U ” Y' » *• Sds ~ dvd/; 3. dv~igP9f; 4* dds— agPdt

La dernière de ces équations est celle, dont on fait le plus fréquent usage dans l'astronomie physique: c'est à l’application et à l'inlégralion de cette équation, que nous devons les grandes découvertes, faites dans celte science. Je Terai , relativement à celte équation , une observation qu'il ne faut pas oublier. ' ' ' •

L’élément dds, ou j'espace que le mobile décrit dans le second infant 9/ qui succède au tems /, n'est pas l’eQet de l'inertie, mais de l'action continuée de la force P; ce qui est évident par l’équation 4- o<* dds~o, si P ~ 0. En eQel, si le mobile n’est sollicité par aucune force, son mouvement, dû à l'inertie seule, sera uniforme: nommant donc 9s, ds', df", etc. les espaces parcourus d^ns le premier, second, troisième, instant 9/, on aura 9s~9/—9s", dqnc 3/ — 3s"33s=ro. Supposons maintenant qu’une force agisse sur le mobile suivant la direction de son mouvement ; alors il est clair que 9s' > 9s', 9s’' >• 3s', etc. et ces accroissemens des premières difTérentielles, ou les secondes différentielles 3s'— 3s = 33s sont égales à 3gP3i’. Mais quoique 99s soit l’effet de l'actTon seule de la force P, il n’en suit pas, que la force P ait poussé immédiatement le mobile par l’Apace, entier 33s, ou que 33s soit l’espace que la force P eût &it parcourir è un corps en repos, dans le premier instant 3/: cela n’est

Tr&i que dans le cas, où di est le premier instant, ou i—o. Supposons que le mobile ail acquis,* en vertu tle son mouvement pendant le tems f, la vilpsse v: il parcourrait dans le premier instant suivant dt, l'espace vdt, en verûi de l’inertie seule; étant donc sollicité par la force P, il parcourra un espace ds plus grand que rd/;. supposons ds zr vd/ -|- d«, du étant l’c- «pace parcouru en vertu de la (orce P. Mais ce n'çst pas le seul eQ'et de la force P; elle a encore augmenté la vitesse v, crurant l'instant dt, cnsorle qu’au bout du Icms t -f- d^ Ifl mobüo aurft U vitesse, v -f- ?» laquelle '

il décrirait dans 1e second instant df, en vertu de l’inertie seule, espace d s' plus grand que ds rzrrdr du; savoir d/ ~ ds -f- ^d/. Outre cela, la force lui fera parcoutir, ddns l'instant dt , le même espace du., que dan» l'instant dt: on aura donc ds'zzds-j-du-f-l-d/, et ds' — ds ou ddszrdu-f- Çd/; d'où il suit, que dds est plus grand que l'espace du que la force eût fait parcourir au corps dans le tems dt, s'il eût été en repos; et il est aisé de voir que dds iz: 2 du. Prenons pour unité de tems une portion infiniment petite r, au lieu d’une seconde, et nommons g la chute des corps à la sur* face de la terre, pendant le pi entier moment r, ensorte que g est fcspace que la pesanteur seule fait parcourir. Toute autre force P pouvant être considérée, comme constante pendunf le moment r, le mèpie espace, relali« vement à cette force, que nous avons appelé du, sera =zgP, et durant le tems dt on aura dtazzgVdi^, parce que les espaces sont comme les carré» du tems, la force étant constante 1$. i6.). On peut s’en convaincre aussi par le raisonnement suivant. Soit dtizim'. alors le mobile, pendant le tems dt, éprouvera n fois plus d'impulsions, et la durée de son mouvement sera n fois plus longue: l’espace sera donc n fois plus grand en vertu de le force, et n fois en vertu de l'inettie; par conséquent l’espace' «era n* foi» plus grand que dans le tems t, donc durz^Pd/*. Or, dds étant zno-gVdt* en vertu de l’équation 4» & dds zz 2 du; ce qui veut dire, qu’un mobile,

étant sollicité par des forces, parcourra dans chaque instant un espace, plu» grand que celui parcouru dans l'instant précédent de même duréej du doüble de l’espace que les forces auraient fait parcourir au mobile, dans le mémt îaiIadI, s'il avait été en repos au commenren.rnt de l’action des force».

pput indiquer une force qui, suivant les principes de la mécanique, produirait les roouvemens que les observations indiquent, soit que la force réelle aoil telle que noos l'imaginoni , ou non. Dès qu’on aura trouvé que le* oibiles sont telles, que l’on peut déterminer au dedans de ces orbiles, un point fixe qui férait décrire aux corps les mêmes orbites autour de lui, s’il était doué d'une force centrale; on sera autorisé, 'de reg.vrder cette force '

centrale comme la véritable cause du mouvement, et ce point comme le centre des forces. De plus, comme l'astronomie ne considère que les mou- Temens relutijs des corps , la force centrale ne subsistera pas moins , si le centre des forces est aussi en mouvement, pourvu que l’orbite entière participe à ce mouvement: car alors le lieu des corps, relativement è ce centre, sera changé précisément, comme ai la force centrale était dirigée vers ua point fixe. Cette remarque sera d'un grand usage dans la suite.

$. tg. Lorsqu'un point matériel M {,Fig. i.) décrit la courbe AMmB, étant sollicité par des forces qui sont constamment dirigées vers le point C, ' la nature de la courbe AM sera déterminée par les méthodes usitées dans la géométrie. Si l'on mène par C une droite arbitraire AB, de laquelle les angles AC.M=$ seront comptés, et que l’on nomme la distance variable CM = r; l’orbite A VI sera déterminée par une équation entre et r, et le mouvement du point M aéra donné par l’application des équations fondamentales ($. 17.) aux dilférentielles de (P et der. Ayant abaissé sur AB la perpendiculaire MN, la force centrale, dirigée suivant MC, peut être décomposée en deux an- > ' trrs suivant MN et NC; et ces trois forces seront dans le rapport des lignes MC, MN, NC, conformément aux principes de la statique. Les lois géi érir les du mouvement doivent être appliquées à chacune de ces forces. En nommant donc P, M, N, les forces accélératrices suivant MC, MN,«NC, on aura • ' P : M ; N : : M C : M N : N C : ; 1 : sin (p : cos q>.

Soit CNrrx, NM=ry, e^l’arc infiniment petit Mm = 3s = 1^(dx“-f 9y’): 1s point M ayant donc décrit l'arc ds en vertu de la force P, il peut être envisagé, comme ayant parcouru les espaces — dx et dy, en vertu des forces N et M. Mais ces deux forces étant dirigées de manière à diminuer les lignes X, J, il faut les regarder comme négatives relativement à x, y. L'application de l'équation 4- CS- *70 donnera donc ces deux équations,

ddj;~ — èrtyr^ — d’où l'on tire ^ rN/ — M.r,

ou — ? 2-fJ— — M y — \l jr; et j-f- ~ — ay ,i\ j Mjr)8t*. En

ag<tf’ ' ,»ix t>y ><>*1 ’

lubilituani Alrl’sin^, N Pcus^^t on aura - ^ -ÿ, -:zP /cos arsin

et xddar+jrùâ) — — a^P xcos^-j-/*ôi,p^ 3/’. i»laiï on a aussi x ~ r cüs $, yz^niii $i d où il viendra ’