V-t-'o3)rio)/'+(o»)( I oXaJHo’X '3;(ao)+fo3)( i o)(*o

\v"r('3\vy+'i 3)(i i>+(o3)( ioy +(oi)( 1 3X?,o)-{o I Xio)f* l)+{o3Xi o)(ai)k

( (« a) s I >— roï)r aoy — (o I )f 1 o)/.'-(o or I a)rao)-(o'’X ' o'{i i\ Si on substitue le* valeurs, donnée* par les formule* (/) Cf) (K), dans la der> nière des équations (J), elle prendra la forme

O =f^ + +^f^ 4- ïf + ?. el l’on trouveqi

® = (oHO - CoOuo) -+ foK?) — (os)[ao) -I- (o)^3) — fo3)(3o)

® — 3’)> ‘ î(2, — ')( ' a)''ao) f (o){ iX3) — î(m) i 3) 3o) o)(2) 3) — »(oa)(a3)r3o)

I + ^ ) (a) (3) - a ( . a) (a3) (3 0 - X°) + ( Of (>3) C3a) - ^o) 4- (• 3)(3 O

Kü3)»-<j)-K3)fCo?X^o)-{(a)+{3JKoi)(.o), 8 = 0.

Il suit de 8 = 0, qu’une des racines g est nulle, ce qui est d’ailleurs évident. Car à l’inspection seule des équations (J) on voit qu'on leur satisfaira, en sup> posant G = G' = G" = G'", et = (o), / = (0. /' = (*)i y"' ~ (3), ce qui revient à supposer f = o: car alors le premier terme de chaque équation est égal à la somme négative de tous les autres termes, parceque (o)~(oi)-i-(oa)+(o3), etc. On trouvera aussi L = K' = K" = K'", en faisant f = o dans leséqua* lions (K). Nous avons donc

(M) o=fî + Cf--|-!Df 4 «.

Si on désigne les racines de l’équation (M) parf,,f,, f|, il viendra

. c P = G sin n 4 G, sin (in, 4-^,r) + Gj sin (n, +g^0 4- Gj tin (>ij -\-g/)j

V=G*'"’>+G',»in(il,4fiO + G'jSinri|34f,/)4-G'j *in(il}4f A «'c*

On aura g, q, q", tf" , en changeant les sinus en cosinus. Si l'on subililuc successivement g,,gi,g}, pour g, dsns les équations (R), on trouvera

2üi £!!«• 9I3 9!Zi‘ £"3

ü7* ü.» "ô7' o7* (ii* Gi» ‘03* cj* oj.*

Le reste des inconnues, savoir vi,, t|^, '>]{, G, G,, G,, G;, sera déterminé par observation, ainsi qu'on l’a vu à l'égard des excentricités et des périgées ($. A7d.}< Cela posé on aura, pour un tems quelconque, etc. ce qui donnera

(O) -|- 9’, i'~ -f- (/', etc. tang. S— lang J' =: etc.

§. l’j'i. Il suit de ce qui précède, que les variations des ëlémens h,l,p,q, etc. ne sont que périodiques ou des oscillations, parceque les l'ormules que nous avons trouvées (F) (N), ne reurerment que des sinus ou cosinus. Les angles de ces sinus sont composés des quantités p,>), et b,g, etc. Les premières sont données par une équation linéaire de leur tangente: les angles (3, i), etc. sont donc toujours réels. Les dernières, b, g, sont données par les équations (£) (M), lesquelles étant du degré i, pourront avoir des racines imaginaires; et dans ce cas les angles () -|- bl, etc. deviendraient imaginaires, ce qui indi> que des quantités e.\ponentielles , dans l'exposant desquelles entre le tems t, et qui, par conséquent, au lieu d’être périodiques, changeront h l’inBoi avec le tems. Il suit de la théorie générale des racines algébriques, que deux racines, avant d’être imaginaires, deviennent nécessairement égales; et l’on sait que, dans ce cas, les sinus se changent en arcs de cercle, qui croîtront aussi à l’inGni. On voit donc, que les variations des élémens ne seront pas pério* diques, qu’au contraire la nature des orbites sera è la longue entièrepient changée, et la stabilité du système planétaire détruite, lorsque les équations (E) (.M) ont des racines imaginaires ou égales. Il est donc très- important, d’examiner, si quelques racines de ces équations peuvent devenir égales. Il est vrai qu'il serait fort dilhcile de juger a priori de la qualité de ces racines. Mais on veria par le calcul numérique, que les racines des équations (E)(M), qui résultent de la combinaison de toutes les planètes connues, sont trop diflé* rentes entre elles, pour qu’elles puissent devenir égales, et encore moins imagiuaires , par un petit changement de leurs coelliciens. Or ces coelliciens, (ni), foi], (os), etc. sont des fonctions des moyens mouvemens et des masses des planètes ($. <171. (»)), et les premiers sont connus avec une grande précision. Les masses sont moins certaines; mais cette incertitude regarde prin> cipalcment les petites masses de Vénus, Mercure, et Mars: l'égalité de deux