d(xây — yd.T) — o, II. 39x cos ^ 93y sin $ — agP

Les diiTérenliatiuns successives de x, y, donneront

3x“ 3rcos ^ — rà<p sin $, 3 y :::; 3r sin (J) -|- r3 4> cos 33x ^ 33 r cos $ — a3r3 sin $ — (-33$ sin $ — cos $, ddj-~ddr sin $ + a3r3$ cos$ -I- r33$ cos $ — r3 $' s.ii $.

En substituant ces valeurs, ainsi que a'siii $— ^cos$i;o, et x cos $+jsin $:^r, les équations précédeules prendront ta forme,

III. ^^,^*3$'=o; l\% 33r — r3$’ = — a^rPS/’; qui sont les deux équations fondamentales pour toutes les forces centrales.

Pour intégrer ces équations, U faut se rappeler que, dans toutes res formules, l’éléiueul 3/ est supposé constant, ou que le tems a été partagé en portions égales ($. i3.); d'où il suit que la constante, qu’il faut ajouter à la dilTérentielle trouvée par la première intégration, sera multipliée pur 3/. Cela posé, féqualiou III. donnera

A étant ta constante arbitraire, introduite par l’inîégralion. Substiluanf celle .valeur 3$~— ~ dans l'équation IV, après l’uvoir multipliée par 23c, elle deviendra, ï3r33r — —LfJ.. -j- 4g P3r3/^r o, d'où l'on tirera en intégrant.

dr= -f - +4^ 3vVP 3r -I- H3l» = O,

B étant une constante ajoutée k fiutcgrale. Le développement de l’intégral fPdr, P étant variable, suppose que P est donné en fonctien de r, ou que l’on connaît la loi, suivant laquelle la force accélératrice dépend de la distance: la recherche générale, dont nous nous occupons actuellement, ne peut donc être portée plus loin. Il est clair, que l'équation. V. qui est indépendante de P, renferme les propriétés, communes à toutes les forces centrales e/l général, et que l'équation VI. contient celles qui dépendent de la loi d’accélération d’une certaine force en particulier. La première équation nous apprend plusieurs vérités importantes que nuus alluos chercher.

5. îo. Soit m|JL un petit src de cercle, décrit du centre C et du rayon. Cmzzn miL aéra et l’élément du aecteur ACM =S sera le triangle

M Cm ” ï r*d;Î! 5S; d’où l’on tirera, ù l’aide de l’équation V, 23S=:A3/, et en intégrant, — Ir d'où il suit que les aires des secteurs décrits autour de C (S) sont proportionnelles au tems (/), ou qu'elles croissent unirorméraent. C'est une des lois que Kepler avait trouvées par les observations (.II- $■ 118.): elle a la preni'ëre donné lieu à la découverte d’une force centrale répandue dans l’univers.

Nevrion qui découvrit cette vérité, en donna la démonstration suivante (*). Si le mobile a parcouru, dans un instant èt, la ligne AB 3.),

la loi d’inertie lui ferait décrire, dans l'instant suivant dt, la ligne Bc~AB <ur la prolongation de ABj mais la force centrale suivant BS lui fera parcourir, dans le même tems, une ligne BV. Faisant donc cC parallèle et égale à BV, le mobile parviendra, par son mouvement composé, aq bout do tems dt eu C; de sorte que les secteurs, décrits dans le.s tems égaux df, seront ASB et BSC. Les aires des triangles ASB, BSc, ayant la même base ABi:Bc, et le même sommet S, sont égates, ainsi que celles des triangles BSc, BSC, parce qu’ils ont une base commune BS, et que leurs sommets sont situés dans la ligne cC, parallèle à la base. Il s’en suit, que les triangles ASB, DSC, .sont aussi égaux: donc les élénfens des surfaces des secteurs sont égaux en tems égaux, donc leurs intégrales sont aussi proporlioiinelleiÿ au tems. Il est vrai que, ' rigoureusement parlant, Bc n’est pas égal ù A B, leur dilféience étant ce que nous avons appelé (§. 17.) d3s — duzz.dtti Mais comme c'est nne dilfércnticlle du second ordre, elle s'évanouit par rapport aux dilTérentielles du premier oi'dte AB, Bc, conformément aux premiers principes du calcul ditrértutiel.

§. 3 1, On peut déduire de l’équalion V. encore une autre véii é importante. Soit {Fig. I.) CT perpendiculaire à la tangente de la combe MP; les triangles CM T, niMg, ayant le même angle en M, et des angles droits

en T et en g, seront semblables. Faisant donc pour abréger, CT = «, on

aura r: u : : M m : m u : : ds j rd$, ou dszz . Substituant donc ds~vèt

(S- 17 U. I.) et r’ Adt (§. 19. V.), il viendra o =: -jw ce qui veut

dire, que dans tonies les courbes, décriips en vertu d’une force centrale '■ ..... . ^

(ly Prme. PI, U. Xal. Math. lai. l. g. 53.

36 ASXRONOMIE physique

quelconque, les vitesses (v) sont en raison inverse des perpmdicu/mres (i/), menées du centre des forces à la tangente (Voy. I. J. 267. > 11 en «uit encore, que

hs vitesses angulaires sont en raison inverse du carré des distances r. En

i 5 va A

•flef, on a v — — , rv = — , donc v:w::di:d;È::r^:«, ou — — ,

$. 33. Ce* deux propriétés ne sont pas seulement communes à toutes

les forcw centrales, mais ces forces sont les seules, qui puissent produire un

mouvement dans lequel ce* propriétés ont lieu. En eflel, si l'aire S est

proportionnelle au lems t, ou S~ïA/, on aura 9S~iA3/, et 99S=:o, ou

9(r°d$)=ro. On trouve le même résultat par la supposition, que la perpen*.

diculaire à la taneente est en raison inverse de la' vitesse, ou car

« étant — - — ^§. 3t.) et w , on en tirera r*d$=A9/, d'ou il suit

également, 9(r^9;p)cr:o. Or, r^dcp^j-d/ — ydx (Ç- '9-)» donc o“d^x9jf— ydjr), •U xddjr — yddx — 0. Soient M', N', le* forces accélératrices suivant MN •t NC, ou suivant — jret — x-, cela posé l'équation 4- I.S- 17.) donnera ddjr — — a^M'9/% et 9dx=: — Ayant substitué ce* valeurs dans l’équa»

tion xddy — yàdx~o, on trouvera, en divisant par stgdt^, o — fi'y — M'x, donc N' r M' r: X :jr :r N C : MN. La résultante de ces deux force* est donc «onstamment dirigée vers C, ou une force centrale, résidant en C. Il suit

donc de la seconde loi de Kepler, que le* punéles sont sollicitées par uns force centrale dn soleil; et toute l’astronomie physique est fondée sur es théorème, que Newton démontra de la manière suiranle (').

Si le mobile décrit dans le second moment BC (,l"ig- 3.), au lien ds Bc=:AB, cela doit être l’rlTet d’une force qui le conduit par cC,. pendant qu’en vertu de la loi d’inertie il parcourt Bc, ensorte que la composition des force* lui (ait parccurir la diagenalc BC: la force est donc dirigée suivant cC. Or, te* triangles ASB, BSC, étant égaux^ par hypothèse, les triangles BSG, BSc, seront aussi égaux, parce que ASB, BSc, ayant la même base AB~ Oc, sont égaux. Il suit de l’égalité des triangles BSC, BSc, qu’ayant la mèms base SB, leurs sommets C, c, sent situés dan* une ligne parallèle è la baae: la direction de la force cC est donc parallèle h BS, ou elle pâme constamment par S.

{1} /«<• ât. ^ 62.