AX = X. XV — Y. YZ

on connaît les intégrales , —

/XX3M = A, /YYdM=B, /ZZ3M = C,

/XY3M = D, /XZ3M = E, /YZ3M=:F.

Soit AF u.i axe libre, et qu'on prenne les abscisses x sur AF, les ordoQnées *, perpendiculaires a AF: cela posé, on' aura (§. 81.)

fxydyi — o et /xa3M — n.

Ayant mené par AF un plan perpendiculaire au plan des X, Y, qui le coupe en AE, les angles BAE = 'n, EAF=:s, détermineront la position de l’axe A F. En nommant A X' — X' , X' Y = Y' , Y Z — Z' , les coordonnées reotangles de l'élément Z, rapportées à l'axe des abscisses AE,-et prolongeant y X' jusqu'à sa rencontre avec l'axe AB en, P, on aura XYPz9o^— APX'i:n,

X P =: Y tang >), Y P =; Y sec >|, partant

X' = A P cos »i = X cos rj'-f Y sin >1,

Y' — Y sec Y) — X' tg T) = Y cos T| — X sin yj, Z' =Z. '

Si Zy et X'y sont parallèles à Y X' et Y Z, X'y ««ra dans le plan E AE, et coupera AF dans un point sj Zy seca perpendiculaire au plan EAF. Ayant donc abaissé dans ce plan la perpendiculaire j x à A F, dont la prolongation rencontre AE en v, on aura les coordonnées Axz;*, xy—j, yZ = a. Mais AsX'r=xsy=9o* — *, et xyz—i, parlant

x = A'u..cosS = X'cos»-l-X'y tang 9cos 6 =: X' cos « -i- ZsinS, y — vy — vx Z sec 9 — x tang9 = Z cos 9 — X'sios, et s = Y'; ou X = X cos Yi cos 9 Y sin Y) cos 9 -4- Z $in 9, y =: Z CCS 9 — X cos Y] sin ♦ — Y sin y) sin 9, a = Y cos y) — X sin 11; d'où l'on tirera

ASTRONOMIE PHYSIQUE ^y— I X X co»“ T) sin — * Y Y sin* >) sin -|-i ZZ sin a(

— XYïin n cos 71 sin atf 4- XZ cos ri cos aS + YZ sin t) cos a«,

** — XX sin 7] cos 7j cos t -j- Y Y sin ti cos ti cos i

4- X Y cos « (cos* 7, sin* t,) X Z sin t, »in S + Y Z cos ti sin I.

En substituant cela dans les équations de condition, = o et l^——o on aura les équations sui^'antes; * ^

o=-J^tang a s (A cos* 7, 4- B sin*7i - C) - D sinT, cos 7, fg a « +E cos 7, 4- Fsin 7,,

o — A) sin 7] cos 7] 4" D (cos* 7] — sin*7i) — £sin7| tg^4~ ^ cos7)igs. taisant tangT) — /, la dernière équation noimeia

“”g^- (F-En.uCT,

tang a t = *(^-^0 f» >* + (A-B) r- b> ...c

l*'— Kf)’sec*71— (\u)(Dj«»

On conclura de la première équation,

tangas—, 7}

(B CJ(> + aD/ + A C*

En comparant ces deux valeurs de tangas, on aura une équation du cinqifc- »e degré, ditisible par sec* ti — i 4" ensorte que t sera donné par une équation du troisième degré. Il y a donc dans chaque corps, une ou troia valeurs réelles de <=rtang7i, et par conséquent de ti = BAE, après quoi on aura ^

tang 6 — latig V a P — (A — B)>in a ti — g D co»a t] a(Fco>7] — £ un >]) *

équation qui donne toujours une valeur réelle de «j et les angles ij, », détermineront la position de Taxe libre AB qui e.xiste dans chaque corps.

S- 83. Il s’agit maintenant d’examiner, si les trois racines de l’équation précédente sont réeUes dans tou, les cas. Supposons pour cet eflet, que AB soit l’axe libre, trouvé par l’une des trois racines qui est toujours ' réelle, et que AF soit un autre axe libre, dont la position est cherchée an moyen de. angle, BAE = t,, EAF = ». Si ces angles sont toujours possies, prouvé que le corps a, outre l’axe AB, encore un autre axe libre AF, d’où il suit, que réquation cubique a deux, et par conséquent trois racines réelles. Soient, comme ci-dessus, les coordonnées de l’élément Z = 3M. par rapport à l’axe AB, X. Y, Z, celle. reUdies à l’axe AF, x, y,

cela posé, les valeurs des produits xy, xz, seront les mêmes que dans §. 8î. Or AB étant un axe libre, on a (§. 8i.) /XY8M = D=: o et /XZdM = £=:o; AF sera donc aussi un axe libre, si les équations ($. 8s.) /jy8M=o et f xzdM~ o, après y avoir substitué D = o et E = o, donnent des valeurs réelles de y) et t. Or ces équations se transformeront en •

(A) O =; F sin n — ï tang a « (A cos® q -|- B sin® ■») — C),

(B) o F cos >1 tg } — (A — B) sin n cos vi :

ce sont les deux équations de condition, pour le cas où AB et AF sont des axes libres. On salUfait à la dernière équation, en supposant cosn^ro ou T| = 90* et sinT|=i. En substituant cette valeur dans la première équation, on trouvera

ce qui donne deux valeurs, SerF. AF et = E A F -f- 90®, qui déterminent les deux autres axes. Puisque BAE=t| est un angle droit, et que les plans BAE, F. AF, sont perpendiculaires l’un à l'autre, BAF est aussi un angle droit, d’où il suit que AB est perpendiculaire aux deux autres axes. Mais la dilTérence entre les angles i et s' est aussi un angle droit: d’où il résulte ce théorème important, que chaque corps a au moins Irais axes libres, qui st eoupenl Pan P/iuIre perpendiculairement dans son centre de grarité (J. 7 O- En concevant dt'nc une surface sphérique autour du centre de gravité (/wg. 19.), /qui est coupée par les trois axes libres en B, C, D, les arcs BC, BD, CO, seront des qiwdrans.

§. 84. Soient {Fig. 18.) AB, AC, AD, les trois axes libres, A le cen- • Ire de gravité, d’où l’on compte, comme ci-dessus, tes coordonnées de l’élément ZzrdM, AX=X, XY=:X, YZ—Z. Cela posé, les distances de l’élément Z aux axes AB, AC, AD, seront

ZX=R=:y(Y®+Z®;, ZH=r=l/(X® + Z»), Y'A =f=:y(X* +Y*).

Les momens d’inertie du corps (§. 76.) seront donc, relativement ( à l'axe A B =:/R®dM B 4" C zr Mao,

(D).... ) il Taxe A C=/ r* 8M = A-|- C = Mii,

C à l’axe AD=/f®dM=:A-)-B=:Mcc.

Outre ces trois équations entre A, D, C, on aura Drzo, Ezzo, F zzo.

i4o A S T R CN t)’M I E 'i> H Ÿ S T 9 U E

ftoieol relalivement à un «üire aSie quelconque Af', A.r'=Jt, xy:^y, ’yZSza; »lofi le moment d'inertie par rapport à cet ax’ seia (§. 8a.)

(E) / Cr* + ^*) 9 W = A C»in* i) cos® ■») siii“ S)

-f- B (cos® ■») -)- sin® ») sin® 0 C cos® S = M i L Or on a pour chaque axe, situé dam le plan BAG, »=:o: le moment d'iner^ tie relativement à un pareil axe sera donc

A sin® •>) -}- B cos® ») -)- C = M m /h;

d^où il suit

Itrlaa — Mmm “(B — A) sin®»), Mét — yimm~ (K — B) CDS® t),

Mce — Mmm — A cos® >i -|- B sin® >) — C ,

M AA — M;nni = (A cos® >i -j- B sin® tj — C]j sin* *.

Quelle que soit donc la valeur de r|, ou la position du plan EAF, la diflérenee entre les momens d'inertie par rapport à l’axe A E et à un autre axe quelconque AF dans le plan EAF, savoir MA A — Mmm, sera un maximum, lorsque «"90®, ou que AF coïncide avec l'axe libre AD; c’est-à-.dire. Ut dilTérence entre les momens d’inertie par rapport à AD et à AE, est plut grande que celle entre les momens par rapport h AD et à un autre axe quelconque AF, quelle que soit la position do plan EAF ou EAJ}; donc le moment par rapport à AD est plus ou moins grand que le moment par rapport à AF, selon qu'il est plut ou moins grand que relativement ïAE; d'où il suit que le moment d’inertie par rapport h l’axe AD est un maximum ou minimum, Puisqu'on doit dire autant des deux autres axes AU, AC, on en »

conclura en général, que dans chaque corps, h moment tPinerlie relalivement à chacun des trois axes libres est un maximum ou minimum. Or le moment d’inertie ne pouvant devenir ni négatif ni infini, il en suit par la nature des fonctions, que ces trois momens seront alternativement des maxima et des minima, de sorte que le plus grand de tous les momens d’inertie dans le corps appartiendra à l'un des trois axes libres, et le plus petit de tous les momens appartiendra à un autre axe libre. Cela mérite encore quelque développement. Dans le cas où t> est nul, AE coïncide avec AB. Alors, le moment par rapport à A F étant plus ou moins grand que celui par rapport ù AB, le moment relatif à AD le sera à plus forte raison, 'ainsi qu’on vient

de le 'Voir. Si donc le* moment relalift h AB et AD sont dgtux, te môme moment appartiendra à tout les axes dans le plan BAD: il en est de même des a.xes AB, AC, et AD, AC. Dans tous les cas on peut regarder un des trois axes libres, par ex. AB, comme celai auijuel appartient le plus grand moment, et on autre, AD, comme celui qui a le plus petit moment; de sorte que Maa]>MÜ, et MÜ]>Mcc. Supposons donc A* c® p’ , = — a®, A®.=ro® — 'y*; les diflürences a,

ou P, ou y, seront nulles, si deux, ou tous les trois moment sont égaux. Maintenant les équations (D) donnent

A=^M(A’-fc®— U®), B=ÎM(û®+c*— A®), C=ïM(o®+A=— c®),

ce qui étant substitué dans la valeur (E) du moment relatif à un axe quelconque A F, donnera

M 4 X- = M oo cos* t) cos’ « -j- M A A sin® t) cos® « -|- M e c sin® t , et en substituant o*“c* + O®, A®“c®-|-p®, et ensuite A®z:o® — 7®, c’z:a’— o®, MXX = Mc® + Ma® cos® n cos* â -f- M p* sin® n cos® i , et MXX = Ma® — M7® sin®») cos® $ — Ma’sin® (;

Id’où. il suit qne loti; les moraens MXX sont moindres que le plus grand, ef |S]as grands que le plus ]>elit des momens qui appartiennent aux trois axes libres: l'un de ces derniers momens sera donc un maximum absolu, et un autre sera un mrWmu/n absolu. Si les trois momens principaux. Mu®, MA®, Mc®, xont égaux, a, p, 7, sont nuis, et MX®~ Ma®=: Mt®:^ M A®: donc fous lee momens daps.4e corps entier sont égaux. Si deux momens sont égaux, par ex. Ma® = MA® qui se rapportent aujc axec AD, AC, 7 est nul, et l’on a MXX“Mu* — Ma® sin’ iz:: Ma® cos® Mc® sin® 4 , et en faisant 4~o, 'M X®=Mu®=:MA®; d'où il suit, que les momens, relatifs à tons les axes dans

■ le plan BaC sont égaux: ce qui est d'ailleurs évident, parce que si MX® était plus ou moins grand que Mu®, la difiérence entre Mu® et MA® serait encore plus grande. Cest à < ause de ces propriétés remarquables , que ces axes ont été nommés axes principaux de rotation; on a vu que chaque corps .a eu Qioins trois axes principaux, perpendiculaires l’un à l'autie, et passant par le centre de gravité. Pour fixer les idées , nous supposerons cOnslam-

■ ment, que le moment Mo® qui se rapporte h l'axe AB, est le plus grand

j4* astronomie physique

de tou$ les momens , et que la moment Mc^, relatif k l'axe AD, est le plus petit. I

5. P5. On a TU que, pour un moment quelconque M<’, on t i at d’où il suit et é>c. Les cas particuliers, qui paraisssent ^tre

une exception de celte règle , seront d’une grande importance dans la suite. Si par ex. la nature du corps est telle que B=C, les momens Mi*“A-j-C et Mc*=:A-(-B (§. 84.) (D), relatifs aux axes AC, AD, sont égaux. En iaisant donc 11 = 0, on aura, à cause de D^E = F = o, tang 83.)(C1;

l'angle t est donc indéterminé, d'où il suit, que tous les axes qui passent par A dans le plan CAD, satisfont aux conditions des axes libres, et sont par conséquent des axes principaux; le moment par rapport à cliacun de ces axes étant M 6’ ~ Mc*.

Si A=:B = C, tous les trois momens principaux sont égaux, Ma'=: MA*~Mc® ($. 84. (D)). Alors l'équation (B) (§. 83.) donnera sinii^ig: ainsi les deux angles î| et S sont indéterminés, d’où il suit que tous les diamètres, passant par le centre de gravité, sont des axes principaux, ayant le même moment d’inertie, A-j-B~A-|-C=:B-l- C. Il est donc prouvé que, dans le cas où les momens par rapport à deux ou trois axes principaux sont égaux, le corps a une infinité d'axes libres.

$. 06. Soit (iig, >0.) AC l'axe d’un solide, formé par la révolution de la courbe A M B autour de A C, ensoi te que toute section du corps, perpendiculaire k A C, est un cercle. Si l’on mène un plan par l’axe A C et un point quelconque M du corps, la commune section de ce plan et de la surface du coips sera la courbe génératrice A MB: ayant donc abaissé sur l'axe la perpendiculaire MX, la nature de la courbe A MB sera donnée par une équation entre les coordonnées AX — x, XM — u. Imaginons deux plans, perpendiculaires à AC, et passant par deux points M, ni, très-peu dislans entre eux: alors on aura un disque Mm.rX d'une épaisseur évanouissante, dont les Irases sont deux cercles parallèles des rayons XM et xm. Soit dM la masse d’un élément Z de ce disque: ayant mené =: s et YX=y,

perpendiculairement au plan AMÇ et à l'axe AC, on pourra regtrder l'élément Z comme un parallélépipède, dont les trois côtés sont l’arc circulaire,

décrit dans le plan MZX du rayon XZzr, et les droites dji, dr. En nommant donc l'angle MXZ=:(p, les trois côtés seront dx, dr, rdtj>. Comme la densité du corps est supposée uniforme, on peut l'égaler à Tunité, ce qui donnera

3 M z:: rdrdxd^.

’ Mais on a y :=rcos <p, s =:rsin (]), d'oîi il vient ($. 8a.)

A~fx‘rdrdxd^, B~/r^cos*^ . 3r3oc3<p, C=:/r^sin*4> • 3<p ,

H—f Jcr*cos(p.dr3i34*> E — / Ær®sin (p. dr3*3(J), F—/ r^sin^cos^ .drdr3$,

f xdMzzf xrdrdxd^ifjrdMzz f r’cosij!. fsd}A—f r*sinCf) .dr3x3sp; les intégrales devant s'étendre à la masse entière du corps M.

Si l'on kitëgre d’abord les formules précédentes relativement à (p, de* puis <p~o jusqu’à $ = 36o* = a sr , on aura les intégrales pour la zone du rayon r, comprise entre les plans MX, rnx. En intégrant ensuite par rapport à r, depuis r—0 jusqu'à r=XM=zu, on aura les intégrales pour le disque entier du corps, terminé par les plans MX, mx. Si l’on intègre pour la troisième fois par rapport à x et u, depuis x~o jusqu'à xzz.x, on aura les intégrales pour le corps entier depuis A jusqu’à X M.

De cette manière on trouvera par ta première intégration , f xèt/lZ^-rr/ xrdxdr, /y 3Mrsin a t ./r®3r3x, /î3 Mi;(i - cos air)/r*3r3x, ou fydMzzo et fzè^l — O}

d’oi'i il suit que l'axe passe par le centre de gravité. On a ensuite A = a7T / x^rdrdx, B=|/3<p(i -4-cosa<J))r^dr3x = (|ct>-f-|s'‘> r^drdx,

ou B = ir/r^3rdx, C =: ■n’/r^3rdx B, D r=sin air/r^x3rdx,

E = (i — cos 3ir) fr^xdrdz, F ~!/'d(piin 2 tp.r^ à ràx~ — cos4'>r)/r^ dràx,

donc D o, E =: O, F =: O.

Les équations D = E=::F=;o nous apprennent, que l’axe AC d’un solide de révolution est ^n des axes principaux de rotation ; et l’équation B = C indique, que tous les axes, perpendiculaires à AC, et passant par le centre de gravité, sont aussi des axes principaux ($. 85.).

La seconde intégration donne

/x3M ” ir/o’xdx, A—irfu^x^dx, B — C — ^ f u* ds.

La troisième intégration ne peut s’eflTectuèr, à moins que la nature de U courbe A MB ne toit donnée par une équatiou entre x et b. Pour cela

i44 ASTRONOMIE PHYSIQUE

ii fera plus conimoile de prendre lei absriucf du centre de gravitd C; et comme let deux premières intégrations sont indépendantes de l’origine desabsciisee, les équstions précédentes auront également lieu, si l'un fait CX:=x.

§. S7. Si le solide est un sphéroïde aplati aux pôles, et AMR une Mpse dont le grand et le petit demi-axe sont BC = a, AC=::é, C sera le centre de gravité, et l’on aura = p (é® — x*), d'où l’on conclura pour le demi -sphéroïde,

et pour le sphéroïde entier

A = a® iî, x5

'Le moment d’inertie est donc, par rapport au petit axe AO, «■♦é,

et par rappoit à chaque axe qui lui est perpendiculaire, ou à chaque diamètre de réqiialeur , A -j- B 0* é (o® ^ é®). Puisque dM est n:»-dr3xd<p

($. f>6.), la triple intégration donnera la masse du denii-sphéroide,

? M — Àitfrdrdx — 'it /n® 3x=r Tn* M = | ira® 3.

Les moineiis d'ineilie seront donc, par rapport

au petit axe ~ = M a®,

aux diamètres de l’équateur “ -j- (a® A®). ,

Le dernier est donc le plus petit, et le premier est le plus grand de tout les inomens du sphéroïde, la plus grande dilVérence étant -- (a® — 3®). Eu permutant a et b, les formules précédentes donneront les momeiis d’un sphéroïde alongé aux pôles. '

Dans la sphère on a a~b, d'on il sait que le moment d’inertie, par rapport tous les diamètres d’une sphère, est — ^ a^;= ^Mo®.

Si les méridiens et l’équateur sont des ellipses, ce qui est proirablement le cas de la lune, soit C le centre, CA =3 le demi-a.xe de rotation et' l'axe des ordonnées s, CB=:^le demi-grand axe de l'équateur et l’axe des x, et h le petit denii-axe de Véqualeiir et l'axe des y. Cela posé on aura pour l’élément Z~3M, CX — t, XY z:zx, YZ,~y. En faisant donc XM=u,

et nommanl r le rayon r, prolongé jusqu’à la surCice; on aura dan* le mériJien elliptique A MB,

et dans le parallèle passant par XZ, qui est semblable à l'équateur,

æ' et y étant les coordonnées qui répondent h En nommant $ l'angle

YXZ, dont le rayon r est incliné au grand a.\e du parallèle, on a

j'— /C08<J>, y':r:r'sin$, r* = a:'*-j“y% donc

“ 1/ (/• ^ + Cüj» $) ■ , •

La sphéricité de tous les corps célestes étant très • petite , en faisant /= ^1 -j- 4), on pourra négliger la seconde puissance de 4, ce qui donnera

(3) r'=: T -7-^ = U (i — 4 sin“ <f).

V /•••• y 4- a4 >ii>* .p)

Si l’on intègre maintenant les fonctions A, B, etc. (§. 86.), d’abor^J par rapport à r, depuis 1=0 jusqu'à rz=.i‘, ensuite par rapport à cj>, depuis (J) rire jusqu'à <J) = aw, enfin par rapport à z, depuis 3 = 0 jusqu'à 3 = *, ces inlégraies, étant multipliées par a, s’étendront au corps entier. En substituant donc 3M = rdra4>33, a-=rcas$, y = rsin;î), on aura

A = a/ydr.34)cos=Ct>.3s, B = a/r^dr.ô? sin®4! .ds,

C = a/r3r.3(î>. 3*33, D = a/r^3r.3(psin4lcos!}).3s, ■

E =r a/r’3r.3(pcos(J).i33, b’ = a/r 3r.3$sin^.33s.

Après avoir intégré trois fois, on trouvera

A=.f— 3$ cos* <f) .dzzz d;p cos*$ (i — 4® 4>) 3 s =

3^ (' -t-cosa<p— 4-(-Îcos4<I')^3— — (• — aé*3*-t-3*)33; donc

On trouvera de la même manière

B= ^ (i— 340/+X, G = D=o, E = o,. Fz:o..

Ün aura donc les momens d'inertie, par rapport

au grand axe de l'équateur, B-j-C=~ — 34y®— JX®) = Ma®, au petit axe de l’équateur, A-f-C = ^(i — î)y^ ^ it l’axe de rotation, — aJ)y* X-=: Mc*.

L’aire de l’ellipse, passant par MX, est - iru*, d'où l’on lire le volume du disque Mxzryxu*dizr^^~ /*—!*) de, partant le segment = d’où il Suit le demi - volume du corps =: = vfhk, et le volume entier — \-Tt fhk. En substituant dans les équations précédentes, A ~ M,

et 6 — — ~ , on trouvera

5 0» 6ÏÏ 56*

$. 88. D'après ce qui précède, la théorie du mouvement des corps se réduit aux propositions suivantes.

I. Le corps ne peut tourner librement autour d’un axe invariable qui n’a pas besoin d'éire appu^'é, que dans le cas où c'est un des axes principaux. En ellel, si le corps n'est sollicité par aucune force étrangère, l’axe n’éproiv vers que l'eObrl des forces centrifuges qui, par conséquent, doivent se détruire ' lécîproquement : ce qui est le caractère distinctif dés axes principaux ($. 8i.). Si le corps est sollicité par des forces, dont les momens statiques ne se dé^ truisent pas, elles accéléreront sa rotation, ou changeront sa vitesse; mais il est impossible que les forces centrifuges, dépendant du carré de la vitesse ($■ 79- O- 3-)> fassent équilibre aux autres forces qui ne dépendent point de ce carré 'jg. n. i.), quelle que soit la vitesse. Il faut donc, que chacune des trois forces centriluges soit séparément égale è zéro, et c'est ce qui détermine les axes principaux.

a. La rotation ne peut être uniforme que dans le cas, où il n’j a point de forces étrangères, ou qu’elles se détruisent mutuellement, ou que leur moment, pour faire tourner le corps, est nul: c’est une suite nécessaire de la loi d’inertie, et l’on peut en tirer la conséquence, que la rotation uniform* d’uo corps doit avoir existé dès son origine, ou lui avoir été imprimée par ViB impulsion instantanée.

3. Des forces , dont ta direction passe par le centre de gravité , ne peuvent pas faire tourner le corps (§. 6-;. J; car, conformément à la nature du centre de gravité , elles font le même eifet , que si tous les éldmene étaient sollicités parallèlement, par des forces, proportionnelles à leurs mas* ses; et il est visible que, dans un pareil cas, tous les élémens avanceraient suivant des directions parallèles avec la même vitesse: il n'y aura donc point de rotation. Ainsi ces forces ne dérangeront point l'uniformité de la rotation, et il faut en dire autant des forces, dont la moyenne direction passe par le centre de gravité. ,

4- Dans un cas contraire les forces feront tourner le corps: car la résultante qui ne passe pas par le centre de gravité, imprimera aux élémens du corps des vitesses dilféreutes, d’où il naît nécessairement une rotation $.66.).

5. Puisque chaque force agit sur l'axe, comme si elle lui était imprimée immédiatement (§. -j-j.), l’axe et le corps entier recevront un mouvementi à moins que toutes les forces ne se détruisent mutuellement: ce mouvement fera tourner l'axe autour d’un de ses points, ou sera une pure translation. Le dernier mouvement mérite une attention particulière.

§. 89. Quelles que soient les forces qui sollicitent le corps, le mouvement de translation du corps ou de son centre de gruiité sera le même, que si chaque force était imprimée au centre de gravité, parallèlement à sa véritable direction. Soient {Fig. ai.) AB, AC, AD, trois axes arbitraires qui se coupent perpendiculairement, et sur lesquelles on a pris les coordonnées AX = x, XY=ry, Y Z — s, et AE:=:c, EF=:y, FG = A, d’un élément Z = dM, et du centre de gravité G, pour un instant quelconque t. Cela posé on aura, par la nature du centre do gravité.

t. jJW M '

■Z.yàyi

la caractéristique £ se rapportant aux divers élémens du corps , et s'élen- 'dant à sa masse entière, de sorte que x, y, z, et dM, sont variables pour le même instant, en passant d’un élément à l’autre. Désignons par / l’intégrale qui se rapporte au mouvement d'un même élément, ensorte que t soit variable, et dt, dM, conslans; et décomposons le mouvement de chaque élément Z, ainsi que celui du centre de gravité, suivant AD, AC, AD. On aura donc

i48 astronomie physique

èdb X.àizdyi

'ît^ ~ J/' ~ -M ’ 7/»'”' m7?’ '

En di^compasdnl suivant tes mèu'.es tlirccliuns, les forces qui sollicitent chaque élément Z, en /», q, r, on aura i§. 17 n. 4-)< ddx— d/% ou

—3,^ ~ —TW = ~ ~ =

ce qui étant substitué dans les dernières équations, donnera

aar ï:. = gp__5j.ï:/> aa/sg.s;<7 aa& :£.Xr

at* M M ’ ar' m * at» m ’

Tp, 2 </, ^r, étant les son.mes de toutes les forces qui sollicitent chaque élément, décomposées suiiant AB, AC, AD. Or le mouvement du centre de gravité serait déterminé par les mêmes équations ^§. 17. n. 4<)t <■ toutes les forces étaient imprimées à ce centre, et que la masse entière M y fût réunie. Le mouvement de translation sera donc le même, que dans cette supposition: •e qu’il lallait prouver. Au reste, il est aisé de voir, que cette transiatiea B'altère point la rotatiou du corps.