CHAPITRE X

Réflexions générales sur la stabilité du système solaire,

$. 7’] U Le nombre des planètes, leur grandeur et masse, la position d’une orbite relativement aux autres, leurs écarts plus ou moins grands du cercle , etc. tout cela ensemble compose l’organisation individuelle de notre système planétaire, par laquelle le domaine du soleil se distingue de celui de chaque autre étoile. Il faut avouer que l'état actuel de l’astronomie est tel, que les découvertes pratiques et théoriques qui ont été laites dans cette science , sulEsent pour porter notre connaissance de cette organisation au plus haut degré de perfection, qui soit accessible aux habitans de la terre. Si, malgré cela , nous sommes encore bien loin d’une parfaite connaissance du système solaire, il faut l’attribuer à l’age trop récent des observations, à l'imperfection de nos organes et de nos instrumens , et au point de vue d’où nous observons. L’étendue des limites connues du système planétaire, qui a été agrandie au double par la découverte d’Uranus, cl le petit nombre des comètes qu’on a observées, par rapport à la multitude de celles qui décrivent probablement leurs orbites inconnues autour du soleil ; tout cela prouve, combien nous ignorons, non pas de l'univers, mais d’un seul chaînon de cette chaîne, du système solaire que nous habitons, et quel travail immense est réservé aux siècles à venir. Cependant le nombre des comètes observées suffit , pour nous donner une idée de la grandeur du système de ces corps; et les observations, réunies à la théorie de Kepler, ont dévoilé le détail du système planétaire avec une grande précision. Mais ce n’est que l’état actuel de ce système; et l’on sait que tous les élémens des orbites planétaires «ont plus ou moins altérés par les perturbations mutuelles des planètes. L'aslro-

nono philosophe sc proposera donc la qucsiicn inldrcssanlc, si l'ëtat actuel du système planétaire est stable; s’il cl’.angera indôGnimcnt , ou s’il ne fera que des oscillations entre des limites resserrées; ou en d'autres mots , si les lois physiques que l'Auteur do La nature lui a prescrites , sont telles , que la marclio de la grande machine ne pourra jamais Être dérangée , ou que cette machine se détruira clle-mênio , et finira par retomber dans le néant. Voilà des questions qui no peuvent être indillércutes h quiconque a eu l'occasion d’admirer l'arrangement sage, et la beauté métaphysique de la nature en grand; et un système d’astronomie ne pourra être terminé plus convenablement,

qu’en tirant du détail pénible du calcul de tous les mouvemens compliqués

des corps célestes, des résultats générau:c, également importans pour l’astronome et pour le philosophe, qui concernent la destinée de l’univers dans le cours éternel des tems. Ces résultats qui font l’objet du Chapitre présent , sont 'des suites immédiates du calcul des perturbations , qui a été développé jusqu'ici, ou plutôt des équations séculaires, les seules qui puissent produire des changemens perpétuels des orbites planétaires. Elles les produiraient même nécessairement , si c’étaient rigoureusement des équations séculaires. Ainsi cette recherche se réduit à décider la dernière question, ou à examiner avec soin la nature des équations séculaires.

§. 372. Suivant la nutation dont nous nous sommes servis jusqu’à présent, 7, 'V., 7', etc. sont les excentricités des planètes m, m', m", etc. f, s', etc. sont les tangentes de leurs inclinaisons sur l’écliptique, i3, <3', etc. J, J', etc. les longitudes de leurs périhélies et de leurs noeuds ascendans. Les quantités /t—ysîaa, /rr vcosro, A'=:7^8inro', etc. /irz^sinJ, i/rrScosJ, p'=«'sinJ', etc. i85. 187.), seraient donc constantes, si le mouvement des planètes autour du soleil n’était troublé par l’attraction des autres planètes. Mais comme celte attraction produit des variations des élémens 7, is, etc. dont les premiers termes sont proportionnels au tems, on aura

A zz (7 -f-tSy) sin (ta -h / J cj; =: 7 sin iSw) /Sy sin v3, etc. en négligeant le carré des variations, et l’on pourra donner au dernier terme la forme A.sino/. Il est donc à présumer, qu’en général les quantités /i, l,h% etc. auront la forme.

astronomie physique

h — K «in («-f-ort •+• (p+ A/) -)- cet.

lz=. A eo«(a-t-a/) 4-Bco$;P-|-6t;-|-cet. /i' = A’»in -foO +ce». et ainsi de suite. L’inlAgralion des diffiSrantielles des équations séculaires, que noua avons ifouvées précédemment , doivent vériCer ces formes. Pour exécuter celte inlégrsaion, nous suivrons la méthode de Lagrange, qoe ce grand géomèlre a développée dans sa Tkione du variations séculaires des éUmens

des Planètes ( ‘ ).

Si l’on fait pour abréger, ..

(“) I {“Jf r‘â' 1 ’(' + y - y

les formules X!V — XVII (§. aïo.) donneront, pour l'action de la planète m' sur m, f étant le nombre d'années,

-r[o . j —J—, - ;0 0-[oi] — - , - Co< ) — — , J, -(0i)l ^ y

d'od l'on tirera

a V.în a + 'V3 O c»« B ® 4 ; foO / Totl l' ■

— 'Vât'^ Jt l-J'

^ y =[üï]A'— (di)A, ^ =(oi) — 5^ — («>0(p — p')-

On aura dea expressions analogues pour l’action des autres planètes n/',m'", ett. Cela posé, si l’on désigne par (rs), [rs], et{sr), [srj, ce que deviennent (oi),- [oi], lorsqu'on considère l'action de la planète m* sur et de »!*■ sur m*, au lieu de l’action de m' sur m, et qu’on fasse pour abréger,-

(oi ) -|- (o*) + (*^) + ('^) "h — (’)»■

(ao) -|-(ai)-f (d3)-|-cet. =;(î), etc.

an aura, poirr faction de toutes les planètes, les équations suivantes:

!^‘=(u)/-roi]r-[oajr-i:o3y"-^et. J^=(,y-[.0]/-[.ay'-[i3]/*',

■f- t=(vX'-raoj/-[a, y- [;a3]/", = (3) f- [3o] /- [3. ] /'-[3a]/'j

Ü +[oiJA'+[o2]A"+[o3]A''', |^^r-(i)A'+[;.o]A+[ityr'’-+-[i3jV"j eta.

(l) ifoMAs de r^cvd üty . dg Berlin, A.nniê 4701. 17^»*

^r-’'o)y+'o0y'+{oï)7"+(o3)9'"+ cel. ^ z-(>V+(io)9+Jia)y"4-(i3)7",

'+C5ü),;+^ai V+(a3)/^ r=-(3V''+'3o>,+,3.),'^^^

—(o'p—'oiy—{02 p"—(o3:p"; ^ r=( I )p’-(t p>-( I a />"-( . 3y') ^Ic.

NolU n'avon* développé cpï équations que pour la combinaison de quatre planètes, m,m', m", m"', qui agissent l'nne sur l'autre, parcequ’il est aisé de voir la Forme des termes suivans, si l’on veut considérer l'action 'de plus de quatre planëtis'.

$. a^S. Il est visible que l'intégrale des équations (A) doit avoir eette forme,

il viendra

;o=Bx+[oV]B'4-[oa]r/'4.[o3JB"', o=BV+[ io]B-f ria]B"-f [iGJB*', o=B'V'-|faoJB-^[a»JB-f[23jB'", o±;B'"x^'+[3üjB+[3i JBV[3aJB".

Supposons'

fdS B' = — B', B ' = — B, B'" = — B.

Cela posé, lés trois premières des éqnatiotas FC) doiineroiit,- par les règles ordinaires' de l'éliaiination, en changeant les signes,

ÎNr[o3][ï2][2r)-(:oi3[ta][a3J-[02l[.3j[a.]+[oa]ta3]x'+roi][i3]x^-[o3>'x", M'=[o2'J[i3][2o]-^[oï]1;ioX23}— [o3][iaXao]-+<;i2][2rx+;(3jjo'x*'— [i3]xx", M'r^^oi] io][a33— ;'oi][i33[2Ô] — [oJ][iO][aj]-*f-'i3][2rx-f-[o3j[^ao]x' — ' a3]xx', M"' zt xx'x'-i-[ I a][2 — [o ' ][ '

Le calcul de ces coeflBciens, ainsi’ que de ceux qni Suivront, sera singulièrement simplifié par l'obserVation suivante. Quand on a calculé les coeliicienS (oi), [o>3, (oa), etc. qui se rapportent è l’action des planètes etc. sur

m, il est aisé d’en conclure les coefficieas (lu), [ro], (ao}, etc. relatifs à la

4g« A s T R 0 N 0 M I E P II Y <V1 Q U E

réaction de la planète m sur m, m'' , etc. En désignant par *c^'^ U valeur

de e^'^, relative à la réaction de m sur m', on a (g. I7.}-)

Ainsi les formules (o) (g. 273.) donneront • •

. N' O NVm, . r -I N' < / . N'a'n

Mais on a, suivant la troisième loi de Kepler, ^ = (p)^’ résultent les relations suivantes: ' '

, \ c(oi)mVa=(io''m'Va', l'o’t)/nYaz:z(so)m"Ya", (iâ)/»A'^a'— ési''o/'V',/',

fet en général, (rsi m'" Va^ :z: (sr) m’Yu^, [rs'j tn’’ Ya*" — [.trj Ya‘; les lettres r, s, désignant des traits, et non des puissances. Ainsi on trouvera que les deux derniers termes de M'' sont identiques.

Maintenant si l'on substitue dans la quatrième des équations (C), les valeurs (J) (c) de B', B", B'" , et x, x , a' , x''', on la transformera , après l'avoir divisée par B, en

(E) O r=i+ — CP -I- DP — Ei -V F,

et l'on trouvera

D=(o)(i)[oi][iol-}l(o)(îj— [oaXîo^-K. ),J)-Co3][3o^(.Xs)-[ia][>0

+ (0(3)-n3j[3.3 + (-.)(J;-[aJ][3>i,

E=(o)(i)(a)— 2[oi J[n [ao’+C X')(3)— aL°']L*3l[3o .+(r0('),3l— 3[oal[a3][3o] (i)(,3,-2[>a][a3][3i]-{ i>)+i.'/Ka3X3a]-{(o>Haj},.i3il.3i,-^ii.)4-;,3 J[jaXsO - {(O + C-X [o3JL3o]- KO-|-( :X Coa][3o]~ K>)-I-(^X CoOC-o],

F = (o) (0 fi) (3 -1- [o I ] [ 1 o][a3J [3aJ [oa][ao] [ 1 3] l3 1 j -t~ [o3] [3o] [s j][2 1 ]

— (o(')[a3X3aH‘'X2)[*3][3iHoj(3)['ajraiH‘Xa)[o3]£3oJ-(.)(J)[o2][2o]

- (» (0[o0[-oJ - a(o)[i2][a3][3i] - 2 ( i)lo2.1[s3J[3o] - 2 (v;[oi][i3X3o]

— 2l3;[oi.[i2][aoJ — 2[oi][i2j[a3j^3oj — a^oaJ[iojl.a3X3iJ — 2[o3j[ia][ao][3i].

I.a solution de l'équation (E) donnera quatre racines que nous désignerons par é, 6j, b^, é,; et il est visible que l'élimination de B, B', etc. eût donné une équation du degré 1, si l'on eût combiné i planètes au lieu de 4. Ainsi les véritables intégrales de etc. seront ,

yr = B'sin(jî-l-AO+R', »in i3,-H./)+B'j »in(Pj-fA„0 + n'j »iD( (îj-f/y),

B'"sin(i3-^-A/^+B’'', sin((3,-|-i,/)+B"'j 8in(,3j-}'^i^/+B"3 »in(33+Aj<}.

Ces intégrales m changeront en l, ( , V , t“ , si on met les cosinus à la place (les sinus. Il y a donc pour quatre planètes i4 1 ^1 pour < planètes (i -f- 2) i quantités inconnues, h, p, B, B , B', B'", é,, p,, B,, etc. dont quatre ou 1 sont données par l'équation (£). Lrs équations tD) (<i) donnent i — 1 des indéterminées B, R, B", etc. et puisqu'il faut substituer pour b les 1 racines de l'équation fE), on aura (< — ■)(’ quantités. Il ne reste donc que ai inconnues qu'on déterminera par les observations. En etTet, soient 1', F, etc. M, II', etc. les valeurs de y, Y, etc. es, a', etc. que les observations ont données à une époque quelconque, d'où l'on compte le tems t. On en tirera

(a) r sin n = H, r cos II = L, T sin H' = H', F cos n'= L', etc.

Comme les équations (F) donnent également les valeurs de é = H, h'— H', etc. qui répondent à l'époque, ai l'on fait / = o, on aura les équations suivantes, dont le nombre est ai:

JII = B sin (3 4- B, sin (3, B^ sin p, Bj sin Pj cet.