LIVRE II, C II A P. l

* (0 . . • .Te = -— , e = V(n*, — ), 0= •

el les coonloiiriées ^tant comme ci • dessus {hg. 1.) CN — x, NM=j-, ACM=:<J), CM~r, l'équalion de l’ellipse est

. ' (a) a-jT — b^ {*a= — (.t — c)’ } ,

ou h cause de v’ zz — i®; ‘

*a" r® ^ 4*^ -f- a à“cx‘-^- e® J®, dont Ja racine carrée est (3) or — A® -}- c.r.

En substituant .t — rcos$, cette équation desiendia .

^ (4) O — r («* — c coi Cp' — i® ,

dont la différenlialron donne — ^ ^ dr. En substituant

c r «in 4Ï

,cos$=:^-^^ — ~ et sin®(p— H viendra

Ainsi réquation VI, (§. ly.) ileviemlr^

* r" {a a r— r» — èa) . A* 5 f* , ^

jî 7>“— — Pdr,

et en substituant l'équalion V (§. 19.I, et^ divisant par 3t®, dont la difl'érenlîelle est l'o*» Rf*

lai force ceirtralc P ou son accélération, est donc proportionnelle àç}., parce que A, U, b, g, sont des constantes. Eu substituant (1), et faisant pour abiégcr,

(7) — = C, il tiendra

gf

Il en résulte celle vérité^ importante, découverte par Newton: la force centripète du soleil agit suivant cette loi, que son accéFcrntion , ou la vilesse qu’elle comiiuinique au.x mobiles en lems égaux, est en ruison imerse des carris des' distances des mobiles au soleil ( ' ’

Il faut cependant (aire une observation qu'on a souvent négligé de faire. 11 n’en suit pas que la force eenitale du soleil s’étende par tout l'u-

XtJ P/et. Kal. Prine.’ilalJi. lÀi- J- $• Soi-

46 ASTRONOMIEPHYSIQUE

Hivers suivant la même loi; quoiqu’il soit hojrs de toute probabilil^, que relfe loi qui, d’après les observations, a lieu dans les diverses distances de cha>

'que planète au soleil, soif brusquement interrompue dans' les intervalles en»

^Ire deux orbites. 11 faut cependant convenir, que la dcmonstraliun précédente, ou l’ellipticité des orbites, sous le rapport géométrique, ne irôus autorise pas à donner à la loi cette éicndue.. En etTet, elle suppose que a, b, sont des quantités constantes, ce qui n'est le cas que tant qu'on considère une seulo orbite: on pourrait donc douter, que la raison inverse des carrés des distances ail encore lieu, si l’on* passe d’une orbite à l’autre, pour les comparer entre elles, parce ^l'alors a et b, a\’anl d’autres valeurs, doivent être regardées comme des variables. I.a question, que la loi de NevrMon a lieu partout, ou seulement dans chaque orbite, ne peut être déciilée que par l’expéiience relative au rapport qui existe entre les diü'éjentes oibitcs, c’esti-dire par la troisième loi de Kepler (Vo^^. §. vg.).

§. 38. La constante A’résulle dS rintégialion de l’équation III, commune à toutes les forces centrales (§. 19. V.): elle ne dépend donc pas de la loi d’attraption , mais de la force clic.- même , ou de ce que nous avons appelé sa quantité absolue (§. Ainsi la quantité A serviia à déterminer le rapport de la force centrale du soleil à toute autre,, quand même elle

• suivrait une autre loi, s’il y en a. Puis donc que raccéicralion de la pesan-

teur à la surface de la tttre est l’unité dans toutes les équations précédentes (§. i6.)-, P sera le quotient qui indique, combien de fois fa pesanteur est contenue dans la force P. Or P dépendant de la distance, il y aura nécessairement une distance f, à. laquelle P est égale à l’accélération de la pe- •

santeur, ou Pzri. En faisant donc rrzzf 27. (8)), go. aura P — i,

Cm/*, A~fVgc, P n: — , ou en nommant p l’accélération de la pesanteur,/>: P :: r* ^Si l’on désigne par P', ce que devient P, lorsque 1% distance r est égale au demi-diamètre de la terre f, la proportion precedente deviendra p : l*' ce qui est en môme tems le rapport de l’intensité

de la pesanteur à celle 'de la force centrale du soleil, parce que p, P', sont leurs accélérations à la même distance p. La grandeur absolue de l'atlraplion du soleil, la pesanteur étant prise pour unité, est donc = - t)U y % la demi-diamètre de la terre p étant l’unité des distances! En nommant donc

M *la Torre olmolut (lu corps cenlr>l, on aura — Mcÿ. Cela Joa*

liera l'aire du ardeur tiéci il aulour -lu soleil dans He lenis l, Sz; — / vS-

8 = - y Mr^.

Soit T' le lems, d’une révoluliun d'une planète, E Paire de son orbite entière, irz^d, i4 • • . le rapport de U deini circonr^rence au rayon: on aura

, .aSaESTraJi.

E:S: :T:^ parlant A

» air'o’e ,, , air’a*

tons tes lems étant expiiniés en secondes, et toules les li((nes (a, g,'^ en

rayons de la terre. Si l'on prend pour exemple la parallaxe du soleil =: 8'' ,6>

Pannéft si 'é'ale rz .1^5, aâ6t8J5' jours, on aura T — 3i558i5i,5 sec.; a

coidhg 8",6“a3984; g à peu près :r > psrla»! M — 355491; c'est-à-dire,

l'intensilé de la force cenlrolè du soleil est presejue afîoooo fois plus grande

que celle de la terre. •

J. 29, La dernière équation donne ^ zz “ ^ • d’où il suit que, si M

ne cbange pas, c’esl-à dire pour tous les mobiles qui circulent autour d’un

cqmmun corps central, est une quantité conslanlè, et que par conséquent

les carrés des révolutions des planètes autour du soleil sont proportionnels

aux cubes des grands axes de leurs orbites. La troisième loi de Kepler est

donc une toile immédiate' de la loi de l'attraction du soleil, découverte par

Newton, s’il est permis de l'étendre d'une planète à .l'autre: car c’est ce

que nous avons^fail, en supposant dans l’équation P^-,, rz^J'el rzz; ($. 28.). Soient r, 'r*, les distantes aphélies et périhélies de la terre au soleil, et désignons par s, s', les niéines quantités relatives à Jupiter, par P, P', Q, (y, les forces centrales que le soleil exerce dans ces distances: cela posé, il a été prouvé §. 27.), que P;P;:r'^:r* et (,) rQ' .: : s*;

■tais il n’est pas permis d’en conclure la proportion P;Q::s'^:r'^ (juc nous avons supposée tacitenieot. Il s'en suit seulement, que Jupiter décrif uhe ellipse suivant la même loi que la terre; mais il n'en aqil pas, que cette ellipse est de la même grandeur qu’elle aurait, si la force Q qui agit sur Jupiter^à une distance cinq -fois plus grande, était la 25>"* partie de la force P qu! agit sur la leire. Cette question ne peut éire décidée que pr la comparaison de la gtantfear ou des axes des deux ellipses avec la vitesse, par le rapport qui, cuutbrmémcnt aux observations, a lieu entre les ditlëreutes orbite»

autour du m?me corps central, enfin par la troisièmo loi do Kepler, qui réunit ces orbites, malgré le grand intervalle- qui Jes sépare. La première loi de Kepler donne le résultat (§. u^.), que la force, en vertu de laquelle ^sJiaque planète décrit son ellipse^ cst- l’^j^,^: en marquant ^dnne d’un

trait les quantités retalives à une autre orbite, on aura P'=: rîv-v;:i P^r-

tant P ; P': ; • I-" secoiuio loi de Kepler ^§.' 20.) nouj fournil les

aS‘

équations A , A';::—, ou qn égalant les secleurs S, S', aux aires des ellipses entières E, E', et nommant T, T', les révolutions,

Mais E = iroi, 'E' — irc/b', donc A:=— A' ~ — ;p— ,

et

A’ fl ~b'

Or la troisième loi de Kepler donne : T'* : : -• d’où l'on lire

-6î-.= rF» ’ " r.-- r-*

Il est donc prouvé par les observations de Kepler, que la loi de Newton, suivant laquelle la force cedlripfclc du soleil est en raison inveise des car» rés des distances, a lieu dans toute l'étendue de l'univers, et pour toutes les distances, d'une orbite planétaire à l'autre.

$. 3o. Il eu suit de plus, que les secteurs S, S', que deux planètes quelconques décrivent autour du soleil <lans le meme lems f, sont proportionnels aux racines carrées des paramètres de leurs orbites, En ellètcDa

vu que czr— . "Or T : T' a Va ; o' Va' suivant la troisième loi de Kepler, donc

rapport qui a lieu dans toutes les sections coniques; ce qui suit Immédiatement de la seconde .loi ’de Kepler, S : S' AI ■. fi' l' , en y substiluaut A — VMsc et A' = VMge' (§. 28.), parce qu’il est prouvé par la troisième loi de Kepler, que M a la même valeur pour toufes les orbites: les secteurs,

décrits autour du soleil dans dilTérentes orbites et en.diû'ércns tems, sont par 'conséquent comme ces tems et comme les racines des paramètres,

S :S'::/Vc:/'V/.