CHAPITRE IV

Les équations de la longitude de la bine.

$. 195. t-i'ëqualion de 5* ayant ëlë concloe par Hipparqne et Ploiëmëe des éclipses seules '$ >93.), elle ne pouvait indiquer que les inégaiilëe de la lune dans les syzygies, l’ëquation du centre étant en même tems ua marimum, c'est-à-dire, les lignes des apsides et des syzygies étant perpendiculaires l’une à l'autre. Plolémée fut le preftier qui observa la. lune hors des s^zygies, en se servant d’un instrument' qu’il avait imaginé exprès pour cet usage ('); et ces observationt lui apprirent , «que la plus équa-

tion de 5*, appliquée suivant la Ihëoipe de l’épicycle, ne salisiâisait pas aux observations hors des syzygies; que l’erreur de ce calcul, qu’on pouvait regarder comme une seconde équation, confondue avec la première de augmentait à mesure que la lune s’éloignait des syzygies, et qu’elle était un

maximum dans les quadratures, où la première équation était la plus grande, et que par conséquent la lune était également 90”, des apsides, ensorte que les apsides coiucidaient avec les syzygies; mais que dans les quadratures eù, la lune étant aux apsides, la première équation s’évanouit, la seconde était aussi nulle, ensorte que le calcul suivant la première équation se trouva juste, aussi bien que dans les syzygies; d’où il résulta, que l’équation de S* était en général conforme aux observations, lorsque les lignes des apsides et des syzygies. étaient perpendiculaires l’une à l’autre (‘)- Cea circonstances sont parfaitement d’accord avec la théorie moderne, solvant laquelle c^le seconde équation est fonction de sin (fi — ai)>, |i étant l’anomalie no-

— ' (IJ yiimag, lÂi. S'. Cap, 1.

(aj ailmag. lai. y. Cap, a ^

3i» ASTRONOMIE RATIONNELLÏ ' jrenne de la lune, et in son élongation du soleil. Dans les quadratures, ^ est 90* ou ï7>'®, done — i8o®, et sin (>i — ai)) =~»in ce qui est nul, lorsque fs = o ou ft=i8o®, mais un maximum, si fi = 90* ou

Rtolémée trouva de la manière suivante, que cette seconde inégalité était de observation lui donna la longitude vraie du soleil

— io*it>*5o', celle de la lune ::: 7*9*40' C- Les mouvemens moyens étant connus, il -calcula pour cette époque, les longitudes moyennes du soleil — 10* lO* -27' 7= M, de la lune = 7* 1 7* ao' L, et l'anomalie moyenne de la lune 7787*19';^ |s, <foù il résulta la première équation ::: — 4*5^'- Or la somme des deux équations était C — L 7= — 7*4o'i donc la seconde équation =r — a*4'«'. ce qui était son maximum, parceque M — Lt7 89'’7't7— n, et qae par conséquent la lune était dans sa dernière quadrature': k — ai| étant 260*33', sin (,a — arj) était è très-peu-près i. »En prenant le milieu de plusieurs observations semblables, Ploirmée trouva le maximum 772*40'.

La première équation était donc un minimum 77 5* dans les sjz^gies, elle mont|it è 7* 4°' dr^is les' deux quadratures. Il fallut en conclure, que la cause qui augmentait la première équation dans les quadratures, devait la diminuer de la même quantité dans les syzygiei, et que par conséquent, elle devait avoir sa véritable valeur moyenne entie ces deux aspects, c'ést-à-dire dans les octants. Il en résulta, que la seconde équation avait sa plus grande valeur positive, loisque les syzygiA coincidaient avec les apsides, qu'elle avait 1a plus grande valeur négative, quand les lignes des syzygies et des apsides étaient perpendiculaires l'une à l'autre, et qu'elle était nulle, lorsque ces deux lignes faisaient un angle de 4'''- En nommant donc U

première équation g, la seconde A, on a ^ A ~ 7® 4o‘, g — A 77 5®, donc g~6*2o', A77i*ao'. Ptolémée trouva le même résulta! par le procédé •uivant.

La première éqnation, étant celle du centre, est nécessairement on maximum, lorsque l’anomalie est 90*, ou que la droite qui joint la terre et la lune, Tt (//jj. 5q.), eat tangeoie à l'épicyde. Or cette équation C'Pt^g étant variable, à cmise de la seconde équation, de 5* à 7*4'^'< >1 s'en suit,

(I) A. f'. Cap. 3.

- : r -LIVRE IV, C H A P. IV, - /

quVn nommant le rayon de l’êpicycle C/ = c, celui du cercle déférent TC=:<», donc le rayon a etl variable, paicequc suivant l’hypo-

tbbse de répicycle, r e constant: en d'autres mots, la terre n’est pas dans 1t. centre dn défiant, ou le centre C de l'ëpicycle décrit la eircouférenqe

•^’nn cercle excentrique. Ainsi la première inégalité est expliquée par Vépicycle, la scoom/c par Vcrccnlri^ue. Si la lune est 90* des apsides et des syzyg.es,

Téquation g est un maxiniiAn, donc a un minimum, ou le centre de ,1'épicycle «St dans le périgée de l’excentrique; mais la lune étant dans les syrygiei, .g ^

«St un minimum, a un nw.r!mum, et C dans l’apogéer doù il suit, que Upi

cycle C passe du périgée i Tapogée dans le quart d’un mois, et qüil fait ,

une révolution dans un demi^niois synodiqoe. Supposons donc, que C ail été

dans l’apogée de rexcentrique, et que U lune ail été à la fois en conjonction

avec le solqil, et dans la ligne des aps'idej de l’épicycle LM T: cela posé,

au bout d’un deAî^nois synodique, l’épicycle C sera encore dans l’apogée, la

lune étant opposée au soleil, et avancée d'à peu près »3* au delà des apsides

de' l’épicycle, à cause de la différence des mouvemens anomalistique et syno-^

dique. Pour expUquer toutes' ces inégalités de U lune, Plolémée employa

lo procëüé suivant (^*)*

Soit ifig. 5>.) T la terre, 'YTû la ligne des équinoxes, supposée . immobile, et A©& nn cercle concentrique à l’écliptique, dont le centre . est en T. Soit sur TA Te centre du cercle excentrique ADP en E, A et P étant l’apogée et le périgée de l’excentrique, sur la circonférence duquel le centre C de l’épicydc C FG fait une révolution suivant la direction CD, dans un mois périodique, tandis que la lune parcourt, dans un mois anomalistique, la circonférence de l’épicycle suivant la direction CG ($■ rgi-)- Supposons qu’au commencement do l’époqne, l’apogée A ou le centre E de l'excentrique, le centre C de l’épicycle, le noeud ascendant la lune, et le /

soleil, aient tou» été sur la ligne TY. la lune étant en conjonction, dan» nolud ascendant, et dan» l’apogée, la plu» grande équation g ou l’e^-

tricité îétaat un mininwm.zr 5», et le» longitudes du soleil, et de la lune o.

(t) jiiin, t- y, c. V ‘

3i4 ASTRONO.MIE RATIONNELLE

' Supposuns qu'au bout de heures tout ail pus lu situation que pr^

«cille la /'p. 5.{. Cela pojé, 'Y'TCrro— iJ®ic'3''" aera.lc moyen niouve* Bienl périodique de ta lune, BCC =- p ~ ■•>*•''54" le mouvement aBcyna» ‘lisliqiie, et YTQ le mouvement léirugrade des noeuds, qui est •!' 1 1" par jour, ainsi qu’on le veria ci-après. Or on a. vu, que l'épicycle C (ail, dans vn mois syiiudique, deux révolutioiu sur la circonférence de l’exceniriquo ACP, et que par conséquent il s'est éloigné de A du double du mouvement 'synodique, ATC =; v4°str'5d": le mouvement rétrograde de l'apogée A de

l’excentrique sera donc zz S •*- o ~ 1 1* la' i8".

Dana les quadratures, C est dans le périgée P, et la plus grande équation LT P devient un maximum mais si la lune est en même tenu

'sur la ligne des apsides TPQ, toute l'équation g est nulle, quelle que soit la distance CT. Dans les syzygies, C est dans l'apogée A, l'équation g devient un m/nûnam = S*= AT D, et l'excentricité — =isin 5*rr O,o86y4‘>5=:'yî

mais en P, l'excentricité est — =:sin7*4o'=o,i334‘’96 = ^' En' nommant donc • le rayon de l'excentrique, AE:=PE=:o,

le rayon de l'épicycle, LP = AD=rCC=Cj et ET=re, on surs ,, « =: (o -f- e) 7 = (a — e) X J d'où l'on lire

- = -^=:o,x.oB875. . ^

• et O e = , donc

La 'seconde inégalité étant la plus grande en A et P, positive en P, négative en A, elle sera nulle 90* de A et P, la lune étant dans les octantsi c'est donc là qu'on trouvera la première inégalité g seule. Ayant donc élevé TC perpendiculairement à AP, on aura sing=:^.j:^el TC*r= AT . PT

■ (« + «)(« -e),* ou = 0,97751; doncg=6*ii',

•ce qui est l’équation du centre dans les octants; la valeur moyenne entre la plus grande et la plus petite équation du centre, 7*40' et 5®, étant g~6®ao'. C’est la véritable iquution du centre, ou la fimmirv inégalité de la lune; elle

(I) jUm. A. r. C. 4>

ett «uivanl-Pfolémée “6*ao', suivanl Mayer =:6“i8'33''. Elle change, en Terlu de la seconde inégalité que les astronomes moderims ont appelée Evto^i tlon, de 5®"b l’éveclion est donc suivant Ptolémée ~ i*ao', suivant;

Mayer La grande précision,' avec laquelle Ptolémée a déterminé

CCS deux inégalités principales de la lune, est vraiment étonnante. 11 faut cependant remarquer, qu'il suivait nécessairement de sa manière d'observer, que sa détermination de chacune de ces deux équations. en particulier était défectueuse. Suivant les recherches modernes , i l'évection est h peu près. — -f- do' sin ;)x — an', l'équation du rentre — 6®ig'sinfi.. Dans les syiygifs on a aif=:o, dans les quadratures a>)=: i8o*. Les qpciens, en n'obser» vaut que les ‘éclipses ou les s^zygies, devaient trouver l'équation de la lune — — 6* '9' sin n 8o'sin (t ~ — à*sing, d’où il résulta la plus grande équation zr 5*. Or Ptolémée prenant cette valeur pour buse de ses observations de la lune dans les quadratures, où l’équation est=: — S’ig'sing. — 8o'sin^ ■zz — 7®4o'sinn, il trouva la seconde équation ou l'éveclion ^7°4o' — 5“=»®4°^* S- ig6. Par le moyen de ces deux équations, Ptolémée parvint à accorder les observations avec ta théorie, aussi bien dans les quadratures que dans les syzygies; mais dans les autres aspects, principalemenl dans les octants, la hine étant en même tems dans les apsides, il te trouva encore une différence considérable. Ayant examiné avec soin cette nouvelle inégalité, il crut y satisfaire par l'hypothèse suivante. Il avait supposé, que le centre de répicyc'e C tournait autour de la terre T auivant l'ordre des signes, au lieu que la hine parcourait l’épicycfe contre l'ordre des signes, depuis l'apogée B suivant

Bc, et que les deux mouvemens étaient uniformes. Cela posé, Ptolémée

supposa encore, que le point B, qui n'est le vrai apogée que lorsque C coïncide avec l'apogée A de l'excentrique, avait aussi un mouvement rétrograde vers F, ensorte que la droite FC, dont la lune s'éloigne d'une manière uniform#, ne passait plus par T, mais par un point G, aussi éloigné do T, que T l'est du centre E (/'g. â4*'' fonda cette hypothèse sur une observation d'Hipparque, qui donna les longitudes vraies du soleil zz. 1^ 7*4^’'i de lu lune n: 1 1* ai® 18' ~ C, les longitudes moyf .n s du soleil i*6''4i’— M, de la lune r= ii*aa*i3' = L, et ranomalie luuyerml: de la lune zz iü5*Jo'zzii,

ASTRONOMIE RATIONNELLE

Le lieu moyen de la lune élait donc sur T C, et ayant fait CT C ~L — C =45V k lune •était en C> Or le centre C s'éloignant de A avec une vitesse deux fois plus grande que le mouvement synodique {§a»y5.),' ou a ATC“d6o*— a (^L — M) . =88*56', et suivant la dernière hypothèse, FcllC=Hi doncGCc=ji — i8o* * = 5* io'. Connaissant dans le triangle CTE, CE=u, TE=e, CTE=88*56',, cm trouve TC=u. 0,9814439- Maintenant on connaît dans le triangle CTc,

TC, CC CTC = 4i’> d’où l’on tire TC C =fs“ l'C', ou suivant Plolémée €*2i'. CoiinaiisanI donc dans le triangle TC G, TCGr3TCC-t“GCC = n*46'r CtG^iSo* — CTA = 9i*4', ctiTC,. on trouve T G = 0. 0,20327 ù pew près égale % £T = c (^§.195.). D’autres observations lui donnèrent le même résultat (')» * *

^ Il s'en suivait, que' le vrai mouvement des apsides autour Je T n’étaitpas unitbsme , mais qu’il avait besoin d’une correction , donnée ^ar l’anglai LC U. En etl'èt, si l'on nomme la. longitude moyenne d« la lune =A,: son anomalie moyenne = B, la longitude vraie de l’apogée = C; on a constamment B = A — C,- ou C = A — J3, dune le mouyement' de Uapogén = A — B = 'Y'rC — BCC (S- 195.). Mais suivant l’hypothèse dn

Ptolémée , que- le mouvement anomalistique est uniforme relativement au point K, D ne sera plus égal à BCC, mais B=FCC, donc le mouvement vrai de l’apogée =A — B^TTC — FCC, ci la comcction des apside»

= ('V'TC — FCC) — ('VTC — BGC) = BCC — FCC =BCF = TCG, ou = LC11 ^4-)- Get angle devient an maximum, lorsque CT es f per-

pendiculaire à AT,- c'esl-à-dice dans les octants, vu que ATC eet le doubla ‘ ' T G

de la distance de la lune aux syzygies. Alors on. a sinL£H=.— et

le O

CG = CE, donc siuLGH = --, et LCU= 12*11'; ce qui eaf parfaitemenr d'accord avec la théorie moderne.. Suivant l’tolémée , celte correefion de» apsii"s, tantôt positive tantôt négative, monte à 13*9'. Comme il n'avaif employé pour ces observations, que les octants, où la lune était en méine teins dans les apsides, ensorte que le double de la distance du soleil aux apsides de la lune était egalement 90®, l’argument de cette correction pou-