LIVRE III, C H A P. III. Qi

en substituant dans le dernier terme X au lieu de x—X.-\-u. Il en sbit (D)

^ 3 m X ( X II + Y V + 7. to)

if, ^ -f + Z . Tmw),

P = ^, Smjc,

et par les équations (B), P =

etc. Les forces accélératrices qui

sollicitent le centre de gravité suivant — X, — Y, — Z, sont donc

SI “K”’ M "ïv* * Sr "hT**

Si le corps S agissait immédiatement sur le centre de gravité, auquel la

masse du système entier serait réunie, la pression suivant ZA serait

d’où résulteraient les pressions — , etc. suivant XA=: — X, etc. donc S.X ^

les forces accélératrices -|^, etc. Il en suit que, si des forces étrangères agissent sur les divers ëlémens d'un système, le mouvement du centre de

gravité du système se fera e.xactement, comme s'il était seul sollicité par les forces élrangèies, toute la masse du système étant réunie au centre de gr». vité. Mais cela n'est eaact, que dans ia supposition que la distance du corps étranger est si grande par rapport au diamètre du système, qu’on peut négliger les puissances du diamètre plus élevées que la première. Il en suit, i) que les perturbations que par ex. la lune ou les satellites de Jupiter éprouvent par l'action du soleil ou d'une autre planète, ne peuvent résulter que du carré et des puissances plus élevées de la distance de la lune è la terre, divisée par la distance du soleil; a) que ce résultat extrêmement sim* pie, d'où dépendent l’ordre et l'harmonie des mouvemens planétaires, n’est dû qu'à l’arrangement arbitraire de notre système solaire, et qu'il peut exister des systèmes, où la même simplicité n'a point lieu.

Au reste il est aisé de voir, que le résultat sera le même dans telle

Eu faisant donc pour abréger, X u -|- Y v Z tv = U, on aura

parce que X, Y, Z, ont la même valeur relativement à tous les corps m. On en conclura, en vertu des équations (A) ($. Si.),

^ vl

jr-

/. 1 Xu+Yk+Zto\

ièir

Digflizçd,by

A s T R 0 N 0 f4 I E PHYSIQUE

P — r= = S ni X S/nxK" 5 ' ^

P ::^1 P 'ZZ s .Smx K" ~'-4-(n — l)S.îmiU. K"

Le deinier terme e»l égal au premier, multiplié par J or K étant

tupposé inGuiment plus grand que U, le dernier terme *era trè*> petit, à muins que n ne »oit un nombre immense; de sorte qu'on peut mettre X. à la place de x ^ X -|- t/, ce qui donnera

P = S.2mxK’*-‘ +(n — >)S.2mK’*-3.X(Xu + Yi> -f-Ziv). Puisque X, Y', Z, K* out la même valeur pour tous les corps m, on peut faire sortir ces coordonnées du signe S, d’où il viendra

P = S.K"-‘.Î OSK’r-^X { X. Zmu + Y’ .2 «i v-t-Z . Z//i tv p.

Or la propriété du centre de gravité donne (A) (B), ï/nuzzo, Zmv — o, Zrnu rro, 1- 2 'xrzM.X: on aura donc P S. M .X et les force*accélératrices du centre de gravité, qui résultent des forces étrangères,

r'=^=SXK"-V Q'=SYK“-', R' = SZK’‘-’.

]vX

Si le centre de gravité ^ renfermant fa masse entière du système, est sollici* té seul par le corps S, il éprouveia la pression S MK** suivaul Z A, dono suivant X, Y, Z. tes pressions SMXK»-’, SiMYX»”’, SMZK"-', doù lésultent les mêmes accélérations P', (/, R'i.

§. 53. En vertu de Ik gravitation universelle il est impossible, qu'un système de corps sait en repos; et puisque les systèmes les plus éloignés s’attirent réciproquement,, il est visible, que tout dans l'univers doit être en mouvement; mais dans tous ces mouvemens, les lois relatives au centre de

gravité, que nous venons de prouver, auront constamment ^eu. Deux corps isolés foinient, en vertu de leur attraction réciproque, un système, ainsi ijue la terre et la lune, le soleil et la terre, en faisant abstraction des perturbations. Dins un pareil cas, les deux corps doivent être en mouvemenf,. le corps central aussi bien que le satellite; car à la rigueur il uexiste point de corps central, à cause de la réaction’ mais le véiitabte centre du mouvement est le point qui est seul en repos, ce qui est le centre dé giarilé lie tous les corps. Si ce point a un muuveuient uniforme en ligne droite,.

te système entier, ou si l’on veut, la portion de l’espace absolu, qui est oc* oupëe par le système, aura le même mouvement; cet espace sera transporté comme une assiette, sur laquelle plusieurs toupies circulent,, sans être dérangées pur le commun mouvement. Dans cette portion ne l’espace le mouvement des divers corps se tait, comme si le centre de gravité était en repos; et leur mouvement nlatif, qui est le seul objet de l’astronomie, n'est point dérangé par le mouvement du centre de gravité. Quand on fait des recherches stir le mouvement des planètes autour du soleil, on ne demande pas,, si le soleil, et par conséquent tout le système solaire, a un mouvement de translation, qui peut être curviligne, s’il est dû à des forces étrangères. On peut donc regarder le centre de gravité comme un point Bxe , et commenteseul centre immobile du mouvement. Si deux corps s’attirent réciproquement, les orbites relatives qu’ils décrivent l’un autour de l'autre, aussi bien, que celles qu’ils décrivent autour du commun centre de gravité, doivent être semblables; les dernières étant en même tems Ics^ véritables orbites, si. le centre de gravité est en repos.

Puisque le centre de gravité C {tig. 6.) est constamment sur la droite SP ou TQ qui joint le» deux corps, ils doivent nécessairement décrire, autour de C de» angles égau.v SCT, PCQ, dans le même tems: leurs vitesses angulaires et leurs révxrlutions sont donc égales. D'ailleurs, en nommant 9t P, les deux masses, les distances seront toujours dans le même rapport,. GS-.CP : : CT: CQ : : P:S; d'où il suit, que les orbites autour de C, ST, PQ,. sont des courbes semblables. Supposons que les deux corps aient parcouru les arcs ST, PQ, et tirons S-rr,. parallèle et égale à TQ: alors 'tt aura la. même position relativement à S,, que Q par rapport à T; tt est donc lu lieu relatif, et Pt l’orhile relative de P autour du cor|>s S, supposé immobile. Gr on a GT“^CQ, donc TQz=^^-~ CQ-uSt, et pareillement d’où il suit St=— , CQ, ou GP : CQ : : SP : St, et PSt =: P CQ = SCT. tes trois orbites, PQ, ST, Pt, sont donc parfaitement semblables, et décrites dans le même tems. Les axes et toutes les lignes analogues de ces trois orbites sont entre elles, connue le». distances CP, CS, SP, et par conséquent •omroe- le» masses S, P,, S -f" £•• • - ». ' ,

§. 54. Il faut maintenant chercher la relation qui existe entre les orbites relatives que nous venons de déterminer, et celle qui aurait lieu, si S était en repos, en abiiant P, sans être attiré par la réaction de P, ainsi que nous l'avons supposé jusqu’ici. On a vu que les planètes doivent décrire des sections coniques auteur du soleil, si elles sont sollicitées par une seule iorce dirigée vers le soleil immubile, et réciproque au carré de la distancej mais il s'agit maintenant d’examiner, si les orbites relatives autour du soleil mobile, et autour du centre de gravité, seront encore les mêmes sections coniques, malgré la réaction.

Les deu.x corps P, S, sont, dans chaque instant, sollicités suivant PS et SP,ou QT et l'Q, et C est le seul point qui soit commun à toutes CCS directions : le centre de gravité C est donc le centre des forces , et P

est poussé vers C par une force accélératrice qui est constamment propor- SS *

tionnelle à ou — It-b nommant x la distance entre les deux corps PS ou

QT, y la distance variable du corps P au centre de gravité, CP ou CQ,

et —m, on aura constamment x—my, d'où il suit que P est solli-

s SS

cité par une force centrale, dirigée vers C, et proportionnelle k ~~ ^ ^

ou i , et l'on trouvera de la même manière, que la force qui agit sur S, >’ P

est proportionnelle à —pj • Ainsi tous les deux corps sont sollicités par des forces centrales, dirigées vers le centre de gravité, supposé immobile, et .réciproques au carré de leurs distances h ce centre. Us devront donc se mouvoir, comme s'ils étaient alliiés seulement par un corps central demeurant en repos dans le centre de gravité, suivant les mêmes lois, suivant lesquelles les corps mêmes t'allirenl réciproquement: d’où il suit, que leurs rérilables orbites autour du centre de gravité, ainsi que les orbites relatives de l’un autour de l'autre, seront également des sections coniques, décrites conformément aux lois de Kepler. Nous allons voir quelle différence il y a . entre la section conique détTile autour du centre de gravité, et celle que le corps P décrirait autour du corps S, supposé immobile, s'il n’y avait point de réaction.

§. 55. Si le corps P seul est attiré par S, il sera sollicité par une force, proportionnelle k la- masse et il en est de même de S. Si les deux

corps s’allirenl réciproqcemenl, chacnn sera sollicité par la même force que dans le premier cas; mais S se mouvant en même tems suivant la direction opposée, le mouvement relatif sera plus rapide, et la durée d’une révolution plus courte: par conséquent, si la vitesse de projection est changée enaorle que les deux révolutions soient, de même durée, le grand axe de l'orbite relative doit être plusgiand. Lorsque P est arrivé en Q, FSQ est le vrai mouvumeut autour du corps S, supposé immobile; tandis que l’Sx=::*PC(^ est le mouvement relatif auiout nu corps S, allant de S à T, et PC(^ est plus grand quePSt,). Le corps P est sollicité suivant ou PC, par une foice^^. Si l'on veut y substituer en C une masse centrale C, ta force accélératrice sera

Puisque la section conique est déterminée par la vitesse de projection

lieu entre les orbites, si les vitesses sont égales dans deux points analo» gués, ou bien, quel doit être le rapport entre les vitesses, pour que les orbites soient les mêmes. Soit (fig. 6.) Ptt l'orbite relative autour du corps S qui est aussi en mouvement, PQ la véritable orbite autour du centre de gravité C, et pq {Fig. 7.) l’-orbite que P décrirait autour du corps S, si celui-ci était immobile en s; et nommons V la force centrale de S, par laquelle P est accéléré dans l’ün et l’autre cas, T, 0, les durées des révolutions dans les orbites PQ et pq, t, ), deux teras infiniment* petits, et x ; I :

T : 0. Maintenant, si les orbites Pir, pq, doivent être égales et semblables, P(j) et pq seront aussi semblables, parce que !’(,) et Pir le sont {$■ 53.). Supposons que P, p, soient deux points analogues, paf ex. les périhélies, PR, pr, les tangentes, P y, pq, les arcs parcourus dans les tems x, #; u, v, les vitesses en P e! p.. Cela posé,, les angles PCQ, psq, sont égaux, et les figures PCQ, PCR, QPR,. et psq, psr, qpr, sont semblables, à cause de r:S::T:0; et toutes les lignes analogues dans les deux orbites seront entre elles comme CP est à sp, ou CP h SP, pareeque sp“SP. Pendant que le corps P est allé à Q, il aurait parcouru PR sur la tangente, en verluv