I -f afa
X' — L fa) «in* p'^
L 1 -f-*fa) *
d’où l’on tirera X — L:X’— L : : sin*p : sin*p', et L =
3, d’où il résulte
X>in*p^ — X'8»n*,3
Xiin*^)' — X'fin’p
•ifaSp* — tin* P
donc
~ X'tin'p — X»U*P'— s(X— X') ” Xeossp'— X'cu.sp 5lX— X')
Si L est donné par une mesure exacte, on a X == L, p'=ro, partant
L iin* P — a (X — L) L — coi a p) — 41X — L) "
Les observation* , faites par Bouguer à Paris et II Panama , donnent
P~4®*5o', P — 8°35', X=: 44°,58, X'~4%) donc (<)=: et w>:n:: 172: 171.
Suivant les observation* de Graham et de Condamine, on a p^rSi^Ji', p'= i*a8',
X = 44‘>i^4> X' = 439, a*5j partant fa)=-^ et m : n 188 : 187. La Ion-
gueur du pendule sou* l’équateur même, et ù Paris, L =: 4^9i^* 44*^1^71 donne u— ^ et m : /i : : 18a : 181.
Il résulte donc de* mesures du pendule, un aplatissement considérablement plu* grand qnc celui que donne la théorie, et presque le même que celui qu’on a conclu de* mesures des degrés, — (I. $. ai5.). Il paraît donc résulter de* observations immédiates, des degrés et de la longueur du pendule, que la terre est plu* aplatie, qu’elle ne devrait l’ètre d’aprës l’hypothèse, qu’elle ait été primitivement une sphère homogène. Il y a cependant d’autres mesures qui donnent un aplatissement moins grand (I. $. 19a.), de sorte qu’il parait que la nature ne s’écarte pas beaucoup de cette hypothèse, et qu’un ne commettra pas une erieur considérable, en suivant la théorie précédante.
$. i38. On peut te servir île la même mêlhode, pour déterminer la figure des corps célestes dont on connaît la masse et la rotation. Si l’on nomme r le demi - diamètre d’une planète, t la durée d’une 'rotation de U planète sur elle-même, y la vitesse de cette rotation. G, e, l'accélération de la pesanteur A, et de la force centrifuge E, sous l'équateur, on aura ($. i35.)
SG
■>f’- Ol*
où il faut exprimer t en secondes, et r, G, par une même unité: en tirant donc — de la première table ($. 63.), et faisant g — ($. 5q.), r sera
le demi-diamètre de la planète, divisé par le rayon de la terre, qu’on trouve dans la table (II. $. iSd,); après quoi on aura ($, i36.)
1 -l-u~ V(i -)-a, dS^.^'-j-cet.), donc «u— |ç(i -j-s^) è peu près.
Relativement h Jupiter, on a r=io, 86i6; (II. $. i66.),
^ ^ . a, fli85 J» * .| . . .ai, 725a , iSoüOoo
G = a, SiBJ.ff r= — i dou il vient q— ^ — 1=0,07145;
’ ° iJoouou ’ ^ 3,8183.35733* '
et U ~ O, I o8j donc /n : n : : i , 1 08 : 1 : : 1 1 : 1 o.
On trouvera de la même manièie, pour les autres planètes, ce qui suit.
iJooooo . G
g.gSJi
0, iu8
o,gSg3
i,o4ga
o,oo33a
o,oo4a
0, ggi3
o,ooi33i
ai6ioao
o,ooooi
o,»7ag3
a36o.'igi
lOOOOl
lUUUOU
On peut se servir d'une approximation fort simple , en regardant les planètes comme des corps semblables, ensorte que, si la densité est la même, la pesanteur g sera comme les diamètres ($. is3.). Or, g étant aussi proportionnelle à la masse de la planète, ou è la densité, si les diamètres sont égaux; il s'en suit, que la pesanteur est comme le produit du diamètre par la densité.
V>8. ASTRONO^fIE PHYSIQUE
Si l'on prenil pour unité le rayon et U densité de la terre, on aura G~frrS,
, fl! T * 5 fli *
ÿ étant la densité de la planète, d'où il vient n~ — . et «a = — ; —
, ' go t* 4 1*
En nommant i— l'aplatissement de la teiic, a sa densité, T lu durée de sa rotation, on aura
l'aplalissement de la planète, u— • jî Si l'on fait par ex. suivant Newton, relutivenjent à Jupiter — ~ , on
r A 4uoo’
trouvera comme ci-dessus, m : n ; : lo, 4 t 9- 4 l ' )•
En renversant cette métliode, on troiiveia la rotation / d'une planète,
dont l'aplatissement U est donné par les observations, t~'ï V . Kclati-
Tement è S.i u-ne on a — o, i (C. fiâ.y: en faisant donc ni ; /i ; : i ■ ; lo À
(IL §. i6;. ,011.13“ '"i trouvera iz= i5 h. 4<> ni. 56s. Suivant les oban valions Je est ~i, d’où cet astronome conclut / =: 6 h. 9 m.
Le milieu est >oh. 5dm. a peu près comme M. llerschel l'a trouvé par scs observations.
$. I 9 La solution du problème de la figure de la terre, que nous avons donnée par une méiliode svnihélique, pourrait aiiHiie au but de cet ouvrage. Je lâcherai cependant, autant que lea bornes que je me suis pre- •crilcs le peimeltent, d'eajioser la méthode analytique, par laquelle les grands géumèlies ilu lems présent ont donné de ce fameux problème, une solution qui ne laisse rien à désirer. C'est i M. de Laplace qu'on doit les recherelles les plus générales sur la figure, avec laquelle féqiiitibre peut subsister (*); je me boineiai à prouver que l'équilibra a lien dans le splicroide elliptique, et ù déterminer le rapport des diamètres, la pesanteur aux divers points de la terre, etc. Ces recherches seront fondées sur les deux supposilious suivantes: que le solide est parfaitement homogène, de manière que sa densité soit partout égale è l'unité ; qu'il a été dans un étal fluide, pour pouvoir prendre la figuie due è l'équilibre. Tous les corps célestes que Bons connaissons, oui une figure qui s’écarte insensiblement de la sphère, ce qui fiiilite heaiicoiin la solulinn; ils tournent sur eux-mèmes, et ils sont
(Il Phil. Nat. Pina. l/a'A. Lit. HL Prop. XIX. (s> Mit», til. U». I. Chap. y ni. Lip. Il J.
expoift aux aciions dea autres corps. Il en résulte, en vertu de la pesanteur universelle, trois espèces de forces qui sollicitent chaque molécule du solide: les forces centiiluges, dues à la rotation, 3) l’attrautiun mutuelle de tous les éléiiiens du solide, d) l'attraction d’un corps étranger. Nous désignerons par S' le point du solide M dont on considère le mouvement de rotation, par dM un élément quelconque qui l’attire, par S le corps étranger qui agit sur S' , par y, /, z", X, Y, Z, x, y, s , les coordonnées rectangles qui se rapportent h S', à dM, et è S; nous prendrons pour leur origine le centre de gravi'é du solide M, et nous supposerons les abscisses x‘, X, x, parallèles h taxe de rotation, ensorte que l'équateur soit le plan des ordon* nées >', z'. Y, Z, j, z. Le solide M étant, par hypothèse, un ellipsoïde, dont l'équateur et tous les parallèles sont des ellipses semblables, tandis que chaque méridien est une ellipae dont l'excentricité dépend du point où il coupe l'équateur; nous aurons è déterminer trois axes, celui de rotation = 30, le grand et le petit axe de l’équateur, aé et ac, a, h, c, étant lea axes des x, y, s. Cela posé suit (/;g. d^.) C le centre, P le pôle do soll« de M, AB l'équateur, tX, ex, deux parallèles consécutifs, CF=o,
CA—c, et faisons
= 7*=:^,, A = O y (1 -f- al, c = a V (1 + a').
D’un point quelconque X sur la sut face de l’ellipsoïde abaissons la perpendiculaire XY sur le plan des y', z', et soit YZ perpendiculaire à CA, donc CZ = s' = DV, ZY=y = VX, YX = x' = ZV = EF.
On aura dans l'ellipse du parallèle KX,
VX* = y*= *; (U L» -s»)= 1^, (GF* — s'*), et dans l’ellipse du méridien A R,
FE* = x'^=^ fc» — CF»j = O* — — „
La comparaison de ces deux équnlions donnera
d’où l’on tirera l'équation de la saitace de l'ellipsuide.
»3o ASTRONOMIE PHYSIQUE
(i) 0ZZ3f*~\- — 1 — a*.
L’aire de l'ellipie EX étant ^ D E® =: ir (a* — j^’) V (i a) (i -J- a'), U solidité du segment £< sera (a® — x‘) d y . V (i + a) (t + “')• Si l'on fait pour abréger,
(é) VQ+aXi ^
l'intégrale de E« donnera le segment Ae = irÿ^ ^) ’ **'** *^®^**®‘
dra la moitié de l'ellipsoïde, si l'on fait a.’ = a: on aura donc la masse de l'ellipsoïde entier
(a) .....M ~ - irîa^.
$. i4o. La force centrifuge de S', due à la rotation, est ($. 69.). Comme dans toutes les formules précédentes on a pris pour unité la pesanteur sur la terre et son demi-diamètre, e est environ- — ^ — f$. 5g.): ainsi
® ououuu ^
est la force centrifuge è la distance =: > , et sa direction est perpendiculaire à Taxe des x'. En décomposant donc la force centrifuge suivant -1- x', -f-y, -j- et nommant ces forces A', B', C, on aura I. A' = o, B=//, C=/s'.
$. i4>- Soit (fig. >8.) A le point S', s un élément quelconque dM qui l’attire, leur distance Asz=R'; soient AB, AC, AD, parallèles aux coordonnées x', y, a', zX' perpendiculaire au plan BAC des x', / , X'U perpendiculaire è AB: cela posé on aura
AU = X— x', UX' = Y— /, X'î=Z — s'.
Appelons l’angle que la prolongation de As fait en s avec une ligne parallèle è A U, et t l'angle formé par U s et U X', ensorte que
T) = ü A s, * = X' Ua, U a = R' sin n, A U =: R' cos T).
On aura donc
(3) X — xf — R' cos T), Y — y — R' sin n cos J, Z — a' R' sin >) sin S.
Maintenant on peut regarder dM comme un parallélépipède dont les trois côtés sont l'accroissement de Aa, et deux petits arcs, décrits avec les rayons A Z et U a dans les plans UAa et X'U a: cet trois côtés sont dR', R'di), et R' sin vi . d^, d'où il vient
