LIVRE IV, G II A P. IV

milivcmcnt (ourné autour d'un axe principal , ce qui eat probablement le caa de tous les corps célestes.

§. io3. Supposons que l’a-xe des Z, A D {Fig. 18.) s'écarte très > peu de l'axe de rotation AP, et quo par conséquent le plan des X', Y', coïncide h peu près avec rétjiialeiir, X', Y', Z', étant les coordonnées de l’élément Z, relatives h l'équateur et à l'axe de rotation, ensorte que Aj:=Z', xy — — X', /Z = Y'. (,'ela posé, X', Y', Z', seront les lignes qui ont été désignées (§. 8a.) par — y, x, i; on aura donc (5. 8a.)

r X' = X cos 1) sin ÿ -4- Y sin 11 sin ^ — Z eos J, Y' = Ycosi| — Xsini), (17) J

C Z' — X cos Si cos S -}• ■'I cosi -1- Z sin »,

la position do l'a.xe do rotation, qui est supposé invariable pendant le tems dt, étant déterminée par son inclinaison sur le plan des X, Y, EAF=:», et par l’angle BAE = ii que fait la commune section AE avec l’axe des X, de sorte qu'il faut regarder les angles r;, », comme conslans pendant la rotation instantanée. Soit maintenant l'axe de rotation représenté par A D, les coordonnées de l'élément y étant A U = X', U X' 2c Y', X'y:ccZ': cela posé, les distances de l'clément à l'axe et il l'équaleué, AX' et Z', ne seront point altérées par la rotation. En supposant donc, que la rotation se fait suivant BC avec la vitesse angulaire u, l'élément y tournera parallèlement à la direction X'Y ou PX' qui est perpendiculaire à AX', en parcourant en une seconde la ligne u.AX'rce.- on aura donc

dX' = — ea/,inüX'P=— cdr»inUAX'=:— — a», 3Y' = ^'d/, d’où l’on conclura ces trois équations, .

dX' = — u.Y'd/, dY'rcw.X'd/, dZ' — o, et en substituant les valeurs (17),

dX cos ï) sin » -)- dY sin n sin » — dZ cos # c= — u . Y'd/, d Y cosr) — dXsin U. X'd», d Xcosri cos»-l-d Y sinr) cos»-j-dZsin »=r O.

Si l’on ôte la première de ces équations, multipliée par cos», de la troisième multipliée par sin », il viendra

=: « . Y' cos ».

Si l'on multiplie la troisième par cost), et la seconde par —ainsi cos», et

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qu'on les ajoute ensemble, on aura dXcosi-|-dZcosT|sin^= — w .X'd/sinv)Cos<,

et si l'on substitue au lieu de dZ sa valeur (i8), il virndra

(19) ^ = — X (X' sin T) -j- Y' cos >] sin S),

La somme de la première et de la troisième, multipliées respeclivement par ain S et par cos«, donnera dX cos »i -)- 3 Y sin r) ~ — x.Y'd^sinè, et en substituant (19), on aura

(io) M (X' cos n — Y' sin »i sin i).

La position de l’axe de rotation , que nous avons déterminée par les angles >), S, peut aussi être donnée par les angles que cet axe fait avec les trois axes principaux, savoir BAFr::a, CAF=rp, DAF — Y. En elTel on a ros a =: t os T) cos e, cos p =::sin 1) cos S, cos'Y=:sint, d’où il suit cos’a-jcos^ P -|- cos‘ Y ~ I , et sin^ Y =: cos^ a -{- cos’ p. Si l’on substitue dans les équations (18) (19) (ao) les valeurs (17), et qu’on Disse pour abréger,

(ai) ucosa=:p, w cos p = ÿ, u cos Y r,

on trouvera •

(G) |J=‘z9-Yr, ^=Xr-Zp, i5=Yp-X7.'

Nommons a', V, d , les forces accélératrices qui sollicitent l’élément dM sui- Tant 1rs directions des X , Y , Z, et désignons par P', Q', B', les momens de ces forces, pour faire tourner l'élément autour des axes AB, AC, AD, suivant CD, DB, BC: cela posé, il est aisé de voir que la force d aura suivant les mêmes directions les momens, 0, a'ZdM, — o'YdM, que h' aura les momens, — éZdM,o, é'XdM, et d les momens cYdM, — c'XdM, o. On a donc

(sa) P' = (c'Y— i'Z)3M, Q'=(a'Z— c-'X)3M, R'^Cd'X— a Y)3M.

En substituant les valeurs de d, b', d, ($. 99. (a;), la somme des momens dans le corps entier sera

^1V — ZdiY) T-n' ï(ZddX — XddZldM

*„/ ilXddY — YddX) 3M X iv ~ "

ag df*

La dilTérenlialion des équations (G) donnera

■ = Zd,/ — Ydr-I- (\>7 — Xy'- — Xr^ Zpr)9l,

' = Xdr — ZBp 4- (Zyr — Y|>- -f X/»y', Bt,

zzY Bp — \Bq 4" i.^P’ —

Mainlenanl, lea a.vea des X, Y, Z, étant des axes principaux, il faut ae rappeler que, dans les intégrales X P', XQ', XR', tous lea termes disparaissent, qui ne soûl pas multipliés par X' ou Y’ ou Z’, et qu'on a nommé XX*dM — A, XY’3M~B, XZ^dM=:C; d’où l’on conclura ces équations, agXP'=(B + C. ^4-(B-C:yr, ag XQ '=(A4- C) ^ -f (C- A)pr,

a^XR'r; (A -I- B) 4- (A — B) p g; et en substituant A 4~ B := Mc*,

A4-C=Mi*, B-fC = Ma%