n Q'sin t cosn — cos Q' cos f
+ 3'’ sin es 4~ P Q' ‘ ^ — cos P cos Q 'cos tj
(lo) ... A dsi* sin i (cos P sin Q' cos o-|- sin P sin ts)
sdudf cos P (sin Q’ sin e — cos Q'cos s cos ts)
idhtdni cos Pcos Q'sin t sins-|-adEdaicos t (cosPsinQ'sin S — sinPcosvV ^ ^ Z
~ — dducosPcosQ'sincs — ddtB(sinPsinra-|-cosPsinQ'cosai)
14- du* cos P sin Q' sin m dm* (cos P sin Q'sin s> — sin P cos a)
— a d U d a cos P cos (Jf cos si.
Si l’on multiplie les fonctions (lo) et (g), en mettant dans les dernières U caractéristique f à la place de d, qu'on rejette tous les termes multipliés par sin^cosP^^"Q' (7) ou par sine cos e, et qu’on tasse sin*c=cos*c= 1, on trouvera
dax. JX-+SJY.5Y
rddu (i — COS* Q'sin* cb) 4- ddt cos si — ddsisin Q'cos Q'sin si cos VY ffucos*? -C 4" 4“ Q' ^ *'“* ® — dw*sin Q' cos Q' cos* œ C
( — a d U d SI cm* Q' sin «s cos si — a d c d ni sin* Q' sin «9 )
dducos*P cos SI + ddt [cos* P 4“ («in* P — cos* P sin* Q”) sin* si]\ « cos’ P sin Q' eus Q' sin «b — dm* cos* P sin Q' cos Q' cos o f : ud( cos* P sin Q' cos Q' sin* m — adud m cos* P cot* Q'sin m A (dm (sin* P — cos* P sin* Q) sin «cos O J
-f Sm
' — ddu cos* J* sin Q'cos Q' sin m cos m — dd( cos* P sin Q' cos Q'sin oV I -j- ddm (cos* Psin* Q'sin* m -|- sin* Pcos* m) -f- du*coa* Pain* Q’sin m cos n 4 I 4- (d I* -|- d »*) (cos* P sin* Q' — sin* P) sin ® cos m f*
+ ad udc cos* Psin* Q' sin m adud® cos* P sin Q'cos Q'sin* mj
aaz . sz
^ . Çdducos* Q' sin ®4-^^® *">Q'coéQ^ cosm a
é^wcos’Psinm ^ ^ ' t x y
{ c — (du* 4- dm*) sin Q'cos Y sin m 4~ adudmeos y cosu>
A s T il O N O M I E P H Y s I Q U E ' ( ^du cos^ Psi n Q'cos Q'sin CJ cos to -j-d3w (siii^Psin’o -)- cos’*Psin“Q^ cos^cjl)
-j- îws — 3w®cos"Psiu*(^'sin cJco8t3-4-de;“(sin“P— «cos®Psin*Q')sinc3cosGî> *
C + 2 d ou d ® cos® P sin Q' cos Q' cos' O ■■ J
d'où l'on tirera, en ajoutant ensemble ces deux fonctions, *(§. 99.)
^ nôu)cos®P 1 d3w-4-33£costü-j-ï sinaQ'(3£®sin®®— d«J*) — dtdcJ(i — cos2(^)sin® } 33ci>cos®Pcos®-|- ^ fcos®P-j- (sin® P — ïcos®P(i — cos 2 Q')) sin®® '
— cos® P sin 2 Q’ sin® — cos® P sinal/ co8®-j-d w3fsin®®
— dud® cos® P (i -f' cos 2Q')-sin ®
-f- 2dï3 ® [sin® P — ï cos® P (i — cos aQ')] sin ® cos ®
^ cos®Psin2Q'sin®-j-3d®[sin®P-)- ^ cos®P(i — cosaQ')]'
-4- îtsj -f- d £® [| cos® P (1 — cos 2 Q') — sin® PJ sin ro cos ®
-f- dw3£ cos® P (1 — *cos aÇ') sin ® -{- doad® cos® P sin a Q'
Faisons maintenant pour abréger > *
C 33w -f- 3d£ cos ® — dfd® sin ® ~ 3(3w + 3e cos ®] ir:X2,
■ C à (du cos ® -j- 3ï) z= E , 33 ® -f- H,
C Sr®3Mcos®P = H, 2r® 3M sin® P = K,
' C 2r®3 M cos®P.cos aQ' — L', S r® 3 M cos* P sin a =r N',
(ra),
et substituons cela dans la valeur précédente de ^ j il viendra
2U3M=z«w -f ^^^(3£»sin®Œ — 3®*; + I/3£3®^
-f-îf L033£sin*®— ?N'(33®sin®+^®3®cos®-|-a3u3£sin®®'j
C — L' 3 w 3 ® sin w -j- (2 K — H -j- L') 3 1 3 ® sin ® cos w
:Hn— iN'33£sin ra-f(K— ÎH -I L')33® - >
(J H — K — î L') 3 1® sin œ cos ® — L' 3u3 £ sin ®-|-N^3u3tii$
On peut simplifier cette formule par les considérations suivantes. Si Ton suppose la planète A sphérique, sa densité égaie à Tunilé, et qu’on regarde l’éléu^ept 3M comme un parallélépipède, dont la base est terminée par le» arcs infiniment petits de deux méridiens et de deux parallèles, et dont la hauteur est la différentielle de la distance r, on aura dM”rdP.r3QcosP.3rz r^dr^ÇjdPcosP, d’où l’ou lire HzYi^dr.dQ.SPcos^P, Kz2/^3r.3Q.3Pco5Psin*P,
L I V R E IV, C H A P. IV. . ifiS
r/^3Mco»’PcosuQ=L=:T r^âr.dQcosaQ.dPcos^P, Sr^âMcos^PsinaQ —
• Nr=£/''*dr.d(^5iD aQ.dPi-oi^P. On aura ces intégrales pour la demi-sphère, en intégrant d'abord par rapport i r, depuis r:=o jusqu'à r — r, étant le rayon de la sphère; ensuite par rapport à Q, depuis Q = o jusqu’àQ=: enfin par rapport à P, depuis P=:o jusqu’à P=9o°; d’où il résulte H= ~ — •sIn»P)3.sinP= ^ r'i .
K= /î.2.Vu>P.a.sinP= =
à ^ là • U '
L — — sin aO . S . 3P cos^ P =0,
lO • '
N = (i — cos a Q) 2 . 5P cüs^ P = O, à cause de a Q ~ 4’r-
Or tous les corps célestes que nous connaissons, s'écartant très-peu des sup-
positions piécédentes, on a à peu près K:i=îH, L = N=:o;*du moins — K, L, et N, seront des quantités très-petites par rapport à H et K, qu’on peut négliger dans la fonction 2UdM. Le second terme de l’équation, (C) 99O I ^lant multiplié par la force perturbatrice V, serait nul, si la
planète était une sphère homogène: il sera donc multiplié par les quantités
|H — K, ou L, ou N, qui déterminent les irrégularités de la formation de ta planète, ainsi qu’on le verra dans la suite: il n’est donc pas permis, de négliger ces lacteurs dans le second terme. Maintenant il faut se rappeler (ra) que L'::n2r’âMcos®P(cos2QcosatJ — siniQsinau)=:Lcasa u— Nsinau, et N' =: cos’ P (^sin aQ cos aui-|- cos 2 Q sin au) =; N cosa u-h-Lsin a w,
d’où il suit que L' et N' peuvent aussi être négligés. En faisant donc K~iH, L'=o, N'rro, l’éqnation précédente donnera
(D) Ï.U3M = H (fléu-j-Eîs-f nffm).
rot. Considérons maintenant le second terme de Téquation (C), V 'V . 2 ^ détermine l'action de la force perturtotrice V. Pour
cela frisons - '
X cos V -I- Ysin V -j- ZX = S, et f V (i -j- X®; :z f', ce qui donne par les équations (A) et (4) (§• 99- 100.),
Puisque Sy, S s, sont nuis (S- 99-) > 3> ^ conséquent <(4)*
t, V, X, doivent être regardée comme de« quantités constantes; de plus, les distances des corps célestes entre eux étant incomparablement plus grande» que leurs diamètres, les quantités r^X, Y, Z, sont trës-pelites par rapport h f: 00 aura donc
d’où il vient
K'SK ys ■ «asys ~
Les dilTérentielIes yX, SY, SZ (g) (§. loo.) ne renreiment qne de* termes de la forme (8), qui , étant intégrés par rapport à 1 , deviennent nuis. Ou a donc
SyS = Sy X cos V £y Y sia v-|-ZxyZ=zo, et il ne testera que le dernier terme
