V. , = !^Vc îL=5,iaA • ya V O J
a — q étant la distance du foyer au centre de l’ellipse, et par conséquent . . - t — r- ... ■^,5.
— t l’excentricité. On a de plus
ap
et P ;
, aé étant
=: . Tout le calcul est donc
le petit axe de l’ellipse, d’où il suit fondé sur les formules suivantes:
(i) i’ =: 9 (20 — (a) . . . . tang ^ | lang ^ ,
(3) / = ^ O s (u — £ sin u) (§. 341.).
Cfh peut se dispenser de calculer b, en déterminant u par la formule
iü (^ / .
tang — tang — . y Puisque a est ordinairement conclu de la durée
d’une révolution de la comëte 0, on peut substituer suivant la troisième loi de Kepler, Jo’~0, ce qui donnera
t — — (u — E sin u>),
^ air ■
OÙ l’on verra aisément que u est l’anomalie excentrique. En comparant ces valeurs de — (w — e sin u> avec les tems t, donnés par les observations, il sera facile de juger comment il faut changer 0, pour le rendre conforme autant que possible è toutes les observations.
ASTRONOMIE RATIONNELLE Dans ['hvpcrbok n est négatif. . En Taisant donc p — 4? =
* ' log , et le secteur entier
2 y n P "y P — Z yn
^ P<l* jp — oi) g ^ I ' yp-4-zya n(p»— ttz’) nyn “VP — zyn*
En faisant comme ci-dessus, tang — rrsl/— , bu tang m = , il viendra
, = 2l>lPfe:zii„„go.iogi±l4“L ’ .
nyaVs, * » i— (Si ay**
et en lubstitnant
^ — -'tang et <=: ■
et à «anse do p — ^.q-\ — — (§. 357.),
VI. r :=* tang U — log tang |^45*-1- Puisque les intégrales V. et VI. s'évanouissent , lorsque lo ou $ est nui, o»' n'ajoutera aucune constante , si les anomalies (]) et les tems ( sont comptés du périhélie. *
$. 359. Quand on aura déterminé le triangle au soleil par le moyen des observations géocentriques et d’un élément supposé, et que l'orbite n’est pas regardée comme parabolique, il faut connaître un élément de plus, par exemple, le paramètre p ($. 357.). Si donc B, C (t'ig. loa.) sont les lieux béliocentriques de la comète, on connaît SR=^r, $Cz=/, BSC=e.‘ réquatjon 111 357.) donnera donc
En divisant la seconde par la première on aura
cos a — sin a tang $ , d’où il vient
° -r' (JI — a r)
tang (p =: cot a — — •
“ ^ T' (p — a r) ,in O
Après avoir trouvé ainsi les anomalies $ et $-|-a, la première équation donnera
p T COS ())
-, et le demi grand axe a— — •
p — — cos p
On connaît ordinairement è peu près le noeud et l’inclinaison, ou l’on suppose ces élémens connus: alors chaque observation géocentrique donnera
LI VBE VIII, C H A P. III. 55i
la diitance hëllocentrique au noeud et le rayon vecteur ($. 354-^; trois ob< «ervations donneront donc trois rayons vecteurs et les angles compris. Dana un pareil cas on n'a besoin d’aucun autre élément, et trois observations suffiront pour calculer tous les élëmens de l’ellipse, le paramètre ou le grand axe, la position, la distance, et l'époque du périhélie ($. '
$. 36o. Quand on .1 trouvé ainsi les anomalies (J) et élémcns elliptiques par le moyen des rayons vecteurs r, 1^, et de l’angle com* pris a, on calculera d’après la formule V. ($. 358.^ les tenu -t, t', qui sont employés à parcourir PB, PC, et par .conséquent le tems /' — t dans lequel l’arc BC est parcouru. On peut aussi trouver ce tems immédiatement, sans connaître l’anomalie ip.
Pour cet elTel il faut exprimer d({) par le rayon vecteur r. L’équa-
tion III. ou cos(J>=^-7Îi i donne, en faisant
P — = et 4<7— p=f».
dtp
/Pi— « '■»4.4 q*p—
— *r*.in<p’ ^ .
r.y {— ar*-f.4i2*r— p5»)
donc
En faisant donc V( — ur®-|-4'/*c — pq^)~u, on aura (J. 358.)
Bs — — 3 Cp — ^ u^ — n ?)•
Supposons u = ensorte que
d’où il suit v*(pq—nr)—n(r — g), et r~ j, Jonc
{p—n^ydy J^kgvSv ♦ akgv . ^
+ ** (T+ïû^/a’
- b H+pv*)iv
A étant
Dans l’ellipse, où n est positif, l'intégration donnera
b bv , , .
s~ — — Arc iang v.
En substituant v , i4-v*~ — L* ^ — il viendra
fq — mr’ p.j — ar’
a» ' T'vrT / I O pq — nr
Puisque l’intégrale doit être prise depuis r=r ^q«’ù il faut ajouter
53i ASTRONOMIE RATIONNELLE
une constante qui la rende nulle, si r~r, et ensuite mettre r~r*. Or le
tenu l qui répond au secteur s, étant — LÜLf 34i0 » o® lé tenu
dans lequel l'arc BS est parcouru ,
• , U-Jl S Arc tang V Arc long V I
La distance périliélie 7 est donnée, ou on la trouvera par r, /, a, et ^ (§. 359.), ce ^cjui donnera aussi n~l\q — p.
i’our .disposer les formules plus favorablement k fusage des logarithmes, on peut calculer d'abord deux angles, p, *, par les équations
tang - = y — i il , tang - = V
3 — nr' 2 p(j— Br"
Ce qui donnera tang n ~ " **)
. * yB (r 7) (p7 — nr)
sin P = i ^ — — : ' ,
Q OU il Viendra
8in V zz
yntr' — (j'(p(7 — nr')
q{p—iq) ‘
(sin y — sin p), ou
,Tj ^7('' — h) — (P — 2 7)>>n
9 tn <7 /ZZ
$. 36i. Une des comptes les plus remarquables sous plusieurs rapports, est , celle de 1770, dont l'orbite a été, calculée par Lexell, suivant la théorie elliptique, parcequ'on ne pouvait la calculer dans une parabole ('). D’après ce calcul qui a été fait avec le plus grand soin, et qui a été conGrmé par les recherches de M. Burckhardt (®), le périhélie est dans 11' 26“ 16, entre les orbilcs de Venus cl de Mercure, et l'aphélie est très-peu au delà de l’os bitc de Jiipilcr. Le plan de l’oibiie coupe l'écliptique en 4*'^* sous le petit angle de i*34', et celle comète est peut-être celle qui s’est le plus .approchée de la terre, savoir de o,oi34, ensorte qu'elle n’était que six fois plus éloignée que la^ lune. Comme ou avait observé un arc de son orbite do plus de 170'’, il était à prévoir, que les observations ne s’accorderaient pas avec la paiabole, et qu’on pourrait calculer les élcmens elliptiques avec assé» de prérision. EVi eflèf, toiil<*s les observations, r:lrr|p»s suivant la
(l> 6i;en,. im/ . yro unno IJJJ* i*
A/«m. dé VlmMui dé franctf iSo6<
