LIVRE V, CHAP. vm

S- a46- Le mouvemenl des noeuds étant connu, il psI aisé d’en conclure U variation de l'inclinaison. Si l’on nomme \j/ la latitude de lu lune, TI l’inclinaison, t su lanf-enlp, on a langxl/rrttsin £— Q), dont la dilTéienlipIle est

C ‘ ' ^ ^ ^ (C- n) + d J sin (£- Q) « .a cj cos - Q).

Comme celte équation doit également avoir lieu, si la perlarbalion est nulle, et que dans ce cas on a d . lang 4/ rr > . rf £ cos (£ — Q), il en suil d »

-J- a . log » = dQ col (£ — o\

Si on substitue d Q = — cos 4) sin a sin >. (§. a^S.), on aura

a . log « = — ^ sin oc cos X cos 41 z= - (,in „ 4. » x -f- lin 1 4>),

et en intégrant, par ce qui précède (5. ?4j-),

H étant l’inclinaison moyenne. 11 vient de là

~ 549i'co8 aa -|-43r''cos a\ — 468’coa a4ir=S.

Or S étant un nombre qui ne surpasse jamais o,o3 , on a, par la théorie de* logarithmes == i -f-S à Ircs peu près, ou lang, =(, 4. S) lang H. En nommant donc u la correction de l’inclinaiaon, ensorle que on aura

‘•”6 = ('g H + ") t- w «g H) = tang H -f £*

Si on compare cette valeur avec la précédente, tang,=f,4S3iangH, il viendra U == S sin H cos H == * S sin a U.

Or H = 5-8' i6" (II. g. ao6 ), donc ^ sin a II =: o,o8g33i d'où l’on tirera eu = 49’>" cos a (O - Q) -f 3b' cos a (£ Q) 4, ' eus a (£ Q), ou suivant Euler,

U = 4"4" cos a (O — Q) -f 3Ô'' COI 2 (£ — O) 48" cos » (£ — O)- Si Ion Tait abstraction des petites oscillations qui, en se rétablissant dans chaque mois , prennent la forme de' petilea correclioua de la latitude (g. a43.), on a pour les variations de l'inclinaisoa, qui ont l’année pour période, w = 4go" cos a tO — O),

4<s ASTRONOMIE PHYSIQUE

doù l'on conclura cf qui »uit. L'inclinaison a la valeur n:oyrnne 5“8'4<»", le aolril étant à la diaiaoce de 4^* d'un drs tiuruiU: rite a sa plus giande valeur, 5° 16'. '6', lorsque le aolril est dans la ligne (]ca noeuds; elle est un

minimum, îi* J j6*, si la distance do soleil aux noeuds est de ijo". C’est parfaitement d'accord avec les oliservaiions modernes (11. §. au6.).

$ ï47' l'B perturbation de la latitude est dunoce par Ica deux derniers termes de l’équation (1) (5. où il faut mettre la longitude corrigée de

la lune à la place de C > <1 I* longitude moyenne du noeud au lieu de Q.

Cela posé, on ad. tang \|/, ou

d4>:=dlsinX — tàQ cot X, 9j=langsi — tangH = tS (§. a46.), dR=5 .tyi" sin aa 4l>'sin SX -|- 4(>d' sin (§. aiS.), partant d'I' — f • S4qi" (’in X cos ax — eus X sin sa;

-j- #.431" (»in ^ «os aX — cos X sin a X) — « .468'' (sin X cos a$ cos X sin a$) — t . 5959'' .sin (X — a a) — it . 4 1 •” sin X.

Le dernier terme appartient à l'équation, tgd' = tsinX; il doit donc être compris dans l’inclinaison moyenne, déterminée par observation. Il ne reste donc que le premier terme, où ayant substitué i — tang H = 0,09; il viendra

3 «)/ = 5 36' sin (C — a O + 0^

Celle inégalité, la plus grande de toutes, est renfermée dans la Tab. XXXVIII. de M. Biirg, où on l'a faite =5s!*sin(C — a Q -|- Q) (11. §. ao-j). L’enar-mhle des autres équations de la latitude de la lune est environ la neuvième partie de celle-ci: on les trouverait de la même manière, par les autres termes de d{2, que nous avons négligés ici.

$. a48. Comme la théorie de* perturbations que la lune éprouve par faction du soleil , n'est qu’une application du problème de* trois corps , il paruU que le* formule* précédente*, dont nous nous somme* servi* pour développer les perturbations des planètes , sufliront aussi pour la lune. Si l’on fiit le* moyenne* parallaxe* de la lune s'', du soleil =^8”,6; on aura ($.171'}

a = = o,ooa5o6£6; ce qui donne ($. 1;* )

A = a,oooo3i34; A' = — o,ooaSo6556; a.oooolog;

On a de plus , le moyen mouvement de la lune pour la quatrième partie d'une année, — =4^^>4<>u"> l'on tirera, en faiiant ni’::=.35479') ($■ •• XV.)

le mouvement annuel des noeuds — — ^ — ^î6o3'',8;

et par rapport aux points équinoxiaux == — 20° io'lj4'i oe qui est de 5u'a3' jilus grand que celui donné par les observations.

La variation séculaire de l'inrlinaison est nulle (S. ato. XIV.), parce* que i' est nul: l'inclinaison de l'orbite lunaire n'est donc assujétie qu'à des cbangemens périodiques. Il en est de même de l'excentricité, parceque l'ar* gument rs' — m fait une révolution entière en neuf ans. Le moyen mouvement des apsides est suivant ces formules ($. aïo. XVII.)= - de la même

grandeur que celui des noeuds, au lieu que, suivant les observations , il est deux fois plus grand. Celte erreur prouve que la méthode précédente ne suffit pas pour la lune; ce qui engagea les astronomes è chenher de nouvelles méthodes. Les difficultés, propres h la lune, résultent du grand nombre de ses inégalités, qui sont assés grandes, pour influer sensiblement les unes sur les autres, en changeant mutuellement leurs argumens, et' de ce que les séries qui les donnent, ne sont pas aussi convergentes, que le suppose la méthode précédente. Nous lâcherons donc de donner un aperçu de U méthode, par laquelle M. de Laplace est parvenu à découvrir les plus petites inégalités de la lune; mais nous exposerons préalablement une méthode très-simple, par laquelle on peut déterminer è peu près les équations annuelle et séculaire de la lune.

§. 24g* L'expression de la force centrale , N = ^ ~a a*

($. 24*0> ''OU* apprend, qu'en faisant abstraction de ses modifications périodiques, la lune éprouve par l'action du soleil, une diminution constante de sa pesanteur vers la terre, qui est Si on désigne par T, /, les duréés de l’année et du mois, les masses de la terre et du soleil seront dans le rapport 1 : O" • ' 7s uinsi la forcv centrale, qui fait décrire à la lune une ellipse

ï ® g çj y

pai faite, sera — — — faisant donc le demi - diamètre de l’orbite de la terre, o=i-|-$, la pesanteur moyenne de la lune vers la terre, qui aurait

lieu <ans les perh<' bâtions du soleil, sera Vzr «"‘i et aa diminulion moyen*

ne, V— — = ^ (i+Çj" » ou en substituant - =\S;d-], -jj ='79i

ASTRONOMIE PHYSIQUE

Ainsi l'aclion du soleil diminue la pesaiileur moyenne de la lune de sa 358»>f partie, abstraction fuite de rcxceutricilé des deux orbites. 11 est aisé de voir, que la distance de la lune à la terre, jr, sera augmentée dans le même rapport, ensorte que dy — et ^ ~ d’où il résulte que l’orbite de la lune est agrandie par l'attraction du soleil. Puisque lu direction des deux foices, V, r, passe par la terre, il en sera comme de toutes les forces centrales: en uommant donc à<^ l’angle que la lune décrit dans, le tems dt, on aura ($. 19. 111.)

o = parlant — — =— — = — i—

Comme nous négligeons ici l’excentricité de l’orbe lunaire, on a

Il étant la moyenne vitesse de la lune; d'où il viendra pour l’eflet de l'attra-

ctiOa du soleil,,

Il en naîtra une inégalité de la longitude de la lune, X— /dd$. Si on nomme Y l’excentricité de l’orbite de la terre, a l’anomalie moyenne du soleil, comptée du périgée, on a ($. 16g. Ce))

a~ I -f- ï — I -f- î — V cos a — I 7“ cos a a -|- cet. d'où il vient (1 -f- i — i-f3Y (cos o — T Y ï Y cos 2 a) -f- 6 Y* cos* c

= 1 £ Y® 4- 3 Y cos a -+- 1 Y® cos 2 a.

Soit m le moyen mouvement anomalistique du soleil,, ensorto qne dazz mBi

eu dr = cela posé on. aura. .

38$ — — (1 -•- * Y*) — (cos a -j- * Y cos 2 a)„

dbnt. l’intégrale donnera l’inégalité de la. longitude ,.

^iin a 7 sin 2 a).

£,e premier terme est une partie du moyen mouvement de la. lune n/: en efl'et c’est la diminution moyenne du mouvement de la lune,, laquelle fait, ainsi qu’on vient de le voir, la i7q^« partie du mouvement primitif, ou —

X<e second terme appartiendrait aussi au moyen mouvement, si Y avait une va-

leur confiante; mais l'eArrnlrici:^ i!b la terre étant altérée par l'aclidn des planètes, il en résultera une équation séculaire du moyen mouvement de la lune = — troisième terme donne Vét/uation uimucllc de la lune

Si l'on substitue — = i3,37j 7 r= — , ce terme deviendra

es qui est d’un huitième plus grand que suivant M. Uürg (11. 200.].

23u. Le second terme (§. v4<}-)

BOUS- apprend que la variation de re.vceiitricité de la terre- est la véiilable cause de l’équation séculaire du moyen mouvement de la lune, que les ubser* valions avaient indiquée depuis looglems (11. §. 190.). C'est à M. de La* place qu’on doit celte grande découverte, ainsi que tant d’autres. Il est re* marquable, que la variation de l'eacenlrioilé de l'orbite ten-eslre, s’est manifestée plutôt par son influence sur le mouvement do la lune que sur celui de la terre; la première ayant produit, depuis les lems les plus anciens, une augmentation de la longitude de la lune de deux degrés, tandis que la dernière n’a clrangé' l'équation- du centre de la terre que d'environ huit minutes. Si on désigne par I la valeur 0,01678 que l'excentricité de la terre avait à l’époque- 1800,, d’où l’on part, et par 7. sa valeur h une époque quelconque, on a-

d7 , f» day

= r ‘ i? + r fr.-»' '>* = r’ 4- - r - , 4-

di7\

dt»J’

Si t repréaente le nombre de aiècles- écoulés- depuia-l’époque 1800, -—sera

la variation, séculaire de l’excentricité, et nous avons liuuvé (§. ai4<)

— — 8",743o et r 0,016-8.

Les valeurs,. renfermées, dans la Tab'. XI. ($■ 327.) donnent, h l'aide de la formula XVI.. (§. aïo.), pour l’an aooo, — 8",864a; d’oii l’on tire

ASTRONOMIE PHYSIQUE “V* = r* — a < . o",i 4&7 1 — <* . o", 0006087,

= - + iîi • o".‘>«»o6o87,

oü il faut aubsliluer le mouvement séculaire de la lune, '

n =: i73a5644oo" — 8399,7,

Ainai, le premier terme étant une partie du moyen mouvemmit, on tore

=r t* . io'',3267 -f- . o",oi4'4‘*

Cette ealenr est peu différente de celle que M. de Laplaœ a trouréo par un calcul rigoureux et qui, étant convertie en aecondes sexagéiimalea, donne

to",i8 . o',oi8538.

S* aSi. Si l’on désigne par M, m, m’, lea maaaea de la terre, de la lune , et du aoleil , par x, y, m, et x, y', a', les coordonnées de la lune et du aoleil, rapportées au centre de la terre et k l’écliptique, par r, t', tes rayons vecteurs de la lune et du soleil, par ( la distance de la lune au soleil, et qu'on fasse dans les formules précédentes (S- >57. i58. iSg.),

B 1, et — i h Y - 9»

les équations I, II, III, ($. iSg.), deviendront

fjL. 9iy/iQ\ idz/iQ\

77^" ~ \TiJ* i f> — U yj> Tl* — U »)'

En nommant |l l'inclinaison do rayon vecteur r relativement au plan des X, y, ou Ia latitude de la lune, et v l'angle que se projection sur le même plan bit avec l’axe des x, ou la longitude de la lune, comptée de cet axe} on aura

(o) s = r sin P, y — r cos p sin v, x — r cos p cos v,

d’où l’on tirera en différentiant.

^ >ix , 3èy i3m Bir .Stl*

l * 77*- + ^ Tl* ‘ TÏT = ^ Trv “ 77*

^r -y r ^ ®8rdvoosp-2r9pdwsinp+rW»cosp}r

— cotp-y5f.tgp-*-,tRP=r»^.-t-r^

»(r-^cos*p) Bt à

(1) JUms. C0. ZtMM UI. st).

Si l'on diirdrenlie Q, d'abord par rapport & x, y, t, en substituant

*)*+(/— a)®, et ensuite par rapport & r, P, V, apiès avoir substitué les valeurs (a), il viendra

(®) 3{? = — — ^ (rdjT + jrdjr {xBx-^y’dyf-z'dt)

P Kc' — .v) dx-f fy — r) èy -f- (:' — a) d.};

-pî- dr- — dr-l- — - (XX' + y/ -y sa')

+ Qi — 7r) — ;r.) (^«inpcosv +/sin psin u — a'cosp).

La comparaison de ces deux valeurs de Q donnera

cl ? (g) - J. uns P (g) . I..J P (II) = (i|).

Si on substitue les valeurs (A) dans les équations (é), et qu’on les compare

avec les équations (a), on trouvera

(il: r lî’’ cos' a r /ao\.

/jf’ •It* ^ dr’ \dr/» ai — (du/>

dfî- *■“ P ‘=°* P + =>'• -dTï- = >

Regardant Q comme fonction de s=rtangp, et u = il faudra substituer

Si Ton observe que

dd. 1 — 3 ddrcos p — adrd p sin p — rddÿsin p — rdp* cos p,

et qu’un ajoute ensemble la première et la troisième des équalions (D), après les aiuir multipliées respectivement par — dl cos p et par sin p, il viendra

ASTRONOMIE PHYSIQUE

En lubsiiluunt r ~ —^ ■■-, dp — ds co»® p, ddp =: 33i«os® p — »3** «in p co*^ p, drzz ^ i— — , l« troilième de* 'équnliont (B) donnera

tt K'coip’ ’ ' '

® ^ (^») + îS - (’ + (^) (S)

Aü^V

^ en

Si l’on inll-gre la seconde des -équations -(B), après l'aroir multipliée ipar r*3 w cos® p — il viendra

A étant une -constante arbitraire; d’oA l'on .tirera d(.r= faisant pour abréger,

Substituons cette râleur de 3/ dans les équations (y) (g), et regardons maintenant du comme constante, ensortn que le tems l et tous les mouve* mens soient exprimés en fonctions de v. Cela posé -on aura

+ ") (’ + fÏW “ r» \ : (7?) Î-»

® = (fÿ + ") (' + 77)-+ (7?;] •

La première de ces équations donne le lems ou la longitude moyenne en fonction de la longitude vraie, et réciproquement. La seconde servira k déterminer le rayon vecteur *■ — I* parallaxe; et la troisième

donnera la tangente do la latitude, s.

§. sSa. Développons maintenant les quantités qui composent la foo* ction Q, en prenant' M -f- "> pour unité des masses, l'écliptique pour le plan des t, jr, et désignant par les mômes lettres, marquées d'un trait, toutes les quantités relatives au soleil. Cela posé on aura