VI. 19.) deviendra— — ■ ” r* <f
êr r . (
. -I- A ry B
àr
. , ae\
■ r' -h Zat — ;
Mais on a dans rellîj)Jîe (Ç, 517. (5)), en mcllant — au Heu de
Si l’on suppose o infini, l’équalion (a) est celle de la parabole; el si a est
négatif, elle donne fhyperbole; ensorle que {ri) est l’équation génér.ile des sections coniques. Il est vi.iible, que les équations (i) et (a) sont identiques, si fon fait j
(3) ac=--, azz-j^, parlant c= —i •
Il s'en suit que les orbites, décrites en vertu d’une forciî centrale qui est réciproque au carré de la distance, sont nécessairement des sections coniques, dont le foyer est occupé par le corps ceulral; et les équations (3; serviront à distinguer 1rs cas, où l’oihite séta uirc cIlip’Sc, hyperbole, ou parabole. ’ I.S;-
quation 0=:—- nous apprend, que le grand axe, ainsi que le paramètre, ne dépend pas seulement de I intensité f~ de la luice, mais aussi de U, constante arbitraire que lus observations seules peuvent nous fuite TOau.iîire.
^ Cette constante B, qui dépend des circonstances accidentelles, Huxqi,ellet lo mouvement a été'assujclii au moment de son oiigine ou à une époque qucU conque, servira & déleiminer la nature de l’oibite, qui sera une ellipse, hyperbole, ou parabole, selon que B est positif, négatif, ou nul. Le paramètre « dépend do la constante A, et A::= — ne peut être connu que par observation. On a donc pour les diverses sections coniques,
A l-'ae
.Ellipse, ^ =
Hyperbole, — :
(6) l’urahale, — =
■ r .y »■“ -+4 Cd * r — A’I
>-.yv»sd'
' y ^ — 2 r*-r-4 nr — nr,’ y a e
r.y[3 r^-t-4 a r — «el*
ye
TTrrr-
str a b
Sî Ton substitue (3) A—y'Vge dans l'cquatlon T— — ^ — (§. 29*), ^ étant y ^ (S- >7' CO), on aura
En Dommânt n l’angle que l’astre décrit en une seconde par sa vitesse moyenne, on aura n — ^, T étant exprimé en secondes, donc
(9) f=:ny
En marquant d’un trait les mêmes quantités, relatives à une autre planète, ou k un autre corps central, on aura
(1 .) T :r : : aVu-.a'Vt/ (t >) " n»a3; n'*o'
d.n'SVJ
L’équation (ii) sçrt ii comparer les révolutions et les tpoyens mouvetnens de deux astres qui décrivent, autour du même corps central, des ellipses dont les grands axes sont an et aa'; à l’aide de l’équation (la)on pourra comparer les forces centrales de divers corps entourés de satellites, dont les distances o. II', et les révolutions T, T', ou les moyens mouvemens n, sont connus
par observation. Pour un commun corps central ~ ufi
<tl un» quantité constante. H s’en suit
w> ASTHONOMIE PHYSIQUE
$. 33. Il suit donc de la loi de la force centrale, que l'orbite doit nécessairement être une section conique; que la loi, suivant laquelle la planète décrit son oibile, est donnée par la constante A; que le paramètre*
de la courbe dépend de la Constante A et de l’intCnsité de 'la force et que l'espèce dé la section conique est déterminée par la constante B qui dépend dea circonstances accidentelles du mouvement, ou des constantes ai bitraires qui entrent toujours dans la solution des problèmes, donnés par des équations diHérentielles. Une dé ces circonstances accidentelles est la direction et la vitesse que la planète a eues dans un point quelconque de son oibite: car suivant la loi d’iaerlic, on peut indilféremmenl lui attribuer l’état du repos, ou un mouvement rectiligne el nniibriné. Cet étal, soit qu’il dépende de l'origine de son existence, on d'une impulsion inconnue, ne peut donc pas être déteiminé par la nature dn problème; et cependant il doit nécessairement modiScr le moiivemenl de la planète pour l'éternité, quelles que soient les forces .qui agiront sur elle. Connaissant donc le mouvement actuel du corps, el les forces dont il est sollicité, on pourra déterminer la direction et la vitesse qu'il a eues dans un point quelconque, et d’où dépend la constante B. Chaque point de l'orbite peut servir è celtn détermination; mais comme il suit de la nature des sections coniques, que la direction du mouvement est perpendiculaire au rajon vecteur dans deux points de l'orbile, il sera plus commode, de choisir fun de ces points, et principalement le périhélie, également applicable à l’byperbole el la parabole: alors on n’aura besoin que de déterminer la vitesse, la diirclion étant donnée.
La vitesse v est en général i€. 13.) — — ^
® ' <yf ot it
(5- >9-) + '9- V.). Si l’on y substitue -f^=z
— B — 4é’/P dr = — B — l) ^S• 3a. (3)), on aura -
La vitesse est donc nn maximum', lorque r est un minimum, et réciproquement: elle est donc on maximum dans le périhélie, un minimum dans Vaphélig, En faisant r~a — c, on aura pour le péribélio, et en substituant c — Vla*
f zz — -'^—(3) on aura J*S ^
'Si l'on nomme la distance périhélie, on a p'—a —e, ce qui change la dernière équation en
Le carré de Y (a* — — ) = o — p' donne a— — , et en substituant v'»p'» , V »/ 4P'-*’
'“47^PV**
d'où il suit que la nature de la section conique dépend de la vitesse v’, avec laijuelle la planète a passé par le périhélie. L'orbite sera une parabole, si cette vitesse est égale h a/ Vj, ; elle sera une hyperbole ou une ellipse, selon que v' e^t plus ou moins grande que a/V Nous voyons par là, que les hypeiboles et les ellipses sont également possibles, avec celte diirérence, que l'Iiypeibule suppose une plus grande vitesse que l'ellipse. La parabole est infiniment moins probable que les deux autres sections coniques, parce qu’elle suppose un cas unique, l'égalité exacte de v' — a/'V®j. Pour peu que la vitesse soit plus ou moins grande que cette limite, la parabole se Iransroimera en hyperbole ou en ellipse. Il en est do même du cercle qui suppose aussi uue égalité patlàite, savoir v' ■zzJ’V -p- , ce q^i'il est aisé de voir, en faisant a—p' dans l'équation (4 . Il s'en suit, que les vitesses de deux astres qui partent de la mémo distance périhélie, pour décrire^ l’un une parabole, l'autre un cercle, doivent être entre elles comme a à Y i, ou comme Va à i. On voit en même tems, que la parabole est l'asymptote dont les ellipses fort excentriques approchent de plus en plut dans le périhélie: cette observation a été d'un grand usage dans la théorie des comètes.
On peut exprimer les conditions précédentes d’une autre manière.
Puisque , — :=P' sera la force accélératrice dans le périhélie, paris r*’ p *
tant '^,—P p. L'orbito sera donc une hyperbole ou une ellipse, selon que v’* est plus ou .moins grand que ^gp'P"} elle sera une parabole ou un cercle, si V ‘ est égal à ^gp'P ou à •Agp'P*. En nommant h la hauteur, due -à la vitesse tf i6.;, on a vf^z^^ghs d’où U suit que l'orbite sera une
58 ASTRONOMIE PHYSIQUE
hyperbole, si h'^p'V'\ une ellipse si /t<Zp'P', une parabole si h~p'V, et un cercle si h ~\-^p' P •• dans le dernier cas la hauteur due à la vitesse périhélie est au demi-rayon, comme la force centrale à la distance égale au ra^on est à la pesanteur. Au reste, il est visible, que le mouvement cir. culairo autour du 'corps central est toujunrs uniforme. L'aire du secteur est S—^Al: en nommant donc i farc, et (f l'angle au centre, que la planète a décrit dans le L’ms l, on a S~lp' s z:zfp^ i(), donc s — ^ et
(J; — — , p' étant le rayon: d’où il suit, que les uiouvemcns vrai et apparent sont proportionnels au teins.
^ L'équation (.1) ezz — nous apprend, que les paramètres de dilK-
rentes orbites, autour d’un commun centre, sont en raison composée des carrés des distances et des vilesses périhélies, et que, si les distances périhélies sont égales, les vitesses seront comme les racines des paramètres, quelle que soit la section conique Dans la parabole et dans le cercle on a e=:4<’' e~2p', partant p' — p'zz:—,^ . Les paramètres et les distances pé-
rihélies de CCS deux sections coniques seront dont réciproques au carré de la vitesse. Si l'on suppose les vilesses égales, la première valeur de p' sera le double de la seconde ce qui veut dire que , si deux astres passent par leur périhélie avec la meme vitesse, l’un décrivant une parabole, l'autre un cercle, I4 distance périhélie du premier doit être deux fois plus grande que celle du dernier.
§. 34. L’ellipse qui est proprement l’objet de nos observations et de nos calculs, mérite une attention particulière. Si l’on nomme p" et v’’ bt distance et la vitesse aphélies, on aura p"z::a-\-c, donc (5* (0)
. 4ey* (a-r-c) ,
En comparant cela avec l’équation v'^ :
(§. 33.), on Irourera
Les vilesses dans les apsides sont donc réciproques aux distances; et c’est
dans ces points seuls que ce fbpport a lieu: car l'équation (1) ($■ 33.) nousa^
prend, qu'en général deux vitesses sont dans le rapport v':v"::'V — :V
Nous sommes entrés dans quelque détail relativement h celte matière, parce
qu’elle donne une preuve frappante, que l’erreur peut conduire i la vérité. Kepler étant convaincu par dea observations fuites dans les apsides, de la justesse du rapport u' : v" p ' : p' , il pensa que le même rapport devait avoir lieu dans tous les points de l'orbite; et c'est par cette erreur qu'il parvint à la découverte de sa i^conde loi (II. §. laa. ia5.), en y joignant une autre erreur qui compensa la première.
On a vu (§.' 33.) que l'orbite est une ellipse, si la planète a eu, dans un point quelconque M, une vitesse 1', perpendiculaire au rayon veoteur p ou r, qui était moindre que a /V j ou aVgl’p, le point .M étant le périliélie ou l'aphélie; car il est aisé do voir que, si o® est <4./" ^ ^ *era
aussi v' et v' étant tes vitesses, p et p' les distances péiihélies
et aphélies. Kn elTel, la proportion v' : v' x : p" : p' donne w"® = ^ d'où
il suit que u"=< ~,f,— • ^ P'“* que
Il reste donc à examiner, si le point M sera l'aphélie ou le périhélie, ou ce qui revient ou mênve, si p est plus ou moins grand que a. L’équation (i) y"3 — f*^ — —/V ‘Int't'® * — - ^ - . Or on n fl'' == U -f- c =:
,, I lî), d'où l’on tirera 0=:-^^ — , et en substituant la videur
~ \ airr’n" 4é’— e
prcce^lcnlc 4/^fi
On a donc généraiemeut •
— , équation toute semblable à (4) ($•
■as/’?
43’S — pu”
n étant la distance périhélie ou aphélie. Il s’en suit p— , donc
agy’ — au’
— azzza ^
d’üà*il csl aisé de conclure, que le point M sera Taphélie, si — ,
et le périhélie, si v'^fV — • On aurait pu tirer le même résultat de la
condition du cercle, v—fV — 33.); car il est visible, que la planète
s'éloignera du centre, ou que le point M sera le périliélic, si sa vitesse est 'plus grande que celle qui convient au ceicle, et que dans le cas contraire la planète s'approcliera du centre.
