CHAPITRE IV

Perturbation de la rotation par des forces étrangères.

9« On a TU dan* le Chapitre II. du III. Livre, que la réaction •U la gravité universelle ne peut pai altérer sensiblement le mouvement de translation, ou elliptique des planètes, si elles ne s'écartent pas excessive* ment de la figure sphérique; mais il n’en est pas de même du mouvement de notation. Si la direction moyenne de toutes les attractions que chaque élément d’une planète éprouve par l’action des autres corps célestes , ne passe pas par son centre de gravité,, il en résultera une nouvelle rotation autour du centre de gravité, ou une perturbation de la rotation primitive; et cette perturbation est le su)et des Chapitres suivans ce ce Livre. L’application de la théorie sera bornée è la rotation de la terre et de la lune, parce qu’elles sont les seuls corps' célestes, dont la rotation puisse être observée avec assés de précision, pour que l’application de ces recherches donne un icsuUtat utile à l’astronomie.

$. 99. Comme les forces qui sollicitent la plapète, peuvent avoir toutes les directions possibles, selon la- position des corps perturbateurs , il est néceuaire de les décomposer ainsi que les vitesses de chaque élén.rnt Z=r dM, qui en résultent, suivant trois axes fixes,' A B, A'C, AD, {/''g. iB-), que nou*' psendrons ensorte qu'iis se coupent perpentliculatremenl au centre de gravité A. Soient donc AX.=:X, XYir^Y, Y-Z~7., les coordonnée* de l'éiénient Z, parallèles è ces axes, x, y, z, celles du corps perturbateur-, •t B sa distance à l'étémenl Z. Cela posé ou aura

(A) R’ = (X - X>” -f (y - Y;»4- (s — Zf.

Si l’on prend U demi- diamètre de la. terre pour unité des lignes,. Ig fore»

i6o ASTRONOMIE PHYSIQUE

accélérnlrine He la masse de ta terre par rapport ii la pesanteur sur la terre.

sera à la distance R =

et la 'force du corps perturbateur, dont la

masse, divisée par celle de la terre, est V, sera à la même distance Fn nommant a', b', c, les forces accélératrices suivant x, y, z, que le coips V e.xerce sur l’élément 3M, on aura

R» ■ ^ R*' R ’ ''■pn*’”R

Or on a aussi ($. 17. n. 4>) . ÜK-

asY

aga/’*

agar»’

la caractéristique d se rapportant au mouvement composé de translation et de rotation de l'élément. En désignant donc par b les ditHrentielles qui résultent de la rotation seule, on aura

ix~o, Sy~o, iz~o, et 3x = o, dyzzo, 3*=:o, parce qu'on ne considère pas ici le mouvement dn corps V , mais de la planète M. Si l’on différenlie donc l'équation (A) par rapport à la rotation, il viendra RîR — — (x — X)SX — {y — Y)îY — (s — Z)SZ, partant

En faisant, pour abréger,

ddX. JX-+- daY.4Y4-ddZ.ÎZ= U, et ^gdt^z=y, on tirera des équations (i) (2)

o'4X-i- é'îY+ c'iZ= ^ ^ { (x-X) JX+ iy-Y) J Y+ (s-Z) iZ } 4 R,

ce qui donnera, pour chaque élément 3M, l’équation o:=-:^-|-— 4R, donc pour la somme des mouvemens et des forces de tous les élémens,

l'intégrale E se rapportant aux élémens dM, et s'étendant à la masse entière du corps M, au lieu que / se rapporte au mouvement ou è la différentielle du tems 3t.

$. 100. La direction de l’axe AB étant arbitraire, supposons d’abord, que le plan des x, y, soit* parallèle à l'écliptique, et que AB soit dirigé vers le. point veiual oV: alois AC sc dirigera vers le point solstitial o 63,

e( AD ver< le pôle boréal de récliptiqoe. En Dominant donc U distance lie l’élément 3M au centre de gravité ZA = r, ga latitude '/.AY — p, ga longitude BAY^q, on aura ZV—niap, AY :z:,rcosp, partant

(3) X — rrospco%q, Y^rcogpiin^, Z — r»'mp.

Si l’on luppose le corpa perturbateur V en F, et qu'on nomme #a longitude vue de A, BAE = t>, la tangente de m latitude EAF — X, sa distance do A, AF = e'i distance réduite à l'écliptique ou accourcie, AE=r^, ou aura (' =z ( .V X®), et les équations

(4) — (coiv, ^rrpsint), sr=fX.

Concevons autour du centre A, une sphère qui est coupée par les axes AB, AD, et par A Z, en B, D, et Z {Fig, 34.), ensorle que D soit le pôle boréal de l'écliptique BL, et B le point o ’V d’où se comptent les longitudes. Soit QNMR l’équateur de la planète A, P «son pôle, N son noeud descendant ou son point vernal, dont la longitude est BN = i; soit l’angle formé par les deux plans, ou l’obliquité de l'écliptique sur la planète A, LNR ou DP = w, PM le premier méridien, NM:=u, la di linaison do l’élément ZK=:P, sa longitude géographique MK=Q. Cela posé, l’ascension droite de l’élément, comptée du noeud descendant N seraNK=Q-{-<a=Q'( sa longitude BDLrr^, sa latitude ZL = p, et sa longitude comptée du noeud N, NL=:9 — On aura donc dans le triangle DP Z,

cos DZ=cos PD Cüs FZ -1-sin PD sin PZcos DPZ, sin PDZ = ^

iaog PDZ =

(ia P Z »in DPZ

»in D Z fin PDZ

c^s PZ. sitr PD — lin PZcoi FUcuiDPZ eus PDZ * »io PZ .sin DPZ

et en substituant sin PDZ =

sm DZ

sin D Z cos P D Z = cos P Z sin P D — sin P Z cos P D cos DPZ.

Si l’on substitue DZ = 9o* — p, PD~m, PZ^rgo* — P, DPZ^igo’-f-Q', P D Z go* — q', on aura les équations suivantes,

r sinp = cosrasinP — sin tn cos P sin Q', cos p cos 7'= cos P cos (y, t cos P sin q' ~ sin o sin P -f- cos uj cos- P sin (y.

£0 introduisant ces valeurs et q—i-\-q', dans les équations (3), elles deviendront

ifl» ASTRONOMIE PHYSIQUE

i— — cos e cos P cos Q' — sin t sin P sin t3 — sin t cos P sin Q'cos ro, ^ = cos € sin P sia ta cos t cos P sin Q' cos a -4- sia t cos F cos Q', — sin P cos «B — cos P sin Q' sin ®.

Ces équations nous apprennent, que X se change en T, si l'on met — cos c ' à la place de sin i, et sin c au lieu de cos t, et que par conséquent X* se changera en Y^, et dd^S'X en ddYïY, si l’on met — sin e cos e au lieu de sin E cos E, cos'i au lieu de sin’’ e, et sin* e au lieu de cos* e; partant ddXS'X ' deviendra 39XJ'X+ddYJ'Y, si l’on fait sinEcosE=:sinEcos e — cosEsinc=o, sin* E — sin* ^ cos* c i , et eos* e zz cos* e 4- sin* b ~ i . On formera donc ddXSX, en rejetant tou; les termes multipliés par sin e cos b, et faisant sin* E cos® £ := I , ce qui donnera 99X4 X -f- 99YîY.

D’ailleurs comme, on peut supposer, que les planètes tournent sur un axe principal, les deux autres axes principaux sont situés dans le plan de l’équateur. En prenant donc les coordonnées de l'élément, X', Y', dans ce plap, et lés axes des X', Z', suivant les directions du méridien N et du pôle boréal P, on aura

Z'=:rsinP» Y'rzrcosPsinQ', ~ r cos P cos Q'.

Mais l’axe des Z' étant un axe principal, ZX'Z'9M et EY'Z'9M sont nuis; et par la nature du centre de gravité A, £X'9M, ZY'9M, EZ'9M sont aussi nuis, d'où l’on conclura- ces équations de condition:

(7) O = 2r*9M.sinPcosPcosQ', 0=: Sr*9M.sinPcosPsinQ',

(8) o=r XrdM.cosPcosQ', o=rr9M.cosPsinQ', 0=£r9M.sinP. 1

Maintenant il faut dilTétentier X -et Z, en regardant comme constaiu P et Q, parceque la rotation ne peut pas altérer la latitude et la longitude géographique de l’élément: les ditlérentLelles seront donc prises par rapport à u, e, at; et l’on aura 9Q'=9u, parce que Q'=:Q-f-w. Ainsi les équations (6; donneront

— — 9 U cos P (sin Q' eos B -}- cos Q' sin f cos m)

—•9e (cos P cos Q'sinr -f-smPcosisincs cos P sin Q' cos e cos w)