique (‘). Lot éiéraens elliptiques qu’il s’agi( de corriger, sont:

1. La longitude du penhelie k une certaine époque — B, a. La longitude moyenne de la planète, ou ïêpoque = E,