CHAPITRE II
Lois générales du mouvement.
11. l-<'rxplication donnée plus haut 4-)i d’aprës laquelle cha-
que füice est envisagée comme étant composée d'une infinité d'impulsions, réiléiécs suivant la lui de continuité, est très-propre à détiuire .les lois du mouvement d'une simple application de la loi d'inertie. L’intensité ou l'eirct d'un choc ne peut être déterniiné, nf par l'espace seul que le corps parcourra, après avoir été frappé,^ ni par le tems seul pendant lequel il continuera son mouven^nl, parce que l’un et l'autre croit è infini suivant la loi d'inertie. Mais dès que le tems est connu , dans lequel In mobile parcourt un certain espace, Viniensilé du choc est déterminée, en supposant que, pendant ce tems, le mobile n'a éprouvé aucune nouvelle impulsion. Il est donc clair, que les chocs et les forces ne peuvent être mesurés que par la combinaisun du tems et de l’espace: c’esi ainsi que s'est développée une nouvelle notion, la relaliiqi entre le tems et l’espace, ou la vitesse. L’espace parcouru dans un cerlaitt tems, ou la vitesse engendrée, fournit donc la mesure, d’une impulsion; et on verra aisément, qu'il est indillérent, si l'on prend le tems grand ou petit, potim'i qu’on soit certain que l’espace parcouru dans ce t^’ms est l'etfet de la seule impulsion, qui doit être déierminée. Si le mobile a éprouvé successivement plusieurs chocs, il faut que l'espace qui servira à déterminer le premier choc, n'appartienne pas à un tems, plus grand que l’intervalle entre le premier et le second choc: d’ni'l il' suit que le tems qui, par sa comparaison avec l’esirace parcouru, servira à déterminer la vitesse engendrée, et par-là l'intensité du choc, doit êtr e d’autant plus petit, que les chocs se succèdent plus rapidement. La mèlue précaution est nécessaire, si le choc qui
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doit être déterminé, n'ejt pai le premier: dan«‘ un pareil cas, Il faut séparer la vitesse après le dernier chuc, de celle que le mobile avait déjà acquise v par les chocs précédens} le résidu, ou Vaccrolssemenl de la vitesse, détenni-' , nera seul, le dernier choc, au lieu que la* vitesse totale que le mobile a après le detnier choc, dépend de la somme de tous les chocs qu'il a éprouvés. Nommant donc p, p', p', etc- les dilFérentes impulsions que le mobile éprouve, c, c, c', etc. ses vitesses après la première, la seconde, la troisième impulsion; on aura p — \c, p + p' :='kc, . p 4- p' p" — \c", etc.
X étant un coèlflcient constant qui sera déterminé par la mesure dont^n se servira. 11 eu suit p'zz\(c — c), p''~\{o" — </), etc. ou en sommante la vitesse doancu par le premier choc, et &e, a'c, etc. les nouveaux accroissemens, >
. p~\c^ p' — XAc, ^"“Xa'c, et p ^ (c
$. i3. Si tous les chocs' ne sont pas seulement d'une force égale, mais succèdent aussi l’un à l'autre à des iittorvalles égaux, le nombre des chocs, et la somme des vitesses engendrées, seront proportibnnels an tems. Nommant t l'intervalle entre deux chocs successifs, au bout da tems nj. le,' nombre des chocs sera et leur fo'rce combinée, p -j-p' -|-p" -j-, . . . — •
X (c -f- Ac -f- a'c l’une et l’autre de ces deux, séries renfermant n termes. Or par hjpolhèse on a p—p'~p", etc, et — a'c, etc.
parce que les vitesses sont proportionnelles aux chocs u.), donc p -l-p'+p''+.. . "np, c-(- A c-J- a' c-j-> — «c; d'où il suit que la somme de tous les choc* est np~'Knc; et la vitesse totale ne est proportionnelle au tems nr. Nommant donc t le tems entier qui s'est écoulé,- pendant que les impulsions ont
été données , et v la vitesse finale ; on aura t — m, donc n — - , et -u ;jc= ^ = Dans cette expression X et t sont des quantités conslan-
tes qui dépeudent de la mesure adoptée; p est l'intensité de chaque choc, qui par hypothèse est constante: donc la vitesse v est proportionnelle aia tems t, pendant lequel les, chocs ont agi.
Si l’on suppose que les chqcs succèdent l’un à l'autre avec une rapidité infinie, il en résulte ce qu'on appelle force; elle sera canslantc, si (outes les impulsions p sont égales. L'intervalle r entre deux impulsions sera alors infiniment petit, mais tout les instant r seront égau.x, par hypothèse:
r et piont donc des quantités constantes, et la vitesse proportionnelle
au lents t, comme ci-dessus. Cest la proposition Uécouveiic par Galilée, sur laquelle se fonde toute la théorie des forces constantes: elle est, comme noua venons de voir, une suite nécessaire* de la loi de continuité, ou de la dé' finition des forces, d’apiës laquelle leur action est non -interrompue. Deiîx chocs sont égaux, qui communiquent ^ un mobile la même vitesse, ou qui lui font parcourir des espaces égaux en tems égaux; étant combinés, ils lui donneront une vitesse double, suit qu'ils arrivent en même tems ou surcessivemenl; tt en général, la somme des vitesses engendrées est proportionnelle au nombre des impulsions égales, simultanées ou successives. Si les impulaions succèdent immédiatement l'une à l'autre, leur nombre sera nécessairement proportionnel au tems: d’où il suit, que la vitesse impjimée par une force constante est proportionmVe au leiÿs.
Dans la fermule r est une quantité infiniment petite: en
conséquence, < et X étant des quantités finies, v serait infinie, si p n'ëlait en minie tenu infiniment petit', cela veut dire, que la vitesse (v), imprimée par un nombre infini de chocs i *erait infinie, si chaque choc (p) n'élait infiniment petit; ce ^ui est d'ailleurs évident.- 11 suit encore de que la vileiae, communiquée par un seul choc ou dans un instant, est infiniment petite. Les quantités r et t, dont l’une, est constante, l'autre variable, dépendent de la mesure arbitraire du tems; et l’intensité des impulsions p détermine la quantité accélératrice de la force, ou lui est proportionnelle.
Nommant donc P la forcÿ accélératrice, — est une quantité constante, finie.
et proportionnelle li P: supposant donc P, p étant un coefficient con-
étant, on aura P/, ou mettant X an lieu de—, •vzzXP/; où il faut
encore déterminer la constante X.
$. i4- Si In force P est rariable, sans changer cependant brusquement, nais par des nuances insensibles, suivant la loi de contieuité; on peut supposer que, daiu chaque instant, elle est d'une grandeur déterminée qui ne idiange pas pendant un tems infiniment petit, c’est-è-dire, on peut l’envisager comme une force constante pendant un inlervalls infiniment petit: autrement il serait absurde de vouloir comparer entre elles deux forces variables, ou de dire que i’une fût plus grande que l’autre; car cela suppose qu’on lui
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attribue, dans un instant donné, une grandeur déterminée qu'elle conierre invariablement pcnda|^t un tems, quelque petit qu’il soit, parce qu’aucun etTet physique n’est possible sans une durée quelconque. Tout ce qui a été prouvé relativement aux forces constantes ($. i3.), sera donc applicable aux forces variables, si t est un tems infiniment petit. L’équatiop v=:XPr(§. i3.), appliquée à ce cas, nous apprend donc la proposition suivante; la vitesse, communiquée par une force variable dans un tems inCninient petit, est pro* portionnelle au produit de la quantité accélératrice que la force avait dans cet . instant, par le tems infiniment petit; le premier facteur déterminant rin> tensité, et le second le nombre des chocs. Cest une suite évidente de la loi de continuité, sur laquelle sont fondées les grandes découvertes de la géométrie moderne. Une courbe quelconque p, dans chaque point, une di« rection déterminée, suivant laquelle elle décrit un arc infiniment petit; us mobile quelconque a également , dans chaque point, une vitesse déterminéei avec laquelle il décrit uniformément une portion infiniment petite de sa
route: une force variable quelconque aura donc aussi , dans chaque instant,
une grandeur déterminée, avec laquelle elle agit, pendant cet instant, comme une force constante. Cest uniquement par cette manière de se représenter
les choses, qu'il nous est possible de comparer les forces variables entre
.elles ou avec des G|rces constantes, ou de supposer l'une plus grande qne l'autre: car une force variable pouvant successive&ent devenir plus ou moins • grande qu'une force quelconque, élle ne pieut être comparée avec d’autres, à moins qu'on ne borne la comparaison à un certain instant, et que l'ou auppose qu'elle a,' dans cet instant, une valeur déterminée et invariable. Si l'on exprime la vitesse d'un mobile par la direction d'une ligne droite, qui sera altérée par chaque impulsion, ensorte' que la nouvelle direction fait avec U précédente un angle plus grand en raison de la violence du choc; les chocs proprement dits formeront une ligne brisée, les forces constantes un cercle, et les forces variables une courbe quelconque, dont la courbure dé* terminera la loi, suivant laquelle la force change. De même que le géomètre regarde les arcs infiniment petits d'une courbe, comme des arcs circulai* res d'un rayon déterminé, qu’on appelle le rayon de courbure; de même on
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est nécessité ici^ à considérer les forces variables comme constantes pendant
un tems infiniment petit. - ^ •
Dans l'équation précédente, t est donc un tems infiniment
pctit,'et‘v n'est plus la vitesse elle -même, qui est l'etTet de tous les états précédens de la foKC P, mais l'accroissement de ta vitesse, acquis dans le tems infiniment (letit, pendant lequel la force est considérée comme constante (5. la.): il iaut donc substituer ’bt et dv au lieu de t et Vf ce qui doonesa pour les forces variables P, cette équation^
’ . d’üizXPd/^
,11 est évident que X a ici U même valeur, que relativement aux forces con«
' stantes, parce que X est entré dans le calcul par la supposition, que les forces variables agissent comme Ic^ conslautes. Pour s'en convaincre entière' ment, on n'a qu'è intégrer la dernière équation, en supposant P constante; alors elle doit 'donner la môme équation que celle que nous avons trouvée pour l.c?s lorces constantes. Of cet intégral donnç -«“XP/, ce qui élaat comparé a la dernière équation du §. id,.. prouve que X indique la même quantité dans les deux cas. '
§. i5. Tout ce que bous venons de dire des forces variables, est aussi applicable, à la vitesse. Un corps, accéléré pai' des forces quelconques, chai- .ge de vitéssc continuellement. > 11 faut cependant qiic,.ÿdans chaque instauit, il ait une vitesse détcrmiitée, avec laquelle U décrira uniformément une por* tion infiniment petite de sa routes parce qu'au trement il serait absurde d'at> • tvibuec à un* mobile une vitesse plus grande qu'à un autre. Le mobile auiia donc, après avoir parcouru une portion s de sa loiUe, uae certaiire vitesse •U, avec laquelle il décrû-a uniforaiément. le petit arc consécutif ds, pendant le tems ht. Le mouvement étant unifumie pendant 0/ et ds, les vitesses v sont en, raison directe des espaces parcourus, hs, et en raison, inverse /id tems ht, ou comme Nommant donc S l’espace, pareonru dans le tems T avec la vitesse C, on aura C:t;: , ou Soit C la
vitesse par laquelle toutes les vitesses seront mesurées, ensorte que C~i;
il est naturel de prendre pour unité de vitesse, cH>e avec laquelle, un es-
pace r est parcouru dans le tems — i , on ce qui revient au même , de
prendre en même tems S pour unité de distance, et T pour unité de temt. Ou a donc C=^i,S=i, T=:i, d'od il «uU
ds
Mais il ne faut pas oublier,, que le propre sens de cette équation est la proportion, car ds et dr sont des quantités hétérogènes. On
se rappellera que nous avons toujours supposé, que le tems est partagé en poriions égales ($. iJ.), ou que dt est constant. Cela posé, la düTéreniiation de
la dernicrc équation donnera du=:— — , ce qui étant comparé avec l'équation dozr XPd/ (§. i40, donnera
‘ dB s — X' P3 r®.
§. i6. Kiur déterminer la constante X, on pourrait employer chaqueforce connue, quand même elle serait vai'iable. Mais dans ce dernier cas , il faudrait en même tems indiquer le lams, pendant lequel la force a' opéré, et coonaitre la loi, suivant laquelle elle dépend’du tems, parce que sans cela sa grandeur ne serait point déterminée. It est donc naturel, de choisir une force constante, et particulièrement celle que nous connaissons le mieux, parce que nous ressentons continueltonrent ses elfels: c’est la pesanteur à la surface de la terre. 11 est vrai, rigoureusement partant, que celte force varie avec la distance, ainsi que toutes les forces centrales; mais les observations qui serrent b déteribiner X, sont faites à la surface méuie, et b chute des corps, ou le* oscillnlions du pendule, changent la distance au centre de la terre si insens»blement, que la pesanteur peut être* regardée ici comme une force constante. Comme’ on a donc, en général pour toutes les forces, v:=: — (§. i5.) et re*klivcment aux forces constantes, v:^Xl’/ iJ,), it en résulte ds :z:.\P iBr,
dont l'intégral est s — P//; d’oil il suit que /es espact^s parcourus par /et
corps graJvs, et en génvrul en svrlu d'une jhree constanle, sont en raison du carré du tems. La mesure du tems élarit arbitraire, X peut recevoir difi'ércn^ tes valeurs. On est convenu de prendre pour unité la plus petite partie da tems, que nos pendules marquent distsnclement, c’est la seconde. Faisant donc fzz I , s sera l'espace paicoiiru en une secoudë, ~g (§. 8.), et l'équatioa. s i=-— Ptt deviendra g P. Si l’on prend la pesanteur peur mesure des for. ce:^ P sera — s, et \z=.7g — -j, 2t ...mètres. On a doiic, relativement à I&
ASTRONOMIE PHYSIQUE
pnanteur, vzz^gl (§, i3.), s~gtt, donc v^ — ^gs, $ — Cette hauteur
s, dont un corps doit être tombé, pour acquérir la TÎlease v, est appelée la
hauteur duc à la vitesse.
17. Maintenant les équations difTércntiellcs, sur lesquelles se fondent fontes les recherches de mécanique, sont réduites à des nombres connus; et il ysra bon de les rassembler ici. Prenant la. pesanteur pour unité de force, la seconde pour unité de tems, et le mètre pour mesure des distances, la vitesse avec laquelle on mobile parcourt un mètre en une seconde sera Tiinilé de vitesse, g — 3,6H62ii, et en nommant P une force' accélératrice quelconque par rapport à la pesanteur, s et v le nombre de métrés quelle fait parcourir aux corps en l secondes et en une seaonde, au bout du' tems r, v sera la vitesse engendrée dans le tems t, et nous aurons les équations suivantes ($. i5.):
