CHAPITRE III
Apsides et Excentricité de la Lune.
§. tgi. l Je monremenf de» planfete» est le plu» rapiele ou le plu* lenf, lorsqu'elles passent par la ligne des apsides de leurs orbites excentriques; il est égal au mouvement moyen, quand elle» en sont éloignée» d’environ go*. C'est sur celle propriété commune il toutes les orbite», que se fondent les méthodes qui 'servent à déterminer la position des apsides; après quoi la différence entre la plus grande et la plu» petite vitesses donne la plus grande équation, ou l'excentricité; ensorte que ce» deux élémen» sont déterminés à la fois, ainsi qu’on l’a vu plus haut. La grandeur du diamètre et de la parallaxe de la lune est telle, qu’on peut s’en servir pour déterminer immédiatement le rapport qui existe entre ses diflerentes distances ; mais la mesure exacte de ces angles suppose des méthodes, qui étaient inconnues aux ancien». Leurs observations se bornèrent aux éclipses lunaires, dont la grandeur leur servit è déterminer le lieu du noeud, la position des apsides étant déterminée par l’intervalle entre deux éclipses consécutives. Une éclipse, également distante de la précédente et de la suivante, devait avoir eu lieu dans les apside», pareequ’un mois avant et un mois après, la lune avait eu la même vitesse: c'était l’apogée ou le périgée, selon que l’intervalle avait été plus ou moins grand que tous les autres intervalles entre deux éclipses. Comme ces points de la plus grande et de la plus petite vitesse» ne répondaient pas toujours aux mêmes régions du ciel, mais s’avançaient suivant l’ordre des signes, les anciens notaient le tems, au bout duquel les éclipses, séparées de la précéjdente et de la suivante par l’intervalle le-plns ou le moins grand, arrivaient derechef aux mêmes points du ciel, ou les mêmes jours de l’année: et c’était
3o4 ' ASTRONOMIE RATIONNELLE la période, dans laquelle la ligne des apsides avait fait une révolution entière. Ils aperçurent, que cela arrivait après azd pleines lunes, et que pendant ce tenu, la lune était parvenue adg fois à sa plus grande et plus petite distance, ainsi qua son mouvement le plus rapide et le plus lent, et que par conséquent, aad mois synodiques équivalaient à adg mois anomalistiques. Ainsi se Formèrent ces périodes, au moyen desquelles Hipparque détermina les mois avec tant de précision.
Cela fit connaître le mouvement des apsides , et à peu près leur positron à une époqne donnée, mais non pas l'excentricité. Pour cet etiét, Ptolémée se servit de Vépicycle, qui était plus propre & représenter le mouvement des apsides, que le cercle excentrique. Soit {lig. 5o.) T la terre au centre du cercle Ce, dont la circonférence est parcourue d’une manière uniforme, par le centre C de l’épicycle LU AM dans un mois périodique, suivant l'ordre des signes Ce, tandis que la lune L parcourt uniformément la circonfé-
rence de fépicycle suivant ta direction opposée LA DM. Supposons que la lune ail élé^ en L, dans le même instant que le centre de iepicycle était en C, et qu'au bout de quelques jours le dernier soit arrivé en et alors le lieu moyen de la lune sera sur le rayon Te, et le lieu vrai en différera, é mesure que la lune s’est écartée de la droite TC qui a pris la position Te. Or, le mouvement vrai de la lune étant, dans l'apogée L plus lent, et dans le périgée M plus vile, que le mouvement moyen, il faut nécessairement, que la lune se dirige de L en D, et de M. en m, ou ce qui revient au même, qu'elle parceure la circonférence de fépicy cle contre Tordre des signes. Le centre de fépicycle étant donc en C, et la lune en B, le lieu moyen et le lieu vrai de la lune seront sur les droites TC et TB, et CTB est l'équation du centre. Si la ligne des apsides était immobile, le mois anomalislique serait égal au mois sidéral ou périodique: d'où il suit que, le centra C [ayant achevé un mois périodique, et étant revenu à C, la lune doit également être revenu^ é l’apogée L. Mais puisque la révolution anomalistique dure plus longtems que la périodique, la lune ne sera pas encore arrivée en L à la fin du mois périodique. En généial, les angles à Ç que la lune décrit sur fépicycle, aeront toujours plus petits que ceux décrits par C autour
t I V R E IV, C H A P. m.
de T:* si donc C est arrivé en c, et L en B, LC B sera plus petit que CT c, dans le rapport du mois anomalisliquk au périodique, ou en d’autres mots, CTc et LCB sont les moyens mouvemens périodique et anomalistique. Tout se réduit donc, à déterminer le rapport entre les diamètres
CT “O et Ch — c, ou rexrenlricile — = 'V, ainsi que la position et le mouvement de la ligne des apsides, qui est donnée par l'anomalie moyenne LCB.
§. »gia. Ptolémée se servit pour cet efléf, de trois éclipses lunaires, observées à Babylon J20 et 71g ans avant J. C., dont il donne le détail suivant (’).
Longitude de la lune
Teros intermétiidire
Mouvemciii
vrùi
Alouvcmciil nuï) en
Moiivenicm
anomalistique
moyen
a^.'a4*.do'.n C 5 iJ. 4> — C' ■ ■ . . r> r C ’
dâ4|> ab. i4ui.
149». 1 5'= L tjq. 3o — F
diC’.ifcM lùo. lôzizrm
/V, U, U, ^1 /g JO.) Soûl les tifux (le U lune dans et s iit.is eUipsis, BCD~m esl plus petit que i8u*, et le mouvement vrai de' B en U ^ P •St plus petit que le mouvement moyen /; d’où il suit, que le centre C et le péiigée M sont situés hors du svgmeut B AD. D’ailleurs on a AMLB~.VI, BCA=,..6ij*^ — M=:5d*i5', donc BCA<BCD; d’où il suit que A tombé entre B et D. Ou conuait donc
ACBc=3d<’Jâ'=(r, DLÜ = m=t5o‘>26', ATB = E — L = 3"34'= X, ,
BTDn/ — F=37' = k.
En faisant donc
~ ^ BCLr:x, BTL=y', CBT=r y = x,
«n a dans Us tnai^|irs Cl B, CTA, CTD, *
sin ÿ siny, tiu C AT =9 sin CTA, sin CDT = 9 sin CTD.
Mais on a
CTA=:X-fy, CTD = |t+y, LCA = «4-x, LCD = m4-x; en faisant donc
y; Jjt. iy, Cttf. j.
ASTRONOMIE RATIONNELLE
• ■ a—\~n,m~~fi.~t,on aura
CAT = LCA — CTA = n + i, CDT = LCD -CTD^y-f*; d’où réauUenl cea ëqualioor:
1. ain 2=9 ainjr; II. ain(n-l-i) — yain()y|-jf); I II. ain (v-}-*) — y aÎQ (n -!->■)• £a aubatituant 1 en II et en III, il viendra
ain n coa a ^ coa n ain ^ f ain X cos jr ç cos X sin y, et ain V cos s -|- ÿ cos v sin y~q sin y. cosy q coa )i. sin y; d’où il suit, ‘y sin n sin v cos s ~
sin * (sin X cos jr -|- cos X sin ^ — cos n ain^) =r lin n i^sin cosjr cos n sin — coa v sin j'},
ce qui donne
tang y=:
sin n sin U — lîn X sin v
eos A tin V — tin n cui/i-i- tin n coi » — cot it sin y
cot (n — n) — cil» (i-e n) — eoi '^y — X) + cos (y + X)
tin ^y -t- a)-t tio (y — X) — un ^n-t- fi) — un (n — fi.) — 2 un (y — n)
Après avoir trouvé ainsi on aiira au moyen des équations I, II,
' un Z lin R cot Z -f- COI n un Z ,
q = - — = ■ ' • , T , donc
7 «in y ..n / i ■..1 y
tang a =:
un y un(x-i-ji)
sinnsiny tango
(sin X -(-yj — cüs n siuy
COS c SID y
d*oà l*oa iix9
•’ un Z *
Dans l’exemple précédent on a X~3®a4', — n = 5o“ii', y=r i49*49\
donc tang JT =: 0,017‘aia} ^ = 69' 10"; tang s r=o,aoi 94*^7} a = »i*a5'a"; *— 12*24’***^; ce auivanl Ptoléméo x~ i"2*24'j d’ou il suit, l’excentricité > — o,o8694o5“ain4“59'i5",5j ou suivant Ptolémée> 7= — — o,oH69444- La plus grande équation du centre est donc :z: 4'’^9'i^"i^ ou à peu près 5*.
Ptolémée trouve^ au moyen de trois éclipses qu'4Nvait observées luimême, 7 r:: zn 0,0872222; donc la plus grande équation =5*o'i4". En
prenant le milieu de plusieurs autres observations, il la trouve =5®i' ('). Nous savons maintenant, que l'équation du centre est 6*18', et l’on sera peut-être étonné que les anciens aient pu commettre une erreur aussi grande;
(«1 A, ly. C. 1«.
