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Comme AB pourra être, dans lés formules précédentes, le grand ou le petit axe, on en conclura ce théorème général; A^ant mené d’un point quelconque Z d’une ellipse, deux cordes, inclinées sur l’un des axes de l’ellipse AB sous des angles égaux, ZM, Zm, ou ZN, Z/i; ayant ensuite abaissé sur le même axe AB les perpendiculaires ZD, LM H, m/ A, et décrit par le point D, sur l’axe AB, une ellipse semblable è la grande; aj’ant enfin tiré de D deux cordes, parallèles aux cordes ZM, Zm, on ZN, Zi.- on aura ZL-j-Z/ ou Z O — Zo=:aDR.

$. ti-j. Soit Z un point è la surface do sphéroïde elliptique, C le centre, P/> l’axe, A B un diamètre de l'équateur: cela posé il suit de ce qui précède, que l’attraction moyenne sur Z doit passer par l’axe, parce que le plan ZAP B partage le sphéroïde en deux portions égales et semblables ($ ISO.): l’attraction qu’éprouve Z, pourra donc être décomposée suivant deux directions, dont l’une est perpendiculaire, et l’autre parallèle à l’axe. Supposons que la ligne Z Y, qui est parallèle à l’axe, rencontre le plan de l’équateur V|i D, qu’il soit décrit par D un sphéroïde semblable sur les niê-

■F» ax«», et que le plan AZBP tourne autour de Z Y: cela pesé, quelle que aoit la puiiûon de ce plan, tes intersecliona avec les deux sphéroïdes {urineront deux ellipses semblables AB,' DEI, dont les axes sont AB', Pp, cl DE, F G, D étant le sommet commun à toutes les ellipses intérieures^ cl le plan générateur par Z Y étant constemment parallèle à l'axe L'attraction de l’espace sphéroidal, renfermé par deux ellipses qui se coupent sur Z Y sous un angle infiniment petit dans une position quelconque du flan A Z R, est la diflférenlielle de l'attraction que le sphéroïde entier exerce sur Z. Soit donc ZL parallèle au grand axe des deux ellipses ou h l’éqna» leur ($. laa. n. i.}, et tout le reste de la £gure tracé comme dans le précédent: supposons que les cordes ZM, Z/n, DQ, Dç, s'éloignent des deux cûtés de ZL et DE, avec la même vitesse angulaire, ensorte que les angles LZM, LZ/n, EDQ, ED^, soient constamment égaux entre eux; et concevons que, dans chaque position instantanée, M, m, Q, soient les bases infiniment petites de pyramides semblables, dont les sommets sont en Z et D. Cela posé, les attractions que les points Z, D, éprouveront par les actions des pyramides, seront comme les cordes ZM, Z/n, Dp, Dy(S, nJ.), d’od résulteront les allraclions,* parallèles è l’équateur, suivant ZL et DE, qui seront comme les abscisses ZL, Z/, DR, DR. Ainsi I» somme des deux attractions ZL, Z/, est à la somme des deux pressions DR, comme ZL-f-Z/ rit è a DR: elles sont donc égales ($. ia6.). Pendant quelles angles LZM, LZm, EDp, EDÿ, ont augmenté de zéro è 90°, le rayon vecteur ZM a traversé la surface eUiplique TBPYZT, Zm a décrit lec segmens T/nZT et ZAïZj les deux rayons ZM, Zm, ont donc parcouri» l’ellipse enlière AB, pendant que DQ, D^, ont décrit l’ellipse entière DE; et dans chaque position l’égalité précédente a eu lieu. Ainsi t'at> traction totale que l’élément sphéroidal AZBPA exerce sur Z suivant ZT, est égale à celle que l’ellipse DFEGD exerce sur D suivant DE, quelle que soit la position du plan ZYD. Pendant que ce plan, en tournant sur ZY, traverse le sphéroïde entier, le point Z éprouvera constamment une attraction, parallèle à l’équateur, suivant ZT, qui est égale à l’altraction de D pat l’action de DFEG: d’où il suit que la résultante, ou l’altraction moyeuu

«i6 A S T R O.N O M lE. PHYSIQUE

de Z, parallèle à l’équateur, est aussi égale et parallèle à rattraclion moyenne' que D éprouve par l’action du sphéroïde intérieur DE. Or celte dernière passant nécessairement par le centre du sphéroïde DE ou par l’axe, et ks points Z, D, étant situés dans le plan d’un méridien, l’attraction moyenne de Z, parallèle 4 l’équateur, coupera Taxe perpendiculairement (ce qui a déjà été prouvé plus haut), et sera 'égale 4 l’attraction que le sphéroïde entier DE exerce sur D.

' Puisque les mêmes raisonnemens.sont applicables > au cas, où AB est l’axe et P/> l’équateur ($. ia6.), il en suit de même, que l’attraction totale de 21, parallèle 4 Taxe, ést égale 4 l’attraction de D par le sphéroïde DE; mais

dans ce cas le sommet D du sphéroïde est situé dans l’axe.

$. laS. Soit {Fig’ 3a.) M un point du méridien PA, P le pôle, CA=:m, CP = n, la pesanteur sous l’équateur =A, au pôle = P, MK parallèle, et ML perpendiculaire à l’axe, et concevons deux sphéroïdes KN, LO, semblables au sphéroïde terrestre, décrits par K et L sur les mêmes axes: cela posé, toutes les forces qui sollicitent M, pourront être décomposées suivant MK et ML. En nommant donc K, L, les attractions des points K, L, par l’action des sphéroïdes > K N, LO, l’athraction que M éprouve suivant*

MK, sera = L, et l’attraction, suivant ML ou KCznK (§. 137.). Or on a,