sy s
En dilTérentiant le carré de S, on trouvera
(i3) SySzrXyXco8*r-i-yyyiin’v-|-(YyX-|-Xyy)sin«'cosv
•- +X.ÿ(XZcosw-|-YZsin v)-fx*zyz;
où il faut omettre tous les termes de la forme (7) (§. 100.). Les équations (6) et (g) donneront
X 6 Xcoi^t;
iz: — ï « . coa* V cor
sln Qf cos Q' (cos* e — sin* i cos* a)
— y « cos* V ^
. -I- (cos* Cy — sin* Q') sin c cos c cos '
sin t cos ê (cos* P — sin* P sin® a — cos* P sin* Q' cos* a)
(cos* t — sin* t) cos* P sin Q' cos Q' cos a
-f-i'mcos*vsinEsina { cos*PsinQ'cosQ'cos( -f-(sin*P — cos*Psin*Q')sinceosa| ,
•—^5 — =: X* yu cos* P sin Q'cos Q'sin® B — X* ya sin a cos a (sin* P — cos* Psin* Q^.
Tons les termes de la première formule sont multipliés par cos* v sin* c,
ou par cos* V cos* e, ou par cos* v sin e cos t ; et l’on a vu ($. 100.) que X
se change en Y, si l’on met — cos e à la place de sin c, et sin e au lieu de
cos ( : XyX cos* V se transformera donc en YyYsin*v, ai l’on met, outre
les substitutions^récédentes , sin* v au lieu de cos*v; d'où il suit, que
XyXcosv deviendra XyXcof*v-f-Y^Y*in*v, si l’on substitue cos*vsin*s-f~
sin* V CO»® { ~ »in* (y — i) 4^ î 6ib a t »in aw au lieu de co«* v »in® t, CO»’ wco»®i + »in® v»in®i=:co»®(r — e) — ! sin a t sin a v au lien de cos’wco»’ t, et sin c eos E (cos® U — sin’ v) sin a c cos a v au lieu de tin tcoa.ccos’ v. Cela posé, en substituant encore les valeurs (la), et faisant pour abréger, I H — K = H', V — f — u, on trouvera '
(a) 2;dM (Xi X cos’ V YSY sin* v X® ZiZ) =
— ?iu 1 L'cosav»ina£CO»ra-j-lÿ'[cosavco»a£-}-(»in®«-|-î»inav»inaf— X®)sin*tB] f
•— ?f Ecosa V { [H'»in®w-(- ïL'(i -|- cos’ a)] sin a e-|- N cos a s cos ta}
— r. iw { (H' — ? L') (sin’ U î sin a V sin at — X’)sinar3 — | N'cos a v sin as sin tü > .
Le terme (YiX-|-XiT)sin vcosv est ?sin a v .i(XY), et en rejetant dans
les équations (6) ($. loo.) les termes de la forme (7), on trouvera X Y
=:»inico»£(co»®P<so<“Q'— »in®P»in®w — cos® P sin® Q' cos® ra)
-f- (cos® e — sin® i) cos* P sin Q' cos Q' co» vi}
— = — îucos’P {îsina EsinaQ' (i-j-cos®w) — EX)sa r cos a Q' cos O}'
î cos aE [(cos® P — a sin® P) sin* W -{“ ^ (* 4"
— sin a £ cos® P sm a (y cos W
<—{(0 sin ni { sin a £ co» w [sin’P — | co»®P(i — cosaty)] -|-îco»afcco»®P»inaQ' } ,
donc (é) XdM (YîX-j- XîY)sin vcos v =
I iu sin a V { L' cos a e ct>s to — ï N' sin a £ (1 -|- cos® w) }
-4- ïiesi'naw { cosar [H'»in®c8-f-|L'(i -|-co#®w)] — N'sinaicosO}) -|-?ÎŒ»in avsinm{(II' — ï LO sin ae cos t3 — ïtr cos a» } .
On aura, par ce qui précède, i (XZcos w-f- YZsin v), si l’on met dans t.XZcosv, sin(E — v)=— sinu an lieu de sinrcosv, et cosu au lieu de
cos E cos V. Uais (6), * a
! sin® P sin f tin a fè — ^ cos® P sin a (Y cos » sin o J r* 2 2. • E
-|-^ro»*P(r — iH)s a QO sin t sin ao, d’où ton tire
. (c) X . (XZcoa v-|- YZsin v)= •
...Xïwtint!! { L'cotu+N'einiicosra } +X$Esinni { (H'-|LOcose£CosW— ^N'sinwl — X 4 «a { (H' — ? LO sin u cos a O -f" g N' cos u cos et ) .
Si l’on ajoute ensemble les trois fonctions (n)(é)(c), l’équation (rS) donnem
i6H ASTRONOMIE H Y S I Q ü E
d cü C ^ (sin a U coi O — a X coa u «ia t3) — '
® < i N[(i — a X*) •in*is-f'(i cot*^)cosau-f-3^^>aus>naojb
f ïf » \
£t 1 H' (*in au *in* w X CO» U «in aoi) 4~ ~ L*'"’" (’ + cos’i») /
* ( — X CO» U sin a-Œ] — N' (co» a u co» tB -J- X sin u sin as) )
r j[sinatB (i — cosau — aX*; -}- aXsinu co» ans ) ® £sin au sin ns -J- aX co» u co» osj ' (
Fai»OD» pour abroger ,
ï sic au cos ns — X co» u sin ns R,
/ ^ sic au cos '
y 14-cui’ns
-îX»
sin* ns
co»au-|- — sinusinansr^®, îainau»in*t8+ — cosusinanszCT a 8 a
sin au — — cosu»inaGS=X), -co»aaco»c5+- sin u sinus— '
J sin J X9 ov . O I
k — — (I — cos a U — a X’) X am U coa a Œ “ ÿ, • . l
.( sin t» . , X — I
V — - — atnat/-) coauco8C3 = 0, ^ }
et subslituons L'~L cosau — N sin au, N' N co» au -|- L sin au (§. ioo.)s cela posë, l'équation piéccilenle prendra la funue
(E) ZSSS3M~iu 1 ?f L — 3? N)co»au — rW N -f-9S Dsin au )
+ î e 1 C H -|- L — (£ N) cüs au — (© N (f Ll sin aj«> )
' — 8 03 1 5 ir — 1- — N)c(»S2 U J \ W Lîsin au } ,
3VV 6VgJ;’
ce ([ni étant multiplié par
donnera le der-
f'Ci-t-X’jS
nier tel me de l’équation (C) (§. yg.)- ^
§. loa. Pour donner plu» de »3mmétiie îi J'éqiialion (C), faisons
Î?[co»a u — 95 «in a U — li' , îlsin a u -j- 93 cos auiril'", € = E', osau — GsinauicE', T'sin au 6 co» a u:i É'", Srrll', ^ S co» au — W^ina»l:;: fl", ' 3 sin a w -1- ® co» a u 1P''S
elle prendra alors celle forinr, 8^
■ (F).,. ...H(fî8u-f E8-<4-n8osy=
{ 8u^irL~n"TN)-fSi(E'll ^E"L—E"i\)-4ta,a H'— n"L-fH' N) ) ,
Puisque les Tarialiont Su, (c. Sia, sont indépendantes l’une de l'autre, il faut égaler séparément les coelEciens qui multiplient chacune d’elles dans les deux membres de l'équation (F); ce qui donnera ces trois équations fondamentales pour la rotation des corps célestes et ses perturbations:
I il— ^ ~ ”
E = AllJJL
L'intégration de ces équations donnera, pour un tems quelconque l, les trois angles u, c, ta, ou les vitesses de leurs variations,
TU (S- 100.), que w est l'angle qu’on appelle, relativement à la terre, l'obliquité de l'écliptique, que f est la longitude du point équinoxial de la planète troublée, comptée des points équinoxiaux de la terre, ou d'une ligne fixe quelconque, et que w est la position d’un méridien donné , par rapport aux points équinoxiaux. La variation de ut est donc ce que les astronomes désignent par le nom de nutation, celle de i est la procession, et la variation de U est le mouvement des méridiens, et par conséquent la rotation même. Ainsi , ou si la précession n'est pas insensible par rapport à la
rotation, ^ ~ sera la vitesse de la rotation de la planète; et si l’oa
^ ^ ^ € d fS
nomme g., v, les valeurs moyennes de —, f et v( seront la précession et la nutation moyennes pour le tems /.
Comme nous ne considérons ici que les perturbations que la lune éprouve par l’action de la terre, et celles que la lune, et le soleil exercent sur la terre, l’un des deux corps, M et V, est le coqps central de l’autre. En désignant donc par V la masse du corps central, divisée par celle de la terre, par n le sinus du moyen mouvement de l'autre corps en une seconde, par A le demi-diamètre de son orbite supposée circulaire, et prenant le demi-diamèlie de la terre pour l’unité des distances, on aura ($. Sÿi),
= »•, A = f' ;= f y (i -f X*) (S. 1 00.), partant
ASTRONOMIE PHYSIQUE
ce qui donnera aux équations précédentes celte forme;
JÎ.'"N E 3n» F/(iH — K)-f E'^L—
J SI 3 n=
