I-Ho
la dernière équation deviendra o~AR'® — 3 A R' — II, d’où l'on conclura la somme des deux racines, R, -f-R,y~^. Si l’on substitue cette valeur dans les équations (5), il viendra
ASTRONOMIE PHYSIQUE
SA"” — a S - 5 ô . 9 >1 sin 11 C08 n,
2 B"zz — aS — 9«cosf .dïjsin*-»!, 2C"— — aS — 9tfsîn
Ces inlégrales s’étenvlent des deux côlés de S' jusqu’à la surface, ensorle que, pour chaque valeur de R', ou de I et ■»), elles lépondent^ en môme lems eux angles ■tr-j-5 et 'jr-j-7): elles doivent donc être intégrées encore par rapport à 9 et »), depuis o jusqu’à pour s’étendre au solide entier. Si l’on désigne par <p chaque fonction rationnelle de sin v) , cos* n i sin f , cos* t, on trouvera •
21 A"” — -^ycos t) cos d . (p cos >J . (p) ,
2 B" ^ — a S 9 9 d ») ( r' cos •»! cos . 0 -f" X • ~h <^os 0 . (P) , SC'” — a 2 9 0 9 T) (.t' cos -j- 9'" S . <p s' . (p).
Or comme les intégrales doivent être prises depuis o jusqu’à tt, il est aisé de voir, que 29ii cos . (P et S 95 cos 5. (P seront nuis. En ellet, on peut envisager ces intégrales comme s'étendant des deux côlés de l'angle droit par le premier et le second quadrans jusqu’à o et -x, de sorte que chaque angle 90® — \}/ a son angle correspondant 90'’-}- vp. Or sin i'9o®-|-\}/'|=sii. (9 <• — »|/), èt cos (90“ 4- >p) =: — cos (90° — xp) , cos* 90“ -j- xp) — cos* (iyd — xJ;) : (p a donc la même valeur pour 9o^ltxp, mais la valeur de 29>jco.s»).$ ou de 295 cos 5. (p, qui répond à l’angle 90* — xp, est égale et opposée à celle qui répond à l’angle 90*-|-xp; d’où il suit que toutes les intégrales de cette forme se détruisent réciproquement. Cela posé on aura
2A"=— aS .x'959tj . :p, 2B" z:: — 2 2 ./ 959ïi . (p, 2C"=r — a2 . s' 9J9>i. Comme ces intégrales so rapportent seulement à 9M, ou aux coordonnées X, y, Z, on peut faire sortir .t', y, i', hors Je la caractéristique 2, ce qui donnera, en vertu des équations (6) et (rf),
il)
2A"”-ax'.2 2B"z=-
d 5 sin*5 . d ■»! sin*
2 y' 95coi*ff.i)')]5in'*>}
Les équations précédentes nous apprennent une vérité importante. Comme A", B", C', sont indépendans des axes de l'ellipsoïde, a, b, c, et ne renier, ment que leur rapport, a et a', il en suit, qu’on peut augmenter à volonté
le sphéroïde, sans allérer l'attraclion sur un point intérieur S', pourvu que a et a' ne soient fts changés, ou ce qui revient au même, la grandeur de la portion extérieure du sphéroïde n’a aucune influence sur l’attraction, de sorte que chaque point S' n’est attiré que par le sphéroïde intérieur; ainsi qu’on l'a vu plus haut ($. i >4 )•
§. 1^1. Pour intégrer les formules {’]), faisons
( , . lin* >1 / > , » \ ai t I ® +
M “ [—a+VT?) 'O»*” + -ôî- (> + ~r)
m et n étant des fonctions de i), qui par conséquent seront regardées comme constantes dans l'intégration par rapport k », et 6*=:(i -f-») On aura (^<f)
. ... J / 1 , I \ iin*n /I — cusas , i-f-coiaJX
A = C0S*ll-f-8in’n( ( -,-1=^14-/10082#,
a ^ i-ha H-a' J '
d’où il vient
J # « , mcoi a »+n
= PT ^ Arc cos ,
'A a y (m* — n’) m-f-ncoias
L’arc précédent deviendra Arc cos i = o, si » = o, et Arc cos ( — i)=rir, si
S = 90*: il sera donc air, si S = 180°; d'ou l’on conclura, depuis # = o
jusqu'à » ~ 180%
2 — = — ï: . Or
(m -|- n) (m — n)z= ^cos“ t) -j- sin* ^cos" ri -f sin* =
ce qui donne (7)
(i -t- cdl (i -1- a cm’ n) (i + al (i -+■ a'co»’ *))
, „ iî T ÿ
donc 2 — = — — ,
A Ÿ (1 -t- a eu»’ Tl) (' -f- eu»’ >l) ’
.2A"=- arrJa'.S
i »] lin >icc»’ri
y ^1 a eu»’ »ii (1 -Ki'oo»’ n) depuis ri=o jusqu'à ri=ir. Si l’on fait
(/") cos >1 = Ç, on aura depuis g = -|- 1 jusqu’à g = — i,
(H) 2 A'' = arrJ ar' . 2 —
11 est visible que A’' se convertira en B' , si l'on substituera l'axe des y à celui des x' : alors x' se changera en y, o en i, p en > en ^ a
en P’ —
ASTRONOMIE PHYSIQUE
a en K. — , -
, i en ; cela tail , on
changera B" en G'' par la pcrmulalion de /, z', et de a, a'. Faisons donc
et désignons par F', F", ce que devient F par les permulalions précédentes qui changent A" en B', et B" en G": cela posé les équations (7) (^) donneront
(9) S A" = i ir J .T' F, 2 B" = i£y^ySL±^ F’, 2 G" = F".
