II

La Terre

Vénus

Mercure

n,.^On54‘^66

o.3o55i4'ii

Le* deii.i premières colonnes sont les seules qui aient été déterminée* immédiatement par observation. Leur demi-somme donne les nombres de la troisième colonne, et leur derai-diflférence, divisée par ces ilernieis nombres, donne ceux de la quatrième colpnne. En conséquence, les quanlilés. renfenr.ées dans les trois, premières colonnes, sont eiprimées en demi •diamètres de l'orbite terrestre, celles de la quatrième colonne en parties du demi-dia- »nètie de l'orbite à latjuelle elles appartiennent, pour qn'on puisse voir d'un coup, combien chaque orbite s’écarte du cercle: on voit par ex. que l’or- Lite de Vénus approche le plus du cercle , et que celle de Mercure s’en écarle le plus. ^

§. tai. Dès qu'il était prouvé que les’ orbites planétaires ne sont pas des cercles, il était naturel de penser à la courbe qui est la plus simple après le cercle, et qui s'en écarte le moins, savoir VEllipsc; cependant, pour ne rien supposer sans Tavoir proupé, Kepler.cbercha ji déterminer celle courbe immé liatenicnt par observation; et il était clair, que les distances, qui avaient fait voir que la courbe s'écartait du cercle, seraient aussi les plus propres à indiquer sa nature. Après avoir essayé inutilement diverses ligne* ferméts et ovales , il trouva une ellipse qui donnait les dislances trop petites, tandis que le cercle les avait données trop grandes (Ç. 119.; d'oti il conclut que la vraie orbite devait nécessairement lomirer entre le cercle et cette ellipse; et comme le milieu entre ces deux courbes ne peut cire qu'une autre ellipse, il n'hésita plus à reconnaître pour une vérité démonlrée, que . toutes les orbites planétaires sont des Ellipses, mais que la nature individuelle de celle ellipse, son excentricité, ou le plus et le moins dont elle s'é-

carie du cercle, doit être détenniué pour chaque orbite par dea observationa

vltéiieuiea (').

Kepler avait démontré que, C étant le centre de l'orbite elliptique {Fig. 37.1, le aoleil est placé hors du centre en S, et ’qu’en prenant sur la droite CS, CF:=CS, le inouvement de la planète, vu du point F, parait uniforuie. Voilà donc, outre le centre de l'ellipse, deux points sur le grand axe. S, F, dont dépend entièrement le mouvement des planètes, et qui sont également idislans du centre: il était bien. naturel de supposer, que ces deux poinis.importans étaient les foyers de l'ellipse, les seuls points marquans au dedans de cette courbe, et qui sont doués de tant de propriétés remarquables. Il ne restait donc qu'à examiner, si c'était réellement le cas, c'est-à-dire si Ig soleil occupait un des foyers de l'ellipse; et cela pouvait se faire par le procédé suivant. En nommant le grand et le petit demi-axe de l'ellipse, CA =u, CD = ,1a distance des foyers au centre, qui .est supposée égale à .

l’excenlricité, CS = CF=:c; les observations donnent r

AS, BS, a —

AS4-BS

et é =

ce qui .suffit .pour. déterminer l'ellipse. Si la planète est en p, on peut cal-'culer arec l'anomalie - vraie A = v, le rayon vecteur Sp, ainsi qu'on le; verra ci-après. A l'aide des méthodes .développées ci-dessus, on peut déterminer par observ'ation la .distance.- Sp, sans -supposer, l’orbite elliptique. La comparaison de cette distance -observée. avec le rayon .vecteur, calculé suivant la nature de l’ellipse, décidera donc la question. La route par laquelle Kepler parvint à la .découverte des, trois fameuses -lois du mouvement planétaire, auxquelles nous devons toute l'astronomie moderne, est à la vérité plus longue; mais elle mérite sous. plusieurs -points de vue, d’être éclaircie ici, d’autant plus qu’on a besoin de toute .l’attention possible, pour suivre le £1 des idées et des raisonnemens de Kepler, qui le conduisit enfin à travers un labyrinthe, dans lequel il pensa souvent .s'égarer .

(1) IhiJ. Cap. LylIT. pag. >64. CimiiDi Cxp. 43. pccral «xcc»ao, «UîpMt Cup. 45- p^>

drfrclu. Et tunt cicesM}! illc cl hic dctecitu ccc|Ui»les. Intcff ciroiiiM vtio et eUîpcîii 1 ,«nîhil raedut ni«i rilipait cIm. Erfo êi iptU Ut P/enc/cc iitr. •

Jlid. Ccf. •« ccBBcaecniettt*

L I V R E ni, C H A P. VI.

Ç. 125. Soit {Fig. a5.) C le centre ilu cercle AS B, S une planète, T te sohit, F le point d’égalilè, et CF =: CTj les recherches précédentes avant prouvé , que cette hj'pothèae satisfait exactement aux anomalies et aux éqiialiciis du centre, mais non pas aux distances. Si donc Aa — s est nu tiés-pelit aie piës de l'aphélie, on aura or les angles, décrits

autour de F, -étant proportionnels au tesns, il s'en suit que les teins dans lesquels le même arc s est décrit au.x deux apsides A, B, sont en raison inverse de AF, B F, ou ce qiii^revtent au même, en raison directe des dis!a;ires au soleil, Al', BT. Cette proportion n'a lieu que dans les apsides; mais Kepler la prit pour une loi générale dans toute l’orbite. Supposant donc, que le tems que la planète emploie è parcourir un arc infiniment petit, est partout en raison de sa distance uu soleil, il résulte de la théorie des proportions, que le tems que lu planète emploie à parcourir un arc quelconque (la somme de tous les arcs - infiniment jietils dont il est composé), -doit 'être proportionnel à la somme de toutes, les distances, ou de tous les rayons recteurs,, renfermés dans cet ' arc. Kepler, pensant que celte 'somme n’était autre chose que ia’ surface ‘couverte par tous ‘ces rayons vecteurs , ou l'o/re du secteur décrit ‘autour du soleil, en conclut, que les tems dans lesquels les planètes décrivent des arcs quelconques, étaient proportionnels è l’aire des se-’ cteurs elliptiques dont le sommet est dans le soleil , et qne par conséquent l’anomalie moyenne, étant aussi proportionnelle an tems, pouvait être exprimée par ce secteur. Il s'en suit que le tems, employé h parcourir un arc infiniment petit, est pareillement proportionnel è son secteur: or comme Kepler supposait, que ce tems était aussi proportionnel è la distance au soleil, il a’en auivrait, que les secteurs infiniment petits fussent en raison des distances • au soleil; mais cela na lieu que dans les apsides, ou dans le cas où ie so-=' leil est au -centre du cercle. Ayant abaiasé sur Te la perpendiculaire sa,, et nommant Ta =r,ar=:da, l’aire du secteiur-ATrc: S; , l’aire sTa sera* dS, et l’on aura

dS~?r.ia~îr3asinaearr ~,rd s cos C e T ,

CeT étant l'équation optique 96.): l’aire du secteur n’est donc pas pr«« * portionnelle à la distance r, mais au produit /coaCsT. Kepler rcjéla donc.

i8ï ASTRONOMIE RATIONNELLE celle (uppoailion, non seulemenl par la raison précédente, m:iis auui pareeque l'orbite n'ctl pas circulaire, comme on l'avait supposé dana lecalciil précédent; mais U observa en même tenu, que ces deux raisons se délruisaient mutuel* lement, ensorte que le rapport susdit des aires était d’accord avec les ob* aervatiens, par la raison même que l'orbite n'est pas un cercle mais une ellipse. Mais il faut encore observer, que la supposition qui sert ici de base, savoir la proportion entre les tems et les distances au soleil, est également fausse dans l'ellipse. C'est cependant de cette manière, que Kepler parvint à découvrir sa nde loi, dont il se servit aussi pour calculer réqualioB physiqut 1,$. 96.) dans le cercle excentrique^ En faisant pour abréger {J'ig. a5.), le rayon du cercle CS = o, locentricilé CT“CF=::c, la période d'une révolution entière =: T, le tems employé à parcourir l’arc AS:=/, l'anomalie moyenne AFSmfi, l'anomalie cxccttfnque ACS^t, l'anomalie vraie {coaquata) ATS :;;z V, l'arc AS:^s,

, réquation optique CST“w, l'équation physique CSFjir^,

l’aire du secteur AST=S, celle du triangle CSF’ == A,

et le rapport de la circonférence au diamètre ~ •?r— 3, i4i .

OD aura en vertu de cette loi,

S z:: — 1T «% rr: ^ a rr, donc aS rz fc«®. , •

Or t étant , et faire ASC~S — a— ?os— — $), il viendra

: o®p, d'où l’on Hre ® en parties du, rayon, ou en degrés (1= ,

n ■ * n éï TT

oa-k — C étant la srrrface du cercle entier. On a donc

Ayant aba’rssé sur A fl la perpendiculaire SR, faire A est ?CT .SR “Ico sin r.

En faisant par ex, par rapport au soleil, suivant Kepler,

<jt±s, c:=o,oiH; il viendra ,'

. ^ i8uaesinc . ,• •

A O, ooo.sin t, et (p=: r :n : degrés.

$. laJ. .Apics aruir donné à l'anomalie exeeuliuiue ACS=:c une valeur arbitraiie, Kepler calcula avec celle valeur l'équation pli3siqi:e, ou faire"' A:=:?oc$inc, laquelle, étant ajoulée è faire du secteur ASL — f.ù“t, don-'

— LIVRE iri, .C H A F; VL i83

"na S, d'où il conclut l’anomalie moyenne n=r — , et le tems répondant à

• ranomnlio r. Les cdlés CS “ <?, CT~c, et l'angle compris TCS^iSo* — i, i

donnent lang CST ~ ~ et rét|ualîon optique ca— CST. Or, (pcru — t

étant connir, on' a l'équation du centre et l’anomalie vraie w"h—

A l’aide des métliodes précédentes, Kepler calcula sur les observations seules,

'le rayon vecteur TS et l'anomalie vraie ATS, pour l’époque qui répond à l’anomalie r; .et il trouva l'anomalie constamment plus petite que l'anomalie ■o=:jA — dans le segment DAE,. et plus grande que w dans le seg-

ment DBE. Après 'un grand nombre d’essais, il découvrit que l’anomalie, aussi bien que Ib distance, dépendait de la loi suivante.

Soit (/(ÿ. 3«.) S le soleil, ASP l'anomalie vraie calculée —

PM perpendiculaire b la ligne des apsiilesj que du centre C et du rayon CA~a on décrive un cercle qui rencontre SP en P, et que SE soit perpendiculaire à la prolongation de PC. Cela posé, Kepler trouva partout PE ■ •

égale b la distance vraie, indiquée par les observations : en nommant donc

SP=:;r, on avait PE = r cosu, SPE étant l'équation optique u. En comparant entre elles les valeurs PErrreosu et dS — i rds coiui (§. laa.), on trouve dS=;^PE.ds, d'où il suit, que les aires des secteurs circulaires tn>

Animent petits sont «n elTét proportionnelles au.x distances PEj et c'eit ce qui, probablement conduisit Kepler à celte loi. En raisani la plus grande distancé AS = 7, on trouvera une expression extrêmement simple pour la • quantité, dont Ih vraie distance PE hors de l’aphélie est plus petite que q.

En effèl , on a CA“CP, donc SA — PE^CS — CE~c (r — cos t) rrcsinversf. Kepler donna b cette diflcrence CS — CE le nomî' de iiôra- U'on, pareequ’il l’expliqna par un mouvement de la planète, non pas sur la circuaféreDce, mais- le long du diamètre d’uu épicycle, attendu que celte différence n’altère pas les longitudes, mais les distances seules. (').

La loi qu’il découvrit relativement à l’anomalie vraie, est inlimemenl liée avec la précédente. En ôlaut<o (i — cos e) de AS “a-}- c, il vient la

tlialaDce vraie PEz=a+ccos£. En faisant donc SQrrPE, la planète sc- ' . /

raft en Q, si Taïuimalie n’éprouvait aucun riiangcmenl. Mais Kepler trouva Cjj UUt. c\p. Lyi.

•i«4 ASTRONOMIE RATIONNELLE qu'en üëciivant du centre S avec le rayon SQ = PE un arc circulaire qui coupe l’ordonnée PM, perpendiculaire & U ligne des apsides, en p, 8^ était, d'après les observations, non-seulement la véritable grandeur, mais aussi 1a vraie direction du rayon vecteur, ensorte que ASp = v était l’anomalie vraie (

$. ta4- L'anomalie excentrique ACP=:s, et la valeur qu'on vient de trouver, Sp —a -\-cco»t, donne C M =r a cos i , SM = c-|-acos c, donc dans le triangle SMp,

SM tf-faeo9e