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SL l'on nomme S le volume' de 1a couche, et t sa densité,. S- sera. 4 -va**,, et
d’oiL il suit que- chaque* point materiel P' est attiré pas une- couche sphériquevers le- centre seul, avec uiie Duree dont L'accélération est en raison directe de la masse- de- la. couche, el en raison inverse du carré do la distance de P eu centre de la couche; précisément comme si toute le masse allrscUiGe était séunie eu centre.
fio A s T R O N O M I E P H Y S I Q ü E
Si P est aussi une couche sphérique, chacun de se* éléraen* «era pUiré par la couche A D de la même manière, dont il ie serait, si toute la masse A D était réunie en Cj et l’effet doit être le même, si chaque élément de P attire la masse réunie en C «uivant la même loi, parce qu en verju de la 'réaction , ces deux attractions ne diffèrent l’une de l’autre qu'à l’égard de la direction. Mais alors on a le cas que nous venons de considérer: l’aUraction sé fera exactement, comme si la masse entière P était réunie au centre de la couche P. Il en résulte en général, que deux couchés sphériques d’une densité uniforme s’attirent réciproquement avec des forces, dont la résultante passe par les deux centres , et dont les accélérations sont en raison directe des niasses, et en raison inverse du carré de la distance; comme si chacune des deux masses était réunie dans son centre.
§. 46. Soit AD {lîg. 5.) une sphère d’une densité uniforme î, PD la droite qui joint le point allire P et le centre C, BE, ée, deux sphères décrites du centre C, leur différence infiniment petite BE — bc:zzS. Eu faisant CA=a, CP = r, CA = x, Bb=:dx, S sera. la différentielle de la sphère
6e, le point P sera attiré par la couche S vers le centre C seul, et son S
accélération sera (§. 45-). En substituant S=:4'"’^*^-» tS- 45.) > et
r* . 4.7rÿx®
Intégrant, on aura l’attraction de la sphère B£=:: — ^ , et en faisant x — a,
l’attiaction de la sphère AD,
. y 4-n-ÿg*
Le volume de la sphère est S rr | ir a^, d’où 'il vient . - ■
n suit des raisonnemens précéilens (■§. 45.), qu’il en e»l ée même, si P est ui;e sphère de la densité 6'. Deux sphères uniformes s’attireront réciproquement^ de la même manière, dont elles le feraient, si chaque masse était réunie dans son centre: les accélérations seront en raison directe de la massse attraclrice et en raison inverse du carré de la distance; et la résultante de toutes le* attraction* sera dirigée vers le centre de la masse attractrice. Les vitesses communiquées aux deux sphères S et S seront entre elles
comme Z et S, elles approcheront l’une de Faulre avec la vitesse — j- , la
pression de chaque sphère vers le centre de l’autre sera , et la quantité
. <îu mouvement entier •
• $. 47* Si ‘dessité de chaque sphère est la meme fonction de la
distance au centre dans toute l'étendue de la sphère, on peut concevoir les sphères A, B, partagées en couches sphériques infiniment minces, dont chacune aura une densité uniforme qui est fonction du. rayon, et par consé* quant attirera les couches de l’autre sphère avec une force — , dirigée vers le centre (§. 4^.), S étant la masse de la couche attractrice, et ^ la distance
des deqx centres. Comme la distance des couches à leur centre n’entre pas
dans cette expression, on aura, en nommant S', S', etc. les' masses des difTé* rentes couches, la force totale qui attire B vers le centre de A, — V;
S S' cet. étant la masse totale de la sp^^^re A,' qui est trouvée par l’intégration , la densité étant donnée en fonction de la distance au centre. 11 est aisé de voir que la somme do la série S cet. sera le volumc.de la sphère A, multiplié par un nombre qui exprime la densité mo3'enne, et qui est déterminé par la loi, suivant laquelle la densité dépend de la distance du centre. Comme il en est de même de la sphère B, il en suit, que chaque sphère A attire une autre B avec la force — , dirigée vers son centre,
exactement comme si les masses étaient réunies au centre. La vitesse avec
A + fl
laquelle les sphères approcheront l’une de l’autre, sera — — , et la quantité du mouvement entier ——
En supposant donc, que la figure du soleil et des planètes est sphérique, et que la densité de chaque couche est une fonction du raj'on, il a été prouvé , que le mouvement sera tel qu’il serait , si les centres seuls s’attiraient réciproquement; le centre de chaque planète décrira, suivant les lois de Kepler, une section conique dont le fo}'er est le centre du soleil; et dans toutes les recherches suivantes on n’a à considérer que les centres, et les masses réunies dans ces centres: la première question (§. 4<>0 a donc été décidée. On pourrait demander, si la densité irrégulière des corps célestes, et leur figure non-sphérique, ne dérangent pas le mouvement elliptique; mais cette question ne peut pas être décidés par la théorie, parce que nous ne connaissons pas la loi de leur dénsité. Il est possible que quelques irrégularités qu’on a observées dans le mouvement, et que la théorie de l’at-
(I) Ktut. Phll. Ad/. Princ. Math. Lib. J. Stet. XII. el Lit. JIJ. Prop. XtlIL Xl.yilh
8* .ASTRONOMIE PHYSIQUE
traction n’esplique pas entièrement , en sont l’ellelii, mais ces perturbations doivent être très-petites, et celles qui dépendent de la densité, ne pourront * être déterminées qu' empiriquement (' ), Au rMte, M. de Laplace a tenu compte des irrégularités lunaires, dues à la non-spLéricité, et il les a trouvées peu sensibles (‘).
S- Un peut être curieux de savoir, si la -propriété remarquable
des sphères, d’agir sur tous les corps, comme ai leurs masses étaient réunies à leurs centres, peut avoir lieu dans d'autres lui.x, où l'attraction est repré-‘ tentée par une fonction quelconque de la distance — 4-)i que
nous désignerons par <|> (s). On a vu (§. 4^-) que l'attraction suivant PM est airi e . C D . Di . a (s), d’où il résulte l’attraction -vers le centre
air ît .CD . Hi . Pf»
PH
- ^ (s), donc
ô V " STÎ taix
Si l'on dilTérentic o)~-i-3rx par rapport à r, on trouvera —
^r~~- en substituant cette valeur et ^5. 45.), il viendra
■ a V az: airfio ^ (s) 3s.
Mais on a
i^av
d’où l'on tirera, en intégrant et faisant Si Ton fait fidz'./(z)z:z^{z), il viendra
(K) " 'K^) = » '- ( ~ = ("ir -) •
CO V = 2Tora^ —
donc
L'intégcale doit ètse prise depuis a=PA=:r — a jusqu’à d’où il suit
(I) Voy. te ra^niotre ds L. Kulrr, J* ptrturb, mcttas Jfluneî* r/c. dan* tel Siot>. CotnmtM. -i-r.
St- lmp. Pttrop. 'Vom*
(g) Mumn. ctl. Tvn. III. i. Ftl. Ch. O.
rz a "Tri £ a j —
ce quî, par hypothèse, doit être dgal à raltraclion de la masse /^'irSsû^, réunie au centre, ou à 4'»'’Σ (J) (r). On aura donc
(3) .... ^ d — — ■ —O — ^ — “ sa . (|; (r) dr.
En intégrant par rapport à r, ^el faisant pour abréger, \j'(r -}-«)— », — c):
? — <r — R, Véquation (3) se transformera en
(4) R zz a«r/(P (r) dr-f- rC,
C étant une fonction de a. Si on ditférentie deux fois par rapport à r et a, ou trouvera(^^=4».$(r) + »or(i:|^'), Mai. oo .
m - m- 'm =- ir:)’ (^)= (tX^- ■ &r0 (^). .-o-
d’où il suit que le premier membre est une fonction de a seul. Si Ton désigne cette •fonction par A, on aura, en multipliant l’équfrHon ^5) par r'dr, a(p(r).rd/- -|- . cp (r) —-Ar^dr, dont l'intégrale est- . <p (r) — ^ -j- B, ou la
fonction cherchée
Le terme — *r donnerait une attraction, croissante à 1 infini avec la distance,
ce qui est absurde. Il faut donc faire A zz o, et alors l’équation <p (r)zz — .
donne la loi de la nature; d'où il résulte que dans le nombre infini des lois,
suivant lesquelles l’attraction devient insensible à de grandes, distances, la
raison inverse du carré .de la distance est la seule, dans laquelle ies sphères
agissent, comme si leurs masses étaient réunies h leurs centres.
C'est encore la seule loi, dans laquelle un corps placé au-dedans d’une couche sphérique est également attiré de toutes parts, et reste par conséquent en repos ou en é<]uilibrc. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas d’un corps intérieur, on n’a qu’à supposer r plus petit que a, ce qui ne
change rien dans l’expreAsloa (i) de V. O
un a — — — J ~ O, el en intégrant pa ditTérentielle seconde donnera — (
donnera, en substituant d .y (a) = $ (a) c O =: a ^ (s) d a -+ SI on l'intègre, après l'avoir multiplié pa • ^ a* . <}) ^a) = B, ou
ce qui est la loi de la nature.
On voit dune que, sous tous les plus vraisemblable, et la seule qui soit < commun ($. 3i.}.
t*I V R E III, C H A P. III.
