II

O = r: Q - a, o ='^’ ZR' -a.+

pqBl.

Si l'on met dans les équations (la), au lieu de a, b', c', leurs valeurs (S- 99- (')). on aura

I>'=^(Ya-Zy\ Q'=I^(Zx-Xa), R' = (Xj- - Y,),

St, y, s, étant les coordonnées du corps V. Mais ^ 4- ^ (X 00s v 4-

Ysinv4-ZX) (§. ioi.)j et le termme — disparait dans les intégrales XP', XQ', XR', parce qu'il ne renferme que les premières puissances de X, Y, Z. On aura donc

XF=^^ (Bssin» — Cj-X), XQ'=^7?(CxX — Ascosv),

XR'= (A^ cos V — Bx sin w).

e’ + *»— O* „ c*+a'— 6* „ a'-t-ft’ — e»

Or A=-^î^î -, B=:-^^ — -, , x = ?cosv, y—(»inv,

s=fX (S. 100. (4)},

f f>(, + X*js

d’où il viendra

(S- *00.), et

e*(i-fX‘)

aeïP' 3Xn* , . agity 3 X n* , .

= — (c*-é*)sinv, — - (a*c*)cost>.

• fX»

174 ASTRONOMIE PHYSIQUE

Au moyeu de ces valeurs

= sin V cos V.

les équations (H) deviendront

"" èt

(^pr —

“ èt

(pq —

§. 104. Si la planète M n’est sollicitée par aucune action étrangère, les forces a, b', c', sont nulles, et leurs momens P', Q', R', le sont aussi: les équations (H) prendront donc, si le solide est libre, la forme suivante:

/T^ — àq c» — a» a^ — b*

Pour que la rotation soit uniforme autour d’un axe invariable, les quanti* tés p, q, r, ■(§. io3. (21)) doivent être constantes, ou dp, dq, dr, nuis, d’où l’on conclura ces trois équations de condition,

W (c" — b')qr — o, (n® — c)pr'ZZO, (i® — (P^pq — O.

Ces conditions sont satisfaites d’abord, si a — b~c, c’est-à-dire si tous les momens d’inertie sont égaux, et. que par conséquent tous les diamètres de la planète sont des axes principaux (§. 85.): le cas le plus simple est celui d une sphère homogène. Elles sont encore satisfaites, si deux des quantités p, q, r, sont nulles, ce qui arrive dans le cas où le corps tourne sur un axe principal. En effet, si c’est l’axe AD, on a (§. io3.) arzp^rpo*, et y— O, d’où il suit (21) p — o, tf~o, et La rotation est donc

uniforme et invariable, si le solide tourne autour d’un axe principal; et l’inverse de cette proposition est également vraie: la rotation uniforme ne peut avoir lieu qu’aulour d’un axe principal. En effet il ne peut exister qu’un des trois cas suivans: 1) tous les trois momens d’inertie, a, b, c, sont inégaux; a) deux momens, a, b, sont égaux, mais différens du troisième c; 3) tous les trois momens égaux, a~ b ^ c. Dans le premièr cas, pq, pr, qr, et par conséquent deux des quantités p, q, r, doivent être nulles, ou ce qui revient au même, deux des angles a, p, 7, doivent être des angles droits, et le troisième nul, afin que la rotation soit uniforme; d’où il suit que l’axe de ro-

t I V R E IV, C H A P. IV. 1,5

talion e*t un axe principal. Dana le second cas on a przziifr~o, donc p — qzz.0, ou bien r~o\ la première supposition donne = et

= O, à cause de cos* a 4- cos^ P -f- cos® *y =: i, d’où il suit que l'axe de ro* talion est un axe principal; la seconde snpposilion r=o donne 7 =r go*,

Taxe de rotalion coïncide donc avec le plan des X, Y, dans lequel tous les diamètres sont des axes principaux, parce que les deux momens , a, b, sont égaux ($. 85.). Dans le troisième cas, a^bzzc, les quantités p, q, r, sont indéterminées; mais tous les diamètres qui passent par le centre de gravité A, étant dans ce cas des axes principaux, l'axe de rotalion le sera aussi.

$. io5. Dans tous les cas, où l'axe de rotation n'cst pas un axe prin>

eipal, soit que le solide soit libre ou qu’il soit sollicité par des i'orces étran-

gères, la vitesse de la rotalion, aussi bien que la position de l’axe, sera assujettie h des changemens qui dépendront et de la conformation du solide, ou ce qui revient au même, des quantités a, b, c, et de la position de l’axe

de rotation relativement aux trois axes principaux, ou des quantités p, q, r.- r

Le cas où l’axe de rotalion s’écarte très-peu d'un axe principal, sans coïncider entièrement avec lui , mérite une attention particulière. Si cet axe est celui des Z, les quantités p, q, sont à peu près nulles, errsorte qu’on peut négliger leur produit. 11 résulte donc des équations (J), que dr est nul, et r unv constante zz.h; ce qui donnera aux deux autres équations la forme, o~bp -\~-

e» JJ qJ fJ

— hqètr o = dç-l — — hpèt.' Il Oit visible, que l'intégrale doit

avoir la forme,

p = m sin («/ -f- i), m' cos (u/-4- i),

m, ni', n, t, étant des constantes. On en tirera o— mn-j ^ hm',

0~ — m n -| -g;— hm, d’où il suit „

L'expression de n donne lieu è des réflexions importantes.

Si — c'*) (é® — c") est une quantité' positive, c’est-à-dire, si le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation, M c', est plus ou moins grand que M<i* et Mà®, et par conséquent le plus grand ou le plus petit de tous lèa momeus ($. 84-), n, m, m' , sont des quantités réelles, et p, q, sont des-

ASTRONOMIE PHYSIQUE «inus; les Tariations de la rolalion seront donc périodiques, et renfermées entre des limites étroites; l’axe de rotation fera de petites oscillations autour de son état primitif qui est donné par les équations p — m sin c, ÿ~r»'cos(. Comme p, q, ont primitivement été à peu près nuis, par hypothèse, m, m', sont des quantités très-petites, et p, q, seront constamment peu dilTérens de zéro. L'état du mouvement de rotation est donc stable, si le solide a primitivement tourné autour d’un axe, très-peu éloigné d'un des deux axes principaux dont les momens d’inertie sont le plus grand et le plus petit: alors la vitesse n’éprouvera que des changemens insensibles et périodiques, l’axe de rotation fera des oscillations très- petites autour de l’axe principal, et la rotation reviendra toujours è son état primitif. Mais si le solide tourne à peu près autour de l’axe principal , dont le moment

d’inertie Mc* est entre les momens, des deux autres, Ma*, Mé*, la rotation

sera assujettie k des changemens qui, au lieu d'étre périodiques, pourront augmenter indéfiniment. Car alors n étant imaginaire, les^ sinus et cosinus de nl-^- t se changeront en exponentielles qui peuvent croître ou décroître sans cesse. Dans ce cas il n’y aura poiiit de stabilité dans le mouvement de rotation , e^ la cause la plus légère peut lui faire éprouver des changemens illimités. Comme la rotation du soleil , des planètes et des satellites que nous pouvons observer, est évidemment dans un état stable, il parait certain , que tous les corps célestes tournent è peu près autour d’un axe principal , par rapport auquel le moment d'inertie est le plus grand ou le plus petit; et il est vraisemblable que le premier cas a lieu, parce qu’è cause de l’aplatissement dû h la rotation, l'axe est plus petit que les diamètres de l’équateur, et par conséquent son moment d’inertie plus grand,