KE

- X (§. 128.), parlant M G . r— x^-f-y^ — æ" -4- ~ — r x® — n\

On a de plus M E=V zz

ffl-*

, et M =

2i8 astronomie physique

(§. 138.), donc rr —p- Cela donne U pression du canal CM ver» le centre C=:^A.m, ce qui est une quantité indépendante de la latitude de M, et égale aux poids des canaux CA, CP (J. laS.). Ainsi fous les conoux^CM depuis un point quelconque de la surface jusqu’au centre exercent en C le même effort; ce qui est la seconde condiliun de l'équilibre ($ iio. n.

On a donc vu que toutes les conditions que l'équilibre suppose, sont remplies par le sphéroïde elliptique ($. ia8.); d'ou il suit, que Veltipsc est la figure des méridiens, qui convient à l’équilibre, ce qui était le premier objet du Chapitre présent (J. 121.). 11 nous reste encore à déterminer le rapport qui doit exister entre les deux axes du méridien elliptique, conforménient à la rotation connue de la terre. Or ce rapport étant le rapport inverse de la pesanteur dans l'équateur et au pôle ($. laS.), il s'agit de déterminer ce dernier rapport.

$. i3o. Si l’on conçoit le sphéroïde partagé parallèlement à l’équateur en disques d’une épaisseur inSniment petite, le pôle de rotation sera en même tems le pôle de tous ces disques, et l'attraction qu'un disque quelconque exerce sur le pôle, sera la difTérentielle de la pesanteur au pôle. Soit (i-ijg. 33.) AB un de ces cylindres éranouissans, CAr=a le rayon de sa base ou du parallèle, CP=:r la hauteur du pôle au-dessus de la base, donc l'épaisseur du cylindre —dr: ayant décrit du centre de la base deux cercles infini-

ment peu éloignés l’un de l’autre MN, mn, et riommant CM=x, Mm=dx; la surfece MmnN sera = > xxdx, et l’anneau cylindrique MeinN %‘ftxdxdr, ce qui est en même tems sa masse M, si l’on suppose la densité = I. Chaque élément dM do l’anneau attire P suivant PM avec la force , et suivant P C avec la force : l’attraction totale de l’anneau sui-

y JW FM’

Tant PC sera donc gn intégrant par rapport è x,

PM X'nrèr

on aura l’attraction du cylindre MCN suivant C = const. — —

xtrèrit ^ la constante étant déterminée ensorte que l’intégra-

V yir* + x*)/

le soit nulle, si arest nul. Eh faisant xz=a, on aura l’attraction du disque entier AB:^avrdr ~airdr(s— cosAPC)— 4*3rQin^APC;*;

cc qui est 1» moyenne direction et grandeur de l’attraction , les forces latd' raies suivant CA, CR, etc. se détruisant mutuellement.

J. i3i. Soit {Fig. 34.) A PB le demi -sphéroïde, P le pôle, AB l'équateur, C le centre, ab, «jî, deux parallèles, CK~m, CPr=n, Perzr, ca~cb^y, cy~dn cela posé P sera attiré par l'élément du sphéroïde a(ï «vec la force airdrf i — — — jr) (S. i3o.) rairdr^ 1 — - — — Ti~ï f — ^P|

parce que la nature de l'ellipse PA fournit l’équation y'=-j-(anr — r^), et l* e«t —rri^ — n*. L’intégration donnera

n ^ 1 1 nyfam’nr — i* r*) . a m* n’ , , y (a m* ri 1 —

P = aar^C-l-r-|- -, ^ ~ Arc lang V-J

ce qui est l'attraction du segment du sphéroïde aVbc. Pour que l’intégrale soit nulle, lorsque r est nul, il faut faire C = — — Arc tg —

■ ir, d’où il vient

' = air^r-t-

ny(im*nr — l*r*l am*n*

Arc tang

7* !• “y^am'nr— I*

En faisant r—an on aura am'nr — Pr^'zz^n*, et l’attraction du sphéroïde entier sur P, ou la pesanteur au pôle,

P = 4irn -hpj ïT Arc tang -^= — - — — - Arc tang

Puisciu’il est en général Arc lang — r -I- - — -, — cet. on peut dé-

°nn3n’'5n* velopper P en série, ce qui donnera

4-Tin>iiC7* 7‘ , 7* J 4ffm»C 3 7* , 3 7* 1,

Prenons sur CB, CF=:/, joignons PF, et décrivons du rayon PC = n l’arc CD: cela posé F sera le foyer de l’ellipse, tangCPF = — , donc P=^^— (CF— CD).

Si le solide est une sphère du rayon a, on a /=o, m — n—a, d’où

il vient l’attraction d’une sphère sur un point k sa surface, S = ^'?ra, et

en nommant la masse de la sphère =M, S=:: 'j^: l’attraction sera

donc la même, que si la masse entière était réunie au centre de la sphère.

§. i3a. Soit {Fig- 35.) AMBN l’équateur, et par conséquent un cercle auquel l’axe est perpendiculaire au centre C; soit AB la projection du méridien du point A, dont on cherche l’attraction; soient enfin AM, Am, deux plans quelconques, perpendiculaires à l’équateur, dont les intersections

avfc le sphéroïde sont des ellipses, semblables au méiiJien, tellement situées, que le grand axe AM~au est dans l’c.|iialeiir, et le petit axe —ib est perpendiculaire à l'cqualeur, a étant k b comme m à n lai.''. Les plans A. VI, A ni, renferment une portion évanouissante du sphéroïde, dont l’attiaction est la diiréicntiellc de celle du sphéroïde. 11 tant donc regarder l'incliuaison d’un plan à l'autre, MAni, comme la diirérentielle de l'angle BAM. I.n faisant donc BAM~$, MAm~d$, il faut regarder ^ et comme des quantités constantes, lorsqu'il s’agit de raltraclion de félément MAm. Après avoir trouvé, par une première intégration, cette dilféientielle de l’attraction, toutes les quantités variables de l'ellipse AM doivent être exprimées en fonctions de tpj alors la seconde intégration’ par rapport à $ ■tonnera raltraclion du secteur sphéroïdal BAM. Comme la direction moyenne de toutes les forces qui sollicitent A, passe nécessairement par le centre C, on peut d'abord décomposer chaque attraction AM suivant AR et RM; alors les forces RM seront détruites par des forces analogues dans l’autre moitié du sphéroïde A N B, et la somme des forces A R donnera la force totale qui attire A vers le centre. £n nommant donc l'attraction de l'élément A M/n suivant AM Q , et raltraclion suivant AB = Q', on aura Ç' — Ç cos if. Or AMBN étant un cercle, AM B est un angle droite ek l'un aura

A M = A B cos tp, ou nzz m cos $, donc b — ^ a ~ n cos (p, et V (u* — b') = c = cos $ Y (ui’ — /i’) = l cos

i33. Les deux plans, perpendiculaires à l'équateur, qui, dans I» l'i'g. 35. ont été projetlés en lignes droites, sont représentés en profil dan» la fig. 36: ils sont piojeltés sur le plan AM, l'oeil étant supposé perpendiculairement au dessus de C au pôle L de l'ellipse AM (Fig. 35.), et l'arc de l'équateur ALM étant projellé en ligne droite ACM (Fig. 36), et L en C. Leurs communes icetions avec le sphéroïde sont les ellipses A DM, htm, les plans se coupent sous l’angle sphérique D AZ~ df (.$• >33.), et leur commune section est la droite AE, perpendiculaire à AM, et tangenteaux deux ellipses; les demi-axes AC=:o, CD=:A, sont entre eux comme m et n i3t.). Menons par deux points V, •a^ de l’ellipse ADM, le»

LIVRÉ IV, C H A P. VII. sai

plan* AVZ, Avz, perpendiculairea à ÂVM, qui coupent le plan AZm suivant A Z et Az; et décrivons du centre A et du rayon AC=:a, une tphérc , dont le secteur CEAcC tombe entre les plans des deux ellipses, ensurte que l'angle sphérique CEc est égal à l'iudinaisoii La pyramide AVvzZA étant l'élément du secteur sphéroïdal ADMniZA, renfurtné pue les plans A .M , Am, son attraction èi/ sera la ditierenlielle de celle de ce secteur, que nous avons désignée par Q ($. i3a.).

Si l'on fait l'élément de la surface sphérique N\rn=::ds, l’attraction

de la pyramide ANr sur A est — (Ç. taJ.), d’où l’on conclura l’al-

traction de la pyramide semblable A V a = ds~d</ (§. ia3.). En abuis* sant dans le plan ADM, les perpendiculaires NO, no, VY, sur A.M, et nv sur N O, et nommant

AO=X, ON = Y, AY — x, Y\=zy. n* = 3X, Nv = dY;

les triangles semblables AON, N*n, fourniront N n = N » — ° ^

et > A X “ E sin E N = 5 Cp cos C N ~ — 3 $ , d’où l'on tirera l’arc

N X cz A N . N A X ^ Xd$. 11 suit de là ds N n 1 N X “ a3ip3 Y et ^<7 — A V

— d(pdY. Puisque chaque pyramide A Vu a une pyramide analogue d« l'autre côté de AM, la force résultante des deu.t pyramides et de tout le secteur du sphéroïde ADMmNA, passera par AM, et la ditTérenlielle de cette résultante, ou l'attraction de la pyramide AVs suivant AM est dQ::=

— do= - 3<J)3Y.

Ç. 134. On a par la nature de l’ellipse, y’c= -, '■zax — a*), et par les

triangles semblables A N fl, A V Y, 2 , d\,ù il vient

ofcyfi'a — x) so6*fo’ — V*)

rt» -f. c»xj ’ P“fhint X — „J„s ^

Ÿ {za b" ■+ e'x) ' ’ o’ü” ■(- c’ i '

ce qui étant substitué dans l’équation précédente ($. i33,', donner»

. dont l’intégrale est <? = > d?) Arc tang ~ - ï J ►

ce qui étant nul, si NOr=:Y=::o, est compté depuis Mm eu AC> Ainsi pour avoir l'allraclion du secteur entier MDAZ/nM, il faut faire CAN^rgo®,, •tt ce qui revient au même, Y =AE=:e, et multiplier par parce quli

y a de Vautre côté de A M un secteur analof^ue. L’attraction de VéliJiupnl entier A M w (7’%. 35.) suivant A M sera donc ^ j Arc Ig ^

et Vallracliou suivant AB, Q irrQcoscp (§. iSa.). En nommant a Vangle constant, dont la tangente est ■— rr — , et substituant orrojcosÆ, b—ncos<p,

c ~l cos $ (§. i3a.) , on aura Q' zz ^na — 3<|)cos"(p, ce qui est

la diHÜrenlielle de Valtrarlion du secteur BAM sur A suivant AB: son

*771^ / Tï^i\ X

inl(^grale est -pj- (<I5 comptée depuis AB. En faisant

donc 0 “ 90“ zz ? TT, et multipliant par 2, on aura l’attraction totale qu’éprouve un point A dans Véqualeur vers le centre du sphéroïde,

A = ('— ÿ) = (c» - s cf) *4.).

Si Von substitue a zz — - -l- — cet

on aura en serie

. / m* , in*I* m* /* , "X

A zz2-jrm { I ~ — — j- + cet.J.

§. i35. Les valeurs précédentes de A et P donnent la pesanteur sous réquateur et le pôle, qui résulte de l’attraction du sphéroïde, et qui aurait lieu, si la terre ne tournait pas sur elle-même; je l’appellerai la pesanteur absolue, et la pesanteur relative celle qui a été diminuée par la rotation. Soient donc A, M, P, la pesanteur absolue. A', M', F', la pesanteur relative, aux points A, M, P {Ftg. 32.), CA—m, CPzzn, CMzzr, et YzziS"

la vitesse de rotation: cela posé on a P' = P, et le rapport des axes, dû à l’équilibre, est (§. laS.)

Il reste donc à déterminer A', on la diminution que A éprouve par la ro« talion , c’est-à-dire la force centrifuge dans l'équatcur. Si l’on nomme M la pesanteur du point M, sa force centrifuge, ou la pression que M éprouve

par la rotation suivant LM, est F tz: — M .LM (§. 69.), et l'accélération

de celte force , y zz ^ Ï7‘LM. Dans l’équateur on a LMzzCA^ni,

M 2 *yi

M rz A; ainsi y se change en e — et F en Ezz A. Puisque E

est opposé à A, on a A'zzA — Ezz

ig-ym.

A. Si l’on fait, comme ci-

dessus (§. 59.), — zz i3o79i5 et 7 zz: 1 5'' zz 0, 000072712, on trouvera — zz

^••^zz;;-^, donc A' ZZ A — Ezz^^ A, et m;n;:a89P:288A. Mais pour

sa3

avoir une valeur exacte — —c, il faut égaler g à l'espace que les corps parcourraient sous l'ëquateur en une seconde, si la terre ne tournait pas suc elle-même; cet espace ne peut pas être oliservë immédiatement.

Nommons cet espace G , et G' l’espace observé qui est l’accélération de la pesanteur relative sous l'éijuateur; désignons par g, (f, les mêmes espaces relativenieul à un lieu M, dont la latitude soit |3. Les forces étant comme leurs accélérations, on a E ^ A, F — M. Or e étant opposé à G, on

a G'=G — c, donc E = et en substituant e — E ~

G'-ht’ - aG'-i-y^m'

d’où il vient A'~A — E — — . Comme les observations se font

ordinairement d’après le tems solaire, il faut égaler le tems d’une rotation de la terre è a3 h. 56m. 4*-=^ ^6>64s. ce qui donne Y =

La longueur du pendule à secondes donne le seul moyen pour déterminer exactement G ou g. Si celte longueur a été trouvée par observa-

ir* TT* £

tion, en A a, en M = A, on a G' a, ^:zz — b; d’où Von tire — ou

Elal’-f-irn)

\.at*