I.es permutations précédentes donneront

W'-V g’dg -r,-La^+ ËLil

— a) — -l-o) * , partant

(1+0 ip’) î + a' 'J/*| 5 Mais l'équation g = fait voir, que ^ et >J/ deviennent en même

tenis -f-i ou — 1, d’où il suit que l'intégrale F' doit être prisedepuis jusqu'à \|/=: — i , et que par conséquent on peut mettre Ç à la place de i|', d’où il vient

Si l'on lait

a = X*, o'rrX'®, l'équation {jg) deviendra

/a-yx\^

\ <^x / y(«+X''*4'‘J ( dX ) {i + X*çQ>(i + X'*ç*ll

En substituant cette valeur dans la seconde des équations (g), et observant que B" se change en C', si l’on met z' au lieu de /, et X' au lieu de X, on aura les équations suivantes:

U. SA =airèyF, SB’=iairjy SC" =: airSa'

F-=— ^^1 — ^Arc tang.X^, et 2A"=: —

$. 143. Si la planële M est un solide de révolution autour de l'axe CP = o, toutes les ellipses, parallèles à l'équateur, se changeront en cercles, et l'on aura

donc depuis Ç = i jusqu’à Ç =: — i ,

4jLl!^)jL'(X-Arc tang.X) (II;.

Pour déterminer B" et C". reprenons les équations (7). D.ins le cas présent on a (rf; (§. 1 4 1 .) A =: , d'eù il vient 2B"=: — ay.Sdÿcos's

Mais 2dS eos' J n: i j J sin ai' — ^ 'ir, dr.nç 2 B" — ■irjf . 2 ^ ^ ^

Are fang XÇ — Ç)= - Arc lang. X— 1) , et 2 0^ =

— *8'^ — ’)• I'* pesanteur absolue (§ i35) vers le centre,

et décomposée suivant x’, y', z, est égale à — 2 A", — 2B', — 2C"; ainsi les équations précédentes nous apprennent que, dans chaque rayon du sphéroïde, la pesanteur est cuimne la distance au centre, ^,y, (Voy. $. ia4.). A la surface du sphéroïde on a x' ~ a, y — z' z^b — aY [x -(-X"): ainsi la pesanteur est au pôle — ^ — — 0-~tA-2 ^X — Arc tg. X), et sous l'équateur =:

* ^ ^ ^ ^ ^Arc Ig. X — <1**' parfaitement d’accord avec les

formules que nous avons trouvées par la première méthode ($. i3i. i34-I, dans lesquelles m, n, l, sont les quantités que nous avons désignées ici pifr i = O V (i -j- X*), a, et V (A* — a’) zz-Xa.

Si le solide est une sphère, on a (a) (§. idg.) X~o, A = r,

ce qui change les équations (7) en 2 A" “ — a-Tx' . 2dii sin ■») cos’ n r: aTx'. 2Ç’dÇ = |ir.t:'«3j= —

2 B" =: — ay. 2dJcos’« .dT)sin^Tl = 'Ty. 2dÇv,i — Ç*y=iryè‘(i —

La pesanteur à la surface est donc ^ira. Or la masse de la sphère étant M = ^ la pesanteur est partout — , comme si la masse entière était réunie au centre.

$. i44- Désignons par S la masse d’un corps étranger, par x, y, z, ses coordonnées, par B, R', sa distance au centre de gravité M, et à un

s36 ASTRONOMIE PHYSIQUE

élëir.ent quelconque S', sur lequel il agit, et dont la distance au même centre est cela posé, les forces accéléiatrices que S exercera sur b' suivant -f-x, -\-y, -|- i, seront

• — no/ ^jy y 0 p/o — s gQ

kT’ ’ — K'* ’ R'" '

et l'on a

B' = { (x -x')’- -h j- -//*-!-(* - *'/ ) i = { (xx'-f +*»')+;/=)«. Puisque les quantités, marquées d'un trait, sont liès-petites par rapport à celles sans trait, on aura à très- peu près

■ « / I S II + s z')'\

p-s-iCî('H Ri ;•

Comme nous ne considérons ici que le mouvement de l'élément S' relativement au centre de graviié M, il iàut retrancher des forces précédentes, celles que le rentre de gravité éprouve suivant les mêmes directions , et qui sont En faisant donc

— = T, on aura