LIVRE V, CHAP. VIL XXXIÎ. U" = îyy'cogfn'— o!)}sin^ü— ra)c-s(3i
le» lettre» «ans trait »e rapportant à Jupiter, celle* marquées d'un trait à Saturne, et <p étant — S'^. = — J"^. Maintenant il faut observer qu’en vertu des formules (Q ($. on a
è’ cos ( ï n — m) ~ i sin ra co* us, i" sin (a II — ®) ~ é co» ta — A' sin ta,
S' co» (a n — ta ) ~ i sin ta'-)- costa', î' sin (■» fl — ta') “ k cos ta' — It' sin
Le» valeurs précédente» de oA^ \ oA^^\ oA^'**, a*a'îl^+\
et de leurs ditTérentielles ($. 3'>4’ ^'9' donnent (tj. igd. igl>.)
I = — 3,8a6i88} II =: — i*,7’îg5o4; III = — lo, 56685g; IV = o.3645oo;
v=:Tt
à a “^8“ ia>''^8
etc. doDO
Vu: — ^ .17,15764; VI =: — y . îo,g563o4i VII = — - . 6,333407; VIII =: - . o,6g6455;
fl a
SK^“'’=: 16,75237; — 44-^7 (§• aaS.).
Cela posé, on aura, en substituant les valeurs de y, 7', ta, ta', i, k', ($. 20g. 228.) XXX ~ o,iogti65r . sin 0,1 14'^707 . co»
XXXI ~ — o,j888648 . sin -)- 0,1 137378 . co»
XXXII = 0,0276ig3. sin (Q: — ^) f 0,1 1878 , co» (a —
Si on multiplie XXX par =58^3645; et XXXI, XXXII, par = ■ 93",2g65; il viendra
XXX = 6", 1655 J . sin <p -)- 6'',66g35 . co» (J),
XXXI “ — J6",5o6g . sin <J|' -f- 2i".g>^g . co» (J)',
XXXII = 5",3J«7 . sin (a — 22".95y8 . co» (a — ■&),
et en réduisant le* deux termes de chaque inégalité en un seul,
XXX. i7i'ît»=:9",2î.»in(ia — 5'^-)- 46® 20' 7' j, y XXXI. mJu'=:— 4'",6i .»in(sa — 3^ — 3i®3 4*"\
XXXIL m«v'=a3',57.»iii(a — 'b4-76’S4 36").
$. 235. Bassemblon* maintenant les diverses inégalités périodiques de toutes les planètes, développées ci-dessus an. ai 3. 218. 320. 224. aaS.
4ao ASTRONOMIE PHYSIQUE
3i6. 279. 23o. a3i. a3a. 333. s34), réduisons les tern l’s, dont U's ai^orrriis ont la mi-rne partie |,éiiori>(jue, en un seul pur la n'.é'.lioile du §. 3uK, r| sub> stiluoiis pour les péiilié irs ta leurs valeurs (lonnéts dans la Tu!’. 1 I§. 209 ). On aura, en faisant la distance nuyenne de la terie au soleil ~ loouooo, l'inégalité du rayon icefeur rie Mercure —
— o,r4 -I- 0.43 • et'-' ( ï — î ) — 1 ,6 s . cos 2 ( g — $ )
— 1,4 . ros(74» 3i'47" -|-î Ç— >»$ -— "•9'» • tusr74" 2» 47''+ 5 —*2);
l’inégalité de la hirgltude de Mercure —
— o".6y.sin(Ç— ? ) -f i'',52 .sin Ç — ? )-f 4",2 .sin (74“ 2 1'47 '+ g — »S)
,76$in 74“2 2 + -> Ç— 3 $ )-(-3'',26.sii (74*2a'+S — aCi)-o',57.8in^!i.-i
l’inégalité du rayon recteur de f 'énus ~
— o,6-|-^,56.cos( S - S )+i5,33.cos2( $ - ÿ )— i3,oa.cos3( Ç - ÿ)-a,î5.cos4, Ç - S) 4,119 . cos ( S — a) — 3, 19. cos n (Ç — Ot)
-t- 1 ,53 . cos (99° 3o' -f- s $ — 3 ÿ ) -f- 2,52 , cos (87“ r|G' 34’' -J- 4 ? — 5 ÿ Jf l'inégalité de la longitude de f^inus ~
— 5'',63.sin( $ — S )— io'',6i.sin2( $ - ÿ ,-)-6' ,74 sin3' Ç - J )-f o",c,8,sin4C 5 - $ )
— 2",9i .sin($ — Q;)-)-ü",88.sin2( £ — 2:) — 3",25 •sin(>-7‘'7'27" ^-2 S — 3 J ) — o' ,87jin'99®Jo'+J Ç -4 0 )-2",o4 siD(r)9‘’3o'+4 î - 6 J )— j",5î,sin[2— >
l’inégalilé du rayon recteur de la Terre ^
0,4 I+3i,54.c08,C-O.' — 6,26.cos( $ - J )+ 17. 87.0052(5: - -.5 jd-a,83.cos3( .î - J ) -t-o,98.cos4($ — i -fo,39.ccs(S--o )-f5,7o.cos3( ÿ — o )— o,/j6.tos. (J ~ î) -f- i»,94- cos( S — 2 i — 9,n>.cos2( J <— 2} — 3,17.005199° 3o' -j- 2 5 — .i
— 3,89 . cos (,87* 35' 5 1" -}- 3 .5 — 4 $) + ii'a7 • vos (27° 35' 36”' 4<j — J S)
4- 3,26 . CCS (27° 35' i4" 4 ï2 — S )j l’inégalité de la longitude de la Terre ^
6",66jin(C — S — S )— 6',2 74inî( $ — ÿ )— o",78.5!i-3( S — S)
— o'',a4.siu4 $ — a'’,46.sin2(5— cî)-7'',o6.sin( J— n +2' ,67.811. { J-îi >
4- 2'',8i,sin (87° 12' i3''4- 2 Î — 35)-)- i",75 . sin (87° 39' » 4" 4 S ~ 4 $ J
4 • sin <44* 02 2»'’ 4 2 c? — $ ) + c"i47 • »in (»7* 35' 36" 4 (4 — * 5 )
4 o' tf>7 • »iii (27° 35 36 ' -7- 4 J — 3 S ) — 3", 55 . sin ( a — 4° ‘3' 1 4'';
4 i".59 .ain (58° o' \S" 4 2 2 — ■ 5 ) "1” o",54- sin (i v° 8' 35' 4 * 5 — ^
l'inégalité du rayon itcieur de AJan
— 4 4->7 4^ $-<! -{ 4 J -f 1,1 tu:o43( 5 -J )-t-7?,4 '»■ os(<î-2; )
— 67 çji.cosr J — O) figl-.o 3 J— a)4-4.4'-<‘o»'<?— ti) -f-4*" 'O* ■•7'’3j j6'4-‘’cf-S )f J,û8.cp5( <7®3r>* 6 Vj ) — ■7'’JÎi'..G’'4- * 7
-f i j.i 4 . i os ^4“^ 'h - S — S ) — ïo.og . cos (Ja“ 58f lo" -J- J ^ — î ^ j -f- 3, 1 1 . cos (J 3» 2' .:6" -t- 4 (J — 3 J ) — 8,58 , i oi (4o'> 5a' 1 •/• -f a )
4- 8.73 . co> ( 7® 35' J6' -h 2 tf — ft) — 54.fi9 • CO» (3a“ 1 1' i5*' 4- a ü — d )
— (),4j) . cos ( 7® 35’ 36'' -1- 3tf — a Q) — 10,74 • cos (5 i® a' 5a" 2 — 3 ü)
— 2, <4 . < o (1 i’ 8' 35' 4* 3 J — 42;) — 5,56 . coi ('7° 35' 36" 4- a ^ — c?)j rinégalité üe la longitude de Mur» =:
6",49.mo^5 —J) c ".gi.sin ( $ — J) — a} ',44«'n^<J— 2 )4-'3",6o.sina(c? - 2 )
-|- i'',io . sin 3 ( - a) — l'.aS . sin 4- o",42 .sin a ( — ^)
4- i",iî . sir ( 7"35' .6" 4-a (J — Ç ) 4- o*,63 . sin (7' 3:/ 36" 4- J)
— ja ',84 . siii (f4‘4 ’ 4/" 4- a <? — S 1 — 6",55 . sin (33® a' 38''-)- 3 J — 2 J ) - 4 3".6 .sii. (s3®aa' 26'— 3) — a",87.»in (>7® 35' 36' -|- a d — Û)
— ai ' ,5;) . sin ( !»° 54' 5i"-j- aa — cf ) 4" *' >®9 • *'” ('*0“ o' 4~ a J — 32 ) +i',83.sin(27®35'3b"+3 J-aa +o",G6.»ii (■g®9'-'^^— 1',7» sinfa7°3j ^6 +aîj-J')j
l'iiK^galUé du ntyon vecteur de Jupiter ~
— 58,99 4 6 14 9*’ ■ CO» (a — — 2753.45 .cü» 2 fa — — 287 ao.co»3(a —
— 74'4i'Cos4Ca— tj) -?4i<'*-co»5(a— S) — 9,ao.cosfi(a -'b — i,7o.cü»7('a —
4- 1 y Ü3.cü.-(a — 1 1 ®8'35")— 80,3 J.i0!(^+-a3®3a'47") -j5,i 7.cos{a 2 1 1 'b'dS’O
— 290.92 . cos ( »i® 28' 16" a’^ — a ) — 128, *5 , CO» (3a — a'^ — 1 i®8'd5' )
— 87g 78 . cos (61® 3g' 3o ' 4" 3'^ — aa ) -4 2 >6,49 • co» (61® 4' 3' -)- 4^ — 32 ) -*-5ü,3i.cos(6i®,3 55''+5^-4a -('W*! .(>4-/.o,o479)cu»(3a-5’5+57 ay +^43". 4 4)
-j- aa,4« . cos (3^ — 2 — a6“ 3g ü' j — 2 Ji ,6g . cos ( > ^ — a a -f“ '•i3'’ 4'' 4 ”'»
l'iiiégalilé de la longitude de Jupiter ~
— 78 ',9.»iii(2— î>)4- >4' .3 SIU2 2 — 3 i4-i6'',aa.sin3(a-V;4-3'',73.sin4C2-'b)
4- lü' .98 . Siu (',3® .'4' 4« ' -r b 4- 4", -.*6 • s>“ (' 8' 35" ^ — a 2 )
— a îr',6a .siii(is“ 2(' 58" -|- 2 ^ — 2; 4-/- “'>00471 1 .iin(4 *“37' '4' 4" 2 — a’^)
-{- ia',a6 . siii ( 1 1 ° 8' 35" a^ — 32) — 8a", g4 . sin (60® 53' 1 6 ' -7- 3^ — a2) 4-/.o'',oo4i53 .siji 7 i® 48' 48' 4-2 2 — 3'^) — i' ,aa .sin(i i’8'3»"4-3 5 — 42)
-)- 1 5", 19 . sin (6‘ ® 4 *' >8" -{- 4 ^ — 3 2 ' -j- o",8a . sin (89® 9' -4-5 2 — 6^/ ia",32 . sin (77® 4o' 57" rj- 3 ^ — 2) -f- > o'',4 -sin (Go® 35 a' -|- 4 '2 — 3 ^
ASTRONOMIE PHYSIQUE ■h ('58", 07 — l.o' ,oo‘-] 7'sin C’;* 4'»' '9" 4- 5 a ~ 5 ^ -f '•4‘",54)
+(i iXj'-z.o’ ,o47io8+’’.o',oouoc66 < sin 5'^-->a+a’26 jS.fg-H'.o', 001.579’;
l’inëgaliié du rayon vecteur de Saturne ~
3**9'i'7“t“8i53,84-<’o»fa — ^)4" i383,84.co»»(a — '^•-4-3ao, 07.00*3. Qi — '^) +993.00*4 a— ^)+<5,6i.oos‘(a — Î))+i3.9?.co*6 a~^ +149.15.00*
— •94r''Co»5-(i-è i-48,o3.oo»3C^- J l-i i,8a.co*4 ^4’ 9i.co*C^-i i“8'35')
+ 5364 7 . cos (1 1® 5' 38'' +a'^ — a) — • '95.79 . co* 60® 12' 53"+ 3'^ — a a) + 202,01 . 00* (^9• 9' -f- 3 a — 4^) + "76,05 . 00» (88® 27' 4g" + 3^^ — î>)
+ (i4 43 i — i . o,3a4*) CO» (2 a — 4 ^ + 58® 16' a5"4- / . 4»*', 2017)
— 6. ,6, 85 .CO* (24® 3a' 16 ' + 2 — 8 § )-j- 3522, 58. cos (5 — a a + 9’38'47~)>
riiiëgalité de la longitude de Saturne ~
a4 ',48 . ain (69® 4 1' 1 + a — 1)5 — 3 i'',49 . sin 2 f a — - ©",57 . »in 3 (a — 1>)
— r'.97.*in4 a— "5 o',7.»in5(a— î)1— 9'',25*invî»— 5)+i4",4i.*in->(^— è) +r'.4i»in3,‘^- Ê +i i'',3i jin(84®35'3i"-(-a'i+3'',i7.»iD.:28®i6 ii"-|-2a— '^) + 4'9*,©7 .»inp3® 56 27'' +2'^ — a) — /.o' ,oi53o6.»in (44*4^ I 4-a-a^)
— 4'9.*in 6.®4l'i4' + 4^-3a) - i',4a.»in 1,62» 46^' + 5 4 a)
+» 4'*-«'n(S-56“8'38' ) ho'’,67.*in(89®9 + J a'^'l+9”,79.*in(73®io'54+‘^-a §)
— 1 ,''9 . *in (89® 9' + a è — 3 ■5) + 27 ',3a . sin (24® 4i' 8 ' + 2 — 3 è )
+ o",76.»in (12® 38' i8'+4è — 3 1 — 56", 55 . sin (83® 3' 6' + 3^ — a)
•«- 2 «",58 .sin (24* ao' 18" + 2a — d'^) — 3i",a5 , sin (89® 8' 27'' + — 3 J)
— (657",7J — / . o’,oi4aH) sin (a a — 4"^ + 58» aa' 3/' -f- i . 4a",oaoa)
— («871' ,78 — l . o'', 10678 — /®. o",ooooa4i) X sin (5'^ — 2 a a® 35' i4" — 53",8779 + r' . o', 001 1757);
l'injgalilé du rayon vecteur d'Lnmus ~
85g4 6 -h 489 1,6a. eus (a — S;+ 23,62.cosa(a — ^)+3368,a8.cos — g)
+ 3f6,ii .co»2(^— S) 84,55 . co*3 — ^ ) + i4,3a . cos 4 ^
+57+, -6 . co» (74® 4' 45" + ;5 — a ^ ) + i356,4 • co» (8a® 35' 1 1" + ;^ — j 5 ), l'inégalilë de la longitude fïUranus ~
52'',3i.»in(a — ^)+2o*,3ajinC^- J)— 4',oi.»ina(5- ^)— o",8a.»in3(^- J) + i",a3 .sin (la® 38' 18" + a) + i",33 .sin (12® 38' li" '+ -^)
+ 3",6.S .sin {12® 38' 18" + a ^ — a; + «",26 .sin (a a — § — •'* 8 35")
— ijg',76 . sin (72® 7' + —2^) — o",83 .sin(ia® 3e »8' + 2^ —
+ a", 53 . sin (24* 55" + — 3 ^ o", 006649 . sin (?9® 9^ — a ^ )
-f i27",73.8in fPg* 8' 27'' + ^ — 3^).
§. a36. L’inëgalité la plus considérable des planètes est celle qui dé' pend de reiliplicilé de leurs orbites, et qu’on appelle Véquation du centre. On la trouve dans les tables astronomiques; mais pour en faire usage, il faut connaître très> exactement son argument, Tanomalie ou la longitude moyenne, c’est* à «dire le lieu que la planète occuperait, si l’équation elliptique n’existait pas, ainsi que les changement que ce lieu éprouve par l’action des autres planètes. Il est donc visible que la longitude moyenne doit être corrigée par les principales inégalités, dues aux pertui bâtions, pour former l’argument de l’équation elliptique, ou qu’il faut regarder les corrections de cette équation, qui en résultent, comme de nouvelles inégalités. Cette dernière méthode a été appliquée à l’inégalité de Saturne, 420 '* sin ^i3**j6'-(- 2^—12-) ($. s )5); pour la grande inégalité de Jupiter et de Saturne, qui dépend de la troisième dimension des excentricités , les astronomes ont employé la première méthode. En effet, si l’on se trompe sur la longitude de Saturne de 48', ce qui est le maximum de sa grande inégalité, cette erreur pourra altérer l’équation du centre de 6'. En nommant donc les véritables longitudes moyennes de Jupiter et de Saturne, t-\-nt, t'-\-n'l, leurs grandes inégalités, A, Â^ on doit prendre pour argument de l’équation du centre, ~ f 4*/)/ + A, t' -j- n’/ -|- A'. Il s’en suit qu’en corrigeant une longitude observée par l’équation du centre, on ne trouvera pas i-\-nt, mais ï-j-/i/-|-A, et que par conséquent on se trompera de la valeur A, que la grande inégalité avait & l'époque de l’observation, si l’on détermine le moyen mouvement par des ohsérvations, sans les corriger par la grande inégalité; ce qui a éié le cas dans le tems, où cette inégalité n'était pas connue. Si l’on désigne par T le tems écoulé entre les époques de deux observations, et par M, N, les valeurs de A qui y répondent, on trouvera t-j-nZ-f-M et 1 -4- n iZ-j-T) N» pour les longitudes moyennes, ce qui donnera /iT -1“ ^ ^ pour le moyen
mouvement «tans le tems T : on commettra donc une erreur de N — M.
Comme A, A', sont propustionnelles à sin (5"5 — ), le même
iuteivalle T pourra donuer une erreur plus ou moins grande, positive ün'
4s4 astronomie physique
mV-slive, une accélér«»lion ou rclardalion du moyen mouvemenl. L'erreur peut mouler à a A = 39V el à aA'rrpG', si l’in^gaiilé a eu sa plus grande voleur posilire et négalive à l'époque des deux observations. LeSet — — que cel'e rrieur peu! avoir sur la détermination du moyen mouvemcnf, dépend de la longueur de la période de la grande inégalité A, A', ou du leriis dans lequel l'argument 5'^ — 2 2; — < . 6J ',8.’;) . o",ooo:''79 ou 5^ — 2 2: — 1 . 53 ',878 -i- /’ . o",ooi 176, augmente de 180“. Or les mouve* meus annuels étant 5n' — 21998/ , 20 =2 I', on trouvera que cela arrive
dans l'espace de 4^9 Dans une période entière de 918 ans, les inéga-
lités A, A', s’évanouiront deux fois et eliangeront de 20' à — 2t/ , et de 48' à — 48- Le moyen mouvement de 5>alurne, déterminé par deux observations qui ont été faites à des époques, où A' était — 4® el48', sera trop gland de gfi' pour 4'S) ou <1® i*" à il' par an. Deux autres obserr lions, dont la première lépond à A' r= 48*» seconde è A'::: — 4^'» donneront le moyen mouvement trop petit de la même qoanlilé. Ainsi le moyen mouvement pour 4*9 ®us paraîtra plus petit de <92', que dans la période antérieure ou postérieure, d’où il résultera une retardation ou accéicralicti apparente de 'Saturne. Au reste , comme A et A' sont aOeciés de signes contraires, le mouvement apparent d'une de ers deux planètes sera accéléré, lorsque faulre est retardé. 2'out cela est paifaitcnient d'accoid avec les observations.
Quand on aura corrigé ainsi l'argitment de l’équation du centre, l’équation elle -même et le rayon vecteur auront encore' besoin d’une currection. Nous avons supposé /l’a^ = ou = i ; mais on a, en vertu de
l’atlraclion mutuelle fÇ. 5y. 'Cl), a'^ — n'* , ou en négligeant
(ij/ 5 % /n* ^
—j (i m) a'. Il faudra donc augmenter a — y a' de la
quantité pour avoir sa juste valeur, qui doit être employée dani le
calcul elliptique. D'ailleurs on devra tenir compte de la variation séculaire
de l’excentricité, au moyen des valeurs—^, qui ont été données
($. 337.) pour Jupiter et Saturne^ les seules planètes où cette correction soit
nécessaire. On calculera donc l'équalion du centre et le rayon vecteur sur les formules données plus haut (II. §. idp), en y substituant
H=»+/i/-t-A, 7 = 7 + / — -I- , eto = a(i+Im).
§. 337, Dams l'eiposition des méthodes pour déterminer les élémens des orbites planétaires par des observations, que nous avons donnée dans le Tome 11. de cet ouvrage, nous avons pris pour base la théorie de Kepler: ainsi nous avons supposé que les plitncles ii’onl point d'autres inégalités que celles qui résultent de leur raouvenieni elliptique. L'efiet inconnu des perlur* butions doit donc avoir eu une influence pernicieuse sur la détermination des élémens, à laquelle on ne pourra remédier, que lorsqu’on connaîtra la théorie des perturbations arec la même prévision que celle du mouvement elliptique. Maintenant, ayant développé toutes les perturbations mutuelles des planètes, il faut combiner les inégalités ou équations qui en résultent, avec les observations, pour corriger les élémens. Pour cela on calculera louirs les inégalités pour l'époque d'une observation, en supposant les élémens connus, et on les appliquera à la longitude observée, en changeant leurs signes, pareeque les formules précédentes sont destinées à convertir la longitude moyenne en longitude vraie. La longitude, corrigée avec toutes ces perturbations, donnera la longitude moyenne, qui pourra servir d'époque. C'est un de ces cas, si fréquens dans l'aslronoroie, où, à cause des difficultés que présente le chemin droit, on approche de la vérité par des détours, qui ressemblent h un cercle vicieux, mais qui fui:nent efTeclivement une spirale très-convergente. Pour déterminer les élémens elliptiques, il fallait commencer par adopter la fausse bypulbëse du mouvement circulaire; les éléniens ellipliqurs sont nécessaires, pour calculer les peiturbalions, sans lesquelles il est impossible de déterminer exactement les élémens. L’astronomie doit à celle méthode d’approximation les vérités les plus importantes, qu’on n'auiail jamais découvertes, en suivant le chemin droit.
$. ï38. On a vu dans le Tome II, que le mouvement des noeuds et des apsides des planètes a été déterminé immédiatement par observation; nous venons de déterminer le même mouvement par la théorie de la pesan-
4iS ASTRONOMIE P H Y S I.Q U E
leur univenelle. Il e«t donc facile de vérifier celle Ihéorie par la compa> raiaon des formules précédentes avec les observalions; on pourra même s’en servir, pour corriger les masses des planètes que nous avons adoptées dans ces formules. Le plan de cet ouvrage ne permet pas d'entrer dans le détail de ces recherches, qui d’ailleurs n’ont aucune ditücullé. Il sera ce* pendant utile de dire quelques mots relativement it la grande inégalité de Jupiter et de Saturne, la seule perturbation périodique des planètes, que les observalions avaient indiquée, longlems avant qu’on se doutât de leur altra* ction mutuelle.
Kepler avait déjà remarqué, que le moyen mouvement de Jupiter et de Saturne n’était plus conforme aux observalions de Ptolémée; et Flamstead observa, que les tables de Tycho donnaient trop de vitesse à Saturne et trop peu h Jupiter, d’où il suivait une accélération du moyen mouvement de Jupiter, et un retardement de oaturne, dans le siècle écoulé entre Tycho et Flamstead. Cette équation séculaire est très -sensible dans Saturne. Si on compare l’opposilion de celte planète, observée laS ans avant J. C., avec celle de l’an i7i4t on trouvera le mouvement annuel de Saturne =
Comparant l’opposition de 1594 stoc celle de 1713, on trouve le mouve» ment annuel — la® i3'ao", plus petit de i5" que le précédent ('). Nous avons trouvé, en partant de l’époque 1800, A = — |3'sin\|/' ($. a35.), en faisant
. r|/ = 5-5 — aa -f- a®33' i4" — / . 53",878 + o",ooi 1757,
(3' — a8^ i",8 — < . o'',i 068 — r’ . o"ooooa4.
Les tables astronomiques donnent pour 1800,
5-b-aa=9.®4o'a3", 5 n' — a n = 1 47 1", d’où, l’on conclura la valeur de pour l’an 1800 =: y4“ i5' 37" = \{i, et son accroissement en t ans r= /. i4<7" + <’.o",ooii757. Au moyen de ces valeurs on trouvera pour les années
(1; AnroMmit far Xj Lan<U, Lit, F, §. 1164. W. UoU.
A-iO okaiil J Li.
t — — aoa8
1 ~ — ao6
