CHAPITRE VII

Correction des Èlémens de la Lune et des Longitudes géographiques par l’observation des éclipses de soleil.

370. C^omme la correcüon de la théorie de la lune, et des loafiludes des lieux où une éclipse solaire a été observée, est sans doute l’usage le plus utile qu’on puisse faire de ces phénomènes, on a imaginé pour cet oifét une foule de méthodes, dont la plupart 'exigent un calcul extrêmement Inng. Elles consistent à calculer, avec les élémons tirés des tables, et la difTéronce supposée entre le méridien A, pour lequel sont construites les tables,* et celui du lieu T de l'observateur, l’effèt de la parallaxe, ou la distance apparente du soleil et de la lune, pour le lieu T, et pour fépoque où la phase de l’éclipse a été observée. Celle phase doit être la même que celle que donne le calcul: s’il y a donc quelque dilTérenoe, cela prouve, en faisant abstraction de l’erreur d’observation , que les élémens qui ont servi de base au calcul, ne sont pas justes, et que par conséquent, les tables ou le ^tems supposé dans le calcul, c’est-à-dire, la longitude supposée du lieu T, ont besoin d'être corrigées. Le but du chapitre présent est de déduire ces cot;rections , de la différence qui se trouve entre le calcul cl l'observation. Comme les éclipses soleil sont ordinairement observées dans un grand nombre de lieux, dont la longitude est exactement connue, il est naturel de commencer par comparer les observ.ilions, faites dans ces lieux, où le tems n’a besoin d’aucune correction. . Alors ou aura iminéilialement la correction des élémens de la lune; et en employant ces élémens corrigés, dans le cal- , cul pour les lieux dont la longitude n'est pas exactement connue, il résultera la correction du tems ou de la longitude de ces lieux. L’analyse lui-

4<8 • ASTRONOMIE RATIONNELLE

Tante paraît la ptua simple. On calculera, sur les élémens des tables, à l'aide des formules précédentes, la distance apparente des centres pour l'instant d'une observation: on introduira dans les formules, des corrections des élemens de la lune et du tenu de l'observation, comme des quantités inconnues , et l’on cberchera la correction de la distance des centres s, qui en résulte. La distances, ainsi corrigée, , doit être parfaitement d’accord avec la distance observée; on aura donc, en les égalant, autant d’équations de condition, qu’il y a d’observations, au moyen desquelles on déterminera une correction inconnue après Tautre, par la méthode ordinaire de l’élimitiation.

$. 3^1. Pour éviter des répétitions inutiles, i’employerai les mêmes formules et dénotations, dont je me suis servi jusqu’à présent, et je supposerai la même position de la lune relativement au soleil, et des angles épliériqucs qui entrent dans le calcul des parallaxes. Qu’on rapporte donc U Jîgure j8. à la fgun 70, VBA étanl l'écliptique. S, L, les centres du soleil et de la lune, L/ = Ç la parallaxe de la lune, diminuée de celle du soleil, ensorle que L/V représente un grand cercle, passant par le zénit du lieu T, et LA, /B, deu.x cercles de latitude, menés par les lieux vrai et apparent de la lune. Les lieux L, /, S, ainsi que la distance apparente des centres Si— s, étant calculés sur les tables, il s'agit de trouver la petite correction ds de s, qui résulte d’un petit changement des élémens des tables et du tems supposé. Les plus imporlans de ces élémens sont la longitude, la latitude, e t la parallaxe équatoriale de la lune; la longitude du soleil, les mouvemens horaires, et la latitude du lieu T, n’ont ordinairement besoin d'aucune correction. Soit donc le tems vrai de 1a conjonction géocen'' trique pour le méridien des tables A, qui a été tiré des tables, — T, la longitude du soleil et de la lune, calculée pour cet instant, =L, le mouvement horaire du soleil —ii, celui de la lune en lougRude =: G, en latitude sa latitude =/, sa parallaxe sous l'équateur — ce, la parallaxe horizontale pour le lieu T = P = X la longitude orientale de T relativement à A — m heures, et le tems vrai de l'observation en T =:n heures: cela posé, le tems vrai de l’observation compté du méridien A sera =; (» — ni) heures, et le tems écoulé depu'is la conjonction, t— (n — m—T) heures, l'angle ho-

LIVREV, CHAP. VII.' - ' 4,9

raire du soleil à l'occident du méridien T étant —lün; donc, si la dilR^rence des méridiens m n'est pas juste, i aura besoin d'une correction,

Les tables donnent pour le tems t, les longitudes vraies du soleil =' L-|-Af=:0» de la lune ~L-4-G<=::C, et la latitude vraie de la lune — Soit {Fig. 75.) E le pôle de l'écliptique TC, L, l, les lieux apparens de la lune et d'une étoile éclipsée par la lune, les latitudes appa* rentes des deux astres, CL = /', D/rrX'j la diifôrence des longitudes appa< rentes D£C=:E: cela posé, on aura daiM le triangle /EL, i

cos L / = sin X' sin /' -|- cos X' cos /' cos E.

$. 273. Dans le cas présent on a hl — s, et X' est connu, ou nul si / est le soleil : d'où il suit

ds sin s = 3E sin E cos X' cos l' co$ E cos X' sin /' — 3/' sin X' cos /', et la différence des longitudes vraies, suivant les tables, est après la conjon» elion C — O = — A) r. En nommant donc II et <0 les parallaxes de lon>

gitude et de latitude, oi aura H )i (P — p) ~ix (kee — p), M — * (Xo" — p), les facteurs p, v, étant donnés par les formules du $. 366. la latitude appa* ^ rente de la lune sera /' = /-{- is -4- p/, et la différence des longitudes apparentes de la lune et du soleil, E= II -|- (G — /i) /. Mais si la longitude, la latitude, et la parallaxe équatoriale, ont besoin des corrections .r, y, s, on aura 3E = X 311 -|- (G — A)3/, 3/':=/+ 3ro -f p3/, et l’on a

3II=;Xn,r, 3ra = X*r, donc en faisant G — h— g, 3ssinjr(x+Xnî+g3/) sinEcos X' cos r+ (j-+X»j+p3/)‘ (cosEcos X'sin A— sin k' cos/'), 'ou

/ *c<nX'iin(g1-fn}i;«n(/-t^f+7j' c>nX'c<i«'sf+n)»in(7+(3/-mij— ,inX'ctn(;-+^r+al

1 un s un s

' J * lin î

CO» X'iin (gt-t-n) — PiinX')-(-Pco«X^coi (gt+n) «in{7-f-|3t-+-orj^

Dans les éclipses de soleil on a X' == 0, d’où il viendra

iin(«i-mXg — up)coi(t-t-pr-M>Xg — vp) I COI (sI-HiXæ — op)iin (7-4-pr-»-vXi8 — »p)

un s I ff ,

■ Mun(i;t-+.>iX<e— ,up)coi(I-f.,3f-4.ï> <e— *f) +*co*(ei-»-uX.<B — llp)lin^I-t-,'37-^-yXal— vp)

‘ un J

3,giin(gf-l-oXi*— up)co»(7-fPf-fvX« — *p)-fjîco§,'sl+uX«— Up)ur(f-»-,^7-t-vX«- vp)

4»» ASTRONOMIE RATIONNELLE

ou à trëf-peu prë»

f-f-vX m — vp

H (?>-m.Xa>— |gpWv(t-4-t3f-<-»><8 — vg)

a,= 5 X -f- i' ^ 4- + ££±Ei' a,.

Ayant donc calculé l’angle ({) au moyen de réqualion sinqi=r— , on peut' fcire a®— L/*n/X’-|-LX“(/’/^. 75.) =:E*-4* (dans les éclipsés de soleH),. d’où il suit /LX, cos (p::: donc

as =r X sin (p -|-y cos (p s -)- (^ sin $ P ®°*

Soit maintenant L lu lieuirrai de la lune, l son lieu apparent, L/ = t parallaxe de hauteur; cela posé, on aura LX :=: — B,/Xr:; — Il cos A = — H à peu près. Ayant donc calculé l’angle parallactique ELZ=v 369.), qui est tei positif, pareeque le cercle- vertical L Z est & l’orient de celui de latitude LE; on aura n~ — /X= — (sinv, etc: — l^cotv, et à peu près

^ — — p) cos f, S étant la hauteur de la lune; d’où il viendra

— X siii Cp -f-y cos (p — a cos (v— <p) -j- (g sin (p p cos (p) 3/;

3s étant la quantité, dont la distance apparente des centres qu'on a observée,, est plus grande que celle qu’on a tirée des tables.

5. 273. En désignant par s et (s) la distance apparente des centres,, qu’on a observée, et celle qu’on a tirée des tables, on aura l'équation db condition, (s) -f-ds=:s. I-es observations les plus exactes sont celles du commencement et de la fin de l'éclipse partiale, et totale ou annulaire; et l’on a pour ces époques s =: R' -t- r, e t s — ^ (R' — r),R' étant à peu près- =R(i -f-3,664.RsinJ.sini") (§. 316.)- En faisant donc pour abréger

sin $ A, cos ^ B, ^ ces (o — C, ^ sin $ -j- p cos (P D ,

»n connaSt s, ayant observé le commencement et la fin de l'éclipse, ou;

ayant mesuré la distance avec la micromètre: chaque observation donnera.

donc une équation de cette forme,. ^

(s) -}- Ax -f-By — Cs + Ddtz:f,.

. LIVRE V, CH A P; VU. ' 4ai.

Le* <|uMr« inconnue* x,y,z,9i, ont la même valeur durant toute l'éclipue; les trois premières même pour toute la terre; tandis que dt a une autio valeur pour chaque lieu. Si la longitude du lieu est bien exactement con<nue, dt est nul; mai* il est possible que les demi-diamètres qu'on a tirés des tables, (r), (R';, ont besoin d’être vérifiés: alors on aura, par l’observation du commencement et de la fin de l’éclipse partiale, deux équation* de cette forme, • . (A)....(s)-|-Ax4-B>-Cs = (r)-f (R') + (3r-l-dR'), le* quantités (s). A, B, C, R', ayant des valeurs di/Térentes dans les deux observations- Deux observation* de l’immersion ou de l’émersion, taite* dèna deux autres lieux bien connus,, ou de l’une et de l’autre dans un seul lieu,

donneront deux équations toutes pareilles; et ces quatre équations sulTirout,

pour déterminer les quatre inconnues y, s, (dr-|-0R'). Pour trouver âret dR', il est nécessaire d’avoir une observation du commencement ou de la fin de l'éclipse totale ou annulaire, où s =: r — R'; il en résultera une équation de cette forme __ ,

(B) . . . . (s) -f Ax + By ^ C.- = (r) - (RO ( 8r- 3R0,

qai donnera dr — dR', les autres inconnues étant déjà déterminées; d’où lion tirera

Jr-t-JR' i -,

dr— J 1 2 > dR (dr-|- dR ) — dr.

Quand il n’y a pas un nombre suffisant d’observations, on peut négliger les corrections dr, dR', et même s, qui sont ordinairement beaucoup plus petites que X et y. Les observations, faites dans un lieu connu, donneront alors deux équations de celte forme,

(s)-f Ax-fBy = s,

qui suffisent pour trouver x et y. Si, par le moyen des observations, faites en des lieux dont la longitude est exactement connue, on a trouvé le* corrections .r, y, s, d r, d R', on me^ra L -|- x, /-(-y, œ s, r -f- dr, R -)- dR, au lieu do-L,/, Æ, r, et R, et l’on calculera, avec ces élémen* corrigés, cqs(s)=: «os £ cos/; cette valeur de (s) sera exacte, è la correction dtprès; on aura donc (s) — Dd/=s, ou d/=^p-‘,

de aorte qu'une seule observation suffira,, pour corriger la longitude du lieu>

ASTRONOMIE RATIONNELLE

-QuMid on a comparé on grand nombre d'obiervalions , on apereerr* que les râleurs résultantes de s, y, etc. sont un peu différentes, et l’on verra aisément que cela vient des erreurs d’observation. On approchera de la vé' rilé, 'en prenant im milieu de tous les résiliais, enaorle que les correction* M, y, etc. et les erreurs d'observation soient aussi petites que possible, et que les dernières soient tant négalivea que positives. Les bornes que je me suis prescrites , ne me pennettenl pas d’ezpoaer iea règles que l’analyse moderne a données pour cet eflèt. Du reste, on trouvera 'tous ces calculs expliqués par un grand nombre d’exemples, dans les A’iov. Comment. Acad. Scient. Petrop. Tom. XJV. Part. II. pag. 3J5. sqq, Voyés aussi Astr» Théor. et Prat. par M. Delambrc, Tonh IL pag. $>9. Wk.