H A P. VIL
inr sa dëcooTerle de l’attraction universelle de tonies les molécules j an lieu que Huyghens eut supposé, que la force attractive était une propriété particulière du centre de la terre, que par conséquent 1a direction de la pesanteur, en faisant abstraction des forces centrifuges, passait par le centre de la terre, quelle que fût sa figure, et que la pesanteur, dans toute l'étendue de la terre, était proportionnelle à une puissance constante X de la distance r au centre. Cette hypothèse simplifie singulièrement les recherches. Soit {Fig. a6.) C le centre de la terre, P le pôle, A un point de l'équateur, C A m, C P = n, C M r= r, A C M p, et nommons A et F la pesanteur
et la force centrifuge sous l’équateur: cela posé la pesanteur en M suivant
MC sera = ^ A. Ayant abaissé sur CP la perpendiculaire NMQ, la force
centrifuge y eiv M suivant MN est proportionnelle à la distance de l’axe
(S. 69.), parlant f = ~ F ~ 1.?-“*-^ Fj elle sera donc suivant Mm —
1“ COS* 3 ^
fco$Q~ F, d’où il résulte la pesanteur, diminuée par la force cen-
A F s? co>* 3
trifiige, suivant MC= — ^ J», et la pesanteur de l’élément
Ar^ir Frireoi'p f • , i-J" • j , 1 i i v 1.
, en faisant lépuisseur de tous les canaux MCdgaleal u-
ArX*+-> Fr*co,*J
nilé: l'intégration donnera la pesanteur du canal entier CM ~ î:.
En faisant p=:o, r—m, et ensuite p = go", r~n, on aura la pesanteur
du canal CA^^^ -, et celle de CP=rT^^-r — «r. Comme elles
doivent être égales, par hypothèse, on aura l'équation
a Am^"** ' — (X -f i) Fm^^-^- • = a An^'
d’où il suit le rapport des axes,
On verra plus bas, qne la rotation de la terre donne ^ H suit
La supposition que U pesauteur soit proportionnelle è est è la vérité contraire è l’attraction universelle, en vertu de laquelle ce rapport n’a lieu que dans le cas où le solide est une sphère homogène. Cependant la figure de la terre ne s'écartant pas beaucoup de la sphère, l’erreur qui en résulte, ne peut pas être sensible: en effet, si l’on fait X o, ensorte que la pesas-
»>« astronomie physique
leur est constante sur toote la terre, on aura m : n 5^8:577, ce qui est le rapport adopté par HujrAhens; si l'on fait — 3, on aura m: n :: 579:578, ce qui ne dillëre pas sensiblement du rapport précédent. Mais l'autre sup* position, que la direction de la pesanteur passe connstamment par le centre, ce qui ne peut arriver que dans la sphère, est la source de la dilTërence considérable qui existe entre ce rapport et celui qui résulte de la théorie de Newten ou des observations.
Quand la théorie de la granfalion universelle eut été confirmée par une foule d'observations et de découvertes astrononiques , l'hypothèse de Huy- . • ghens n'était plus admissible, et l'on fut forcé de prendre pour principe, que les corps sur la terre ne pèsent pas simplement vers le centre, mais qu'ils sont attirés par chaque élément de la masse terrestre, en raison di* recte de la masse de l'élément, et en raison inverse du carré de sa distance. Ainsi la pesanteur d’un corps est la force résultante des attractions innombrables de tous les élémens. Celle •gravitation universelle imprimera à la terre la figure sphérique, si elle n’a point de rotation. Mais dès que le mouvement diurne de la terre commence, tous ses points hors de l'axe recevront des forces centrifuges, qui seront d’autant plus fortes, et plus direc. tement opposées à la pesanteur, que ces points sont plus près de l'équateur. Ainsi la pesanteur diminue depuis le pôle jusqu’à l’équateur; la masse fluide de la terre s’élèvera vers l’équateur , la figure de la terre sera aplatie vers les pôles, et les méridiens ne seront plus circulaires. Or comme ils ne s'écartent que très-peu du cercle, il est naturel d'essayer d’abord Vellipse qui, de toutes les courbes, approche le plus du cercle: il s’agit donc d’examiner, si des méridiens elliptiques sont susceptibles de l'équilibre, et quel doit être le rapport entre les axes de ces ellipses. La solution de ce problème, suivant la théorie de Newton, est l’objet du Chapitre présent.
§. 13». Lkume. La section du sphéroïde elliptique par un plan quelconque est une ellipse. Soit LRNO cette section {fig. 37.), PQ l’axe du sphéroïde; abaissons sur le plan LRO la perpendiculaire P/>, et menons par Pp et r.ixe le plan du méridien PAQ, qui coupe perpendiculairement le plan LRO en MN et l’équateur en ’A. La position «lu plan générateur étant
donnée, on connaît F K et PKM=:c(, ce qni donne dana le méridien ellip» tique le point M, et par U nature de l’ellipae, lea coordonnéea Pm = e, Mm = e. Que d’un point quelconque R de la courbe, on abaûie lea per< pendiculairea HS aur MN, et RT, ST, aur PQ, RS étant perpendiculaine au plan PAQ. En nommant MS=<, SR = u, on aura r»T = Sazzteoa «, Ma=/aina, donc PTr=c-f-/coaa, ST=:« — /aina. Or le point R étant auaai dana le méridien elliptique PRQ, la figure du ^héroïde donnera, e» faiaant le diamètre de l'équateur =am, et l’axe —%n, Téquation aoirante entre PT et TR:
TR* = ^ («n.PT — PT*), d’oik l’on tirera u*=TR*-ST», on n*a*Zam*nc-mV— n*e*+ a / {m*(n— c)coaa + n*eaina) -<*(m*coi*« +n*ain*a). Maia on a, pour le point M dana l’ellipae PAQ, n*e*=/n*(ane — c*), d’où il vient, en faiaant, pour abrégei^ •
m* coa* a -\-n~ ain* a ~ M*, m* (n ■ — c) coa a n* e ain a = N, n* u* = aNr —
St l’on fait u=:o, on a t — o et / — MN, parlant Mc = ?MN =yz=
En nommant donc eS =: x, il viendra t — f — x, donc n* = — (/* — i*).
Cette équation noua apprend, que MRN eat une ellipse, dont le centre eat c, et lea deux axea MN~ay aca= — M, qui aont entre eux comme
fl
n i M. L’ellipae ae changera en cercle, ai a =: 90“, le plan générateur étant perpendiculaire è l’axe. Dana tout autre caa, le diamètre MN qui eat dana le plan de Taxe PQ, aéra le petit ou le grand axe, aelon que le aphéroïde eat aplaK ou alongé, parce que n* — M* = (n* — m*) coa® a. Noua alloua en tirer deux concluaiona importantea.
1. Si le plan générateur ou MN eat parallèle è l’axe PQ, on a
B = O, M = m, y= n — e =: C m, et U* = ^ { (n — c)* — x* } .
Il*
L’ellipae MRN eat dana ce caa aemblable aux méridiena , le petit axe M N a (n — c) eat parallèle è l’axe ou perpendiculaire è l'équateur , et le grand axe — (n — c) eat ailué dana le plan de l’équateur.
a. Concevona que le plan générateur ou MN avance parallèlement, enaor> te que c aoit invariable, pendant que c et e changent: cela posé, M et le
aïo ASTRONOMIEPHYSl (? U E
rapport <fei deux axes est constant, mais f ou la grandeur absolue des' axes change. II s'en suit, que tous les plans parallèles qui couperont le sph>troî<l<>, donneront des ellipses temblabltf, si donc deux sphéroïdes semblables et concentriques, dont les axes ont même situation, sont coupés pur un pluo^ les denx sections seront des ellipses scmblubles.
§. ia3. TuioKÈME. Deux points matériaux qui, à ta surface de deux torps semblables, ont des situations analogues, seront attirés par les corps avec' des forces qui sorti entre elles comme les distances au eentre, ou comme les diamètres de ces corps. Soient {^Fig. s8.) M, m, les deux points, et M N 0, mno, les deux corps, auxquels on a donné une situation semblable autour d'un commun centre C: cela posé M, m, se trouveront sur le même raj'on CM. Ayant mené deux cordes parallèles MN,. mn, on aura, à cause de la ressemblance des solides, MN : /nn CM : Cm, «Concerona que M, m, soient lee sommets de deux pyramides ou cônes évanouissans et semblables N MO, nmo, dont les bases NO ois NL et ni seront entre eux comme les carrés de MN et ma: prenons dans la première pyramide un point quelconque X, et faisons MX = j:, Xjr=rdx, et la surface XY = X qui est parallèle è hi base N L: cela posé, réicmcnt X.j'tZiXdx exercera sur le point M l’attraction ~ ^ d’où l’on conclura raitraclion de la pyramide MX =/
Soit a:=Aa la base des deux pyramides MN, mn, è la distance MA=:is alors la base à une outre distance x sera X=zax^, d'où l’on lire l’attraction de la pyramide MXz=/e.di=ar, celle de la pyramide MN=tt MN, et de la pyrcmide mn — a.mn. Il en suit en général, que les attractions qu'exercent des pyramides semblables sur des points dans leurs sommets, sont comme les hauteurs, ou d'autres lignes homologues, de ces pyramides, c’est-àdire comme leurs racines cubiques. Puisque ^ — aussi
... . , X IT t
exprimer latlraction de la pyramide par —
Ainsi les points M, m, sont attirés par les pyramides ou les éiémeaa semblablement situés de leurs corps, MNO, mno, arec des forces qui sont entre elles comme MN : mn :: CM i Cm,- et ces forces élaat décomposées suivant une direction quelconque MC, mC, seront comme MNcosCMN et mncosCmn, donc comme MNimn; ;CM:C/n, Puisque les pyramides sont
•apposées èire semblables, elles seront dans le rapport de CM^ et ou
dans celui des solides entiers: d’où il suit que les deox solides renferment le même nombre de pyramides semblables. L’attraction des solides entiers sera donc aussi dans le rapport de GM: Cm. Puisque le point C est arbitraire, MC peut représenter la direction moyenne de toutes les attractions élémen* taires; et alors on aura le théorème qu’il fallait prouver.
$. I34> Tk ÈotiÈtÊ e. Les atlraclions <jue deux points matériaux qui se trouvent sur le même diamètre du sphéroïde elliptique, éprouvent par Faction du sphéroïde entier, sont comme les distances de ces points au centre. Soit (,Fig. ag.) A FED une section du sphéroïde, P un point materiel dans le plan de cette «ection, et concevons un sphéroïde semblable, mené par P dans la même situation que ÂFE, dont la section soit PQe</: cela posé, AF ED, VQed, Seront de.^ ellipses semblables {§. 122. n. a,). Ayant mené par P deux droites infiniment proches l’une de l’autre, DP F, EPG, elles formeront les pyramides semblables P G F, P DE, P de, si le plan AFE tourne autour de P, en décrivant uo sogle infiniment petit; et les attractions U, V, v, que les pyramides PGF, PDË, Pde, exerceront sur P, seront comme les distances PF, PD, Pd ($. ii3.). Si C est le centre des deux ellipses dans cette situation, et y* le milieu des cordes FD, Pd, on- aura PF=:Dcl, d’où il suit V — 'o:U:;Drf:PF::i:i; l’attraction du segment DEerf est donc égale à celle de la pyramide P F G; Or ces attractions étant opposées l’une à l'autre, le point P sera attiré seulement par la pyramide Vde. 11 en est de même de toute autre ligne dans le plan AFE, d’où il suit, que le point P est attiré par l'élénieat sphéroïdal APEC qui rst renfermé entre deux plans passant par P, précisément comme s’il était attiré seulement par l’élément du sphéroïde intéiieur PQeC. Concevons maintenant, que le plan AFEP, en tournant autour de P, traverse le sphéroïde entier: alors ce qui précède, aura lieu dans chaque position de ce plan, ou pour chaque élément du sphéroïde, et par conséquent dans toute l’étendue du sphéroïde: le point P éprouvera par l'action du sphéroïde entier la même attraction, que par l’action seule du sphéroïde semblable PQeC, à la surface duquel' P se trouve.
ASTRONOMIE PHYSIQUE
Soit maintenant C le centre du sphéroïde, et p un autre point sur le rayon G P, lequel éprouvera, par ce qui précède, l’attraction seule du sphéroïde semblable passant par p.* tes attractions des deux points P, p, seront donc comme CP, Cp (§. laS.), ou comme leurs distances au centre C. ' Le rapport précédent a encore lieu , si le sphéroïde tourne autour d’un axe RCr.- car le diminution de la pesanteur des points P, p, due aux forces centrifuges, suivant SP, sp, est dans le rapport de SP:sp::CP:Cp (S* ^-)* pesanteur étant, par ce qui précède, dans le même rapport,^
et les forces centrifuges ayant la même situation par rapport à la pesanteur, parce que les deux points sont sur le même rayon; la pesanteur, diminuée par la rotation, suivra aussi le même rapport.
§. xa5. Tb ioukus. L’équilibre ne peut avoir lieu dans le sphéroïde elliptique , que lorsque tous les points à la surface sont attirés vers le centre^
en raison inverse des distances au centre ou des rayons du sphéroïde. Soit'
{Fig. io.) AMP le méridien elliptique, P le pôle, A un point dans l’équa- ^teur, M un point quelconque, CA = m, CP=in, CMrrr, et désignons par A, P, M, la pesanteur vers le centre , qui aurait lieu sous l’équateur , au pôle, et dans le parallèle M, si la terre ne tournait pas sur un axe. Concevons de petits cylindres de même épaisseur, qui s’étendent de ces points jusqu'au centre; alors chaque point dans les sections perpendiculaires de ces canaux, ab, pq, mn , éprouvera l’attraction ^ A, ^ P» M , vers' G
(<$. ix4')« faisant donc Cor=x, Cpzz.j, Cm^z, on. aura la pesanteur
des élémens cylindriques ba — fii.? A, o'ir :z: P, * — M , d’où
U résulte, si l’on fait après l’intégration azzzm, y — n, z~r, la pesanteur
des canaux entiers, CA:=?/nA, CP=InP, CM = "rM. Comme tous ces
canaux doivent se faire équilibre en C {$. lao. n. i.), on a mA=nP.= rM, ou A:P::n:m et A:M::r:/n. L’équilibre a donc lieu dans la sphère, si elle n'a point de rotation, parce que m = n = r et A = P = M.
Si le solide tourne autour d’un axe, la proposition précédente a également lieu. Dans ce cas chaque point m sera sollicité suivant CA par la force centrifuge V Z 69.) , u étant la distance du point m k l’axe,
h l’accélération de la pesanteur en m, et Z le poids du point matériel rn. Or
L I V-R E lY, C H A P. VII. ai3
le« matSM d«t ël^eos m étant aupposées égale*, leur* poids seront proportionnels & h: en faisant donc Z = 3 p. A , il viendra \ u , et
u”ïsinPCM, donc Vrp'V'isinPCM, j étant nCm. Il en résulte une pression suivant mM = VsinPCM^:^.^** sin® PGM V'. Mai* Z:= * M (§. i340i la pesanteur de rélément suivant mC, diminuée par la force centrifuge, sera donc (Z — V') dsrrsda — n’V* »•““ P C M^, dont l'intégrale donnera la pesanteur diminuée du canal entier CM=:i(Mr — n7®r®sin®P CM) = V''.
'Si l’on met dan* l’expression de V', r à la place de z, on aura la force centrifuge du point M suivant CM = pV* rsin° PGM :r: M', et sa pesanteur diminuée = M" = M — M'=:M — K'VVsln*PCM, partant V" = î M' r. Si l’on nomme A", P", la pesanteur de* points A, P, modifiée par la force centrifuge, on 'trouvera de la même manière la pesanteur modifiée du canal GA = |A'm, et du canal CB=:^P''n. Or tous ces canaux devant exercer la même pression dans le <As de l'équilibre, il s’en suit M" r=: A"m =: P' n; ce qui nous apprend, que la pesanteur, diminuée par la rotation, vers le centre, est aussi réciproque aux distance* du centre. Mais il sera bon d’observer, que cette jkression vers le centre n’est équivalente è la pesanteur des corps graves, pevjiendicnlaire à la surface, que dans l’axe et dans l'équateur.
$. 136. P M.O» Li K s. Etant donné dans PcUipse APB 3l.) un
point Z, d’oïl Pon a mené Z T poroUèlement à P un des deux axes AB, et deux cordes ZM, Z/n, gui Jxmt arec ZT des angles égaux TZM =TZm — (fj ayant de plus abaissé des trois points Z, M, m, les perpendiculaires ZD, LM H, ‘
mlhj sur AB; trouver la somme des deux lignes ZL, Z/.
Solution. Soit C le centre de l'ellipse, et nommons GA — GR ■ — tt,
CP — Cp — b, Ah~t, hm'^u; le point Z étant donné par les coordonnées AD — c, DZ=::e, la nature de l’ellipse donnera pour les points Z et m les équations:
O® e’ é* c (ao — c) et aPu^ — b*l(ia — /).
En faisant donc Zl—x, Im—y, on aura x—t — c, y—u — e, d’où l’on tire ““ — e*— jr(jr-j-ï«). Or les deux équations précédentes donnent o’(u* — «’)= é* (t — c) (an — c — 0» d’où l’on tirera a^ y {y ^e) — x {aa — ic — x).
Si l’on y substitue jrr=xlang$, on aura Zl — x— — — et en mettant LZM — — ^ au lieu de IZm = -j-^.
«i4 ASTRONOMIE PHYSllQUE
Z L = y = . a-où n ré.uiie ^
a’unj>^ + 6» » ' a*ig*4)+**'
Si iaog(]) Mt plus graad que ^ — — , s devient négatif. En eCTet,
1a droite qui touche la courbe dans un point quelconque, fait avec une lignev
paiallHe aux abscisses I, comme ZT, un angle 4' tangente est
in b*{(2 — t) — ®) r» -I »
— — — ^ : on a donc dans le point Z, Ig \Ji =: — i-; . •' “•*
Or il est
visible que, si l'on fait (^^'1', Zm ou Zv rencontrera l’ellipse de l’autre
J . , . J „ 3a»els;!b — 26*(o — e)
coté dans un point n, ce qui donnera Zo“ — j!=: : — rn — r: ~é
0*f«— e) a*ig*q> + 6* *
et a.' — j:~ — — ^ ^ , comme précédemment. La somme algébrique des
4i*(a cl
deux abscisses ZL, Z/, est donc constamment -r — — -,
. «* is ^ 6’
Soit maintenant D le sommet, C le centre d'une ellipse DFEG, sent*
blable à AZBP, et faisons £DQ = ED<7=:$; cela posé, les cmrdes DQ et
ZM, Dç et Zm, seront parallèles entre elles, et la nature de l'ellipse don*
nera l'équation ,
Rg* = Rÿ» = DR»tg*(J)=5* DR(aCD — DR), et CD=a— c, d’où il suit
