LIVRE V, C H A P. IL a eiy ■+ e'»a
y e"Sa — e9* , ^
if
a c'dx + c"èy
En «joutant enaeinble cet trois équations, aprbt les avoir multipliées respectivement par a, y, z, et substituant au lieu de e, d, d' , leurs valeurs (3), on trouvera
(B) ,tr=Z ny(a*+:r’+ **) = B (c=H- d'^-)^fx -\-f 'y +r'>-
La somme des équations I, II, III, multipliées respectivement par ds, dy, 9s, donnera, b cause de adx -f- jfdjr -j- *da — rdr,
dx3ix-x.9yday-+dx33z , jtir ,
— Bit» ' r’ T (°B),
dont l’intégrale est
O = — -t- »/(3R) -j-consf.
Dans l’orbite non troublée l'élément de l'arc elliptique 9s eêt — V(9x^+9y’-h9s’‘), et l’équation précédente devient , o = — Lï -j- const. Mais la vitesse
•O = y est donnée par l’équation, T>*z=ag/*^-^ — (§. 33. (i)),
étant (g. 3a. (3)) = Bg, b cause du mouvement relatif, d’où l’on tirera
= hB f— — — j; ce qui étant substitué dans l’équation o =
gjji y -j- const. donnera, const. — ,
Ainsi on a
Si l’on ajoute cette équation aux équations I, II, III, multipliées respectivement par X, y, s, il viendra
Le premier terme est — i ainsi celle équation devient 33. r* s
* — 'bïT» — 7 T "I" * CB) 4- 4/ (9 R)*
ASTRONOMIE PHYSIQUE
§. 160. L’équalion (A) (§. iSj.)» ^lant du premier degré, est celle d'un plan ; et comme les coordonnées x,' y, Zf sont les mêmes que celles qui déterminent le lien de la planète riz, ce plan est celui de l’orbite de w. La position du plan de l’orbite est donnée par les quantités c, c', d': elle sera donc .invariable, si ces quantité», sont constantes, et ne sera point altérée par les variations des coordonnées x, jr, z, on du tems t. Si les forces perturbatrices m' sont nulles, R et 9c, .de', de", le sort aussi (</) (J'y, par conséquent le plan est alors invariable, et son déplacement dépend des variatibns de, de', dd', dues aux perturbations.' Mais les élémens e, d, c", varient si lentement, qu’on peut les regarder comme constans , et le plan comme invariable, pendant que les Coordonnées prennent les accroissemens a Il est aisé de s’assurer de cette vérité importante. Si l’on ajoute ensemble les trois équations (3) , après les avoir multipliées respectivement par dz, — dy, dx, il viendra ozz.c"dx — c'dy cdz, et il résultera la môme équation, si l’on ditlérentie (A), en supposant c, d , c", constans. Il s’en suit qu’en formant les premières dilTérentielles de toutes nos équations, par rapport è t, il faut regarder c, d, c", comme des quantités constantes, et que, malgré les perturbations, la planète doit être censée se mouvoir dans un plan, dont la position varie d’un tems à l’autre, mais si lentement, que ses variations sont proportionnelles au secondes dilTérentielles ou au carré de d t. Le mouvement troublé est donc, à l’égard du plan de l’orbite, le même que le mouvement non troublé, avec cette difiérrace, que les élémens qui déterminent la position de ce plan, sont assujétis à des variations qui sont de l’ordre des masses perturbatrices m'. Puisque les quantités c, d, d', sont introduites par l’intégration des équations (a), elles doivent renfermer les constantes arbitraires, ou les élémens du plan de l’orbite, et serviront à déterminer ce plan.
Si on fait s=:o dans l’équation (A), elle déterminera, pour un instant donné, l’intersection de l’orbite avec le plan des x, y, que nous supposons être l’écliptique. Soit Çdig- Sq.) SMNQ cette commune section, SX“x, XMzzj; cela posé l’équation (A), oznc'x —cy, donnera le noeud ascendant, les ordonnées YZ— x étant supposées se diriger vers le nord. Ainsi, en
nommant J la longitude du noeud, l'inclinaison de l’orbite, faisant tangi)=:(,
et prenant pour axe des x U ligne SA 'dirigée vers le point vernal, on
aura tang J = — — p-. Si du point Y on abaisse la perpendiculaire
Y N sur la ligne des noeuds, on aura YNZ = »ii X M x Ig J =: p *,
sec J: d'où l'on tirera les éauations suivantes. e
M Y =:.y — X M = ~ ^ ^ ~ l’équalion (A)), YN = i a cos J,
ol t = ^ seç J; d'où l'on tirera les équations suivantes ,
(6) tang J — p, i — î-i — ^ , < sin J = — , s cos J .
Puisque les inclinaisons S de toutes les planètes sont très-petites, et que sin J et cos J sont susceptibles de toutes les valeurs entre i et — r, il suit des équations précédentes, que c', c", sont des quantités liès-peliles par rapport à c.
§. i6i. En opérant de la même manière sur l'équation (B), on trou* vera des résultats analogues relativement à la figure de l'orbite troublée. Celle équation, étant du second degré, nous apprend que l'oibile troublée est une section conique, dont les élémens dépendent des quantités qui sont constantes, si les forces perturbatrices sont nulles ($. 159.), et qui le seront encore, si l'on fait abstraction des secondes dilTérenlielles. Pour le prouver, ajoutons ensemble 1rs trois équations (5), après les avoir multipliées respectivement par dar, ^y, dzi il viendra nd r^J~dx dy f" d z, ce qui est la dillércnlielle de ^D), les quantités c, c, étant re-
gardées comme constantes. Il en résulte, comme ci-dessus (§. 160.), que malgré les perturbations, la planète décrit dans chaque instant l'arc d'une ellipse, dont les étémens sont assujélis à des variations de l'ordre des masses m', qui ne se manii'eslent que dans les secondes diirércntielles. Pour déterminer les élémens de l'orbile troublée, savoir le grand a.xe --xa, l'eacenlricité >, et la longitude de l'apliélie :=ro, faisons^^pour abréger,
^ i cf— d f = M, c/“ . h c'y" t= N.
Si on ajoute ensemble les trois équations (5), multipliées respectivement par c", — c', c, et qu’on substitue (A), on auia celle équation de condition,
(7) ü = c"/-cy'-f c/'.
*66 ASTRONOMIE PHYSIQUE
Rapportons maintenant le lieu de la planète m h trois nouvelles coordonnées, .
\p: la théorie de la transformation des coordonnées donnera trois équations linéaires de cette forme,
les coefhcicns D, E, F, etc. étant donnés par la position du plan et des axes des nouvelles coordonnées. Comme celte position est arbitraire, on peut déterminer les coefEciens à volonté. Supposons donc
nX^**' n'*‘X‘’'nX
Cela posé les valeurs de L, M, N, (A) donneront
(8) orzLo — Mc' — Ne", et o =: L/'' + M/^— N/,
et si on substitue dans les équations (ij les valeurs (A) (8), on trouvera
(9^ c" x — c' J 4- c = = n et /x -1-/' y -f /" 2 = X
La comparaison de la première avec l'équation (A) donne ^ — o, et la seconde devient par l’équation (B), /mrrrBII' +XÇ. La somme des carrés des équa-
bons (i) donne, à faide des équations (A) (7) (8), îJT"x# —
et l’on trouvera (/>) L* 4 M“ 4 N’ = H» X^ — (c"/— c /' -f c/";* = H* X% • parce que le dernier terme est nul (7). Ainsi la dernière équation deviendra r’ n: 4 d’où l'on voit, que les coordonnées \j/, ont la même
origine que t, y, z, et que le plan des Ç, est l’orbite même, è cause de {zzo. La comparaison des équations, — Ç*4*'J'* ®* nr"BII^4-X^, donnera
(to) aB n» XÇ -f- (X» — |H=)
ce qui e.st ]'é(]uatinn de l'ellipse, les abscisses ^ étant prises du foyer sur le grand axe ver.<; l'apliélie. F.n nommant u l’abscisse prise du centre, e le paramètre, *a, "ih, le grand et le petit axe, 7 l’excentricité, on aura — o7 , et
ce qui étant comparé avec l'équation (to), nous apprend que le paramètre est — , l excentricité —, cl le grand axe ^ . On aura donc
e— , 7— —, azi: P étant n: -r- — 5-,
U ' K P un*
Pour délenniner la ligne clea apsides, faisons vl/rro, ce qui donne pour 1rs
deux apsides, les équations (/), x = — i', jr = — Ç, s — — Ç. Si on désigne
par (p, P , la longitude et la latitude de l’aphélie, ou aura lang:p = — ,
‘•"8p = 7(irr7)’
tang $ “ /"
s.np=-
; tang ? =:
cos P sin $
~ , cüs |î cos ^ =r
Coimne les latitudes et les excentricités de toutes les planètes sont tiès-petU tes, les équations (la) font voir, que y^'=Xsin p:=|i 't'sin P est une quantité du second ordre, par rapport è f tXj'. Si on prend pour le plan des s, j, l'orbite de m, et qu’on substitue le périhélie o au lieu de l’aphélie, on aura 9 — o; <p = 1 8o* -|- CB, donc /— — n'y cos vi, f ~ — ji 7 sin W, f" zn o.
5. i6'j. On a vu que tous les éiémens de l’orbite sont donnés par les quantités c, c' , e'', f, et azr-^, et les expressions de ces deruières
peuvent être simpliGées. Si on substitue les valeurs {J") (d) ($. 159.) dans les équations (g), il viendra
ay =(axajr— jrax) 4-(»ra* — sax) — (yajr-fiaa)
a/'=(ïj-ax — xajr) — (x3x-|- sar)
a/"=(asax — xds) 4-(a;djr—
et en substituant les valeurs de ^R), (dR), et rdr ($. i58. (</), $. 157. (^1)), r a/=ax(aR)-(R)dx- (j-7)rar,
(«3) 3 a/'= a/ (a R) - (R) 3y- rdr,
^ (PR) — (R) as — rdr.
Si on met à la place de c, </, c", leurs valeurs (3) ^5. >59.), les équations (5) deviendront
, M* I SiCvay + a Jzl — x(J>*+ai*)
^ ~ r * mi* . •
ASTRONOMIE PHYSIQUE
fiz , 0 a {x d X + jK — x(^x® + ^>®)
./ — — H ÜJT^ *
cl en subsliluant ds® dx® -|- d/- 9 z’.
MX
lidl*
fiz
Mais on a (/«) (§. jôi.) /‘dy'-\-J'' dy''-\~y" dJ'":zzXdX: en mullipliant donc les équations (i3) par (i4)> il viendra'
{•5) ^s>'= (aR) + -artemar.
Les équations (5) (§. iSq.) donnent “h — /"'J —
c^i^x^-h 9y^) +e'*(^x’ + ds^} + e' *(â>’+ à z*^ + itcc'^y âz — a cc''àxùz-+^c'c''àxdy
ce qui étant développé donnera
H.® - ^ C/x -\-ry ■]-/ ' z) + X’rr n® ^
Or le dernier terme est nul (§. i6o.) , et ,/x 4-/V 4-/ ' s = — Bit®
(§. 159. (B)), parlant H® -- rz ^ B 11® — ;t®-|- X®, et en substituant fj.’ — X®~ BU® P i^s- >61. (Il)),
Si on ajoute ensemble les cariés des équations (3) (§• ïSo-)» ü viendra JJ* x*(^>® > (Ja*)+>®(^x*+ê)x*) ->-z*(c>x’+â;>'*) — axy à xdy — ixz’ixdx — iyznydx
r* d s® — ôr®) , r®^r® r*ds®
• — - - , donc —
Bdi‘
li d
— BIl®, et en substituant
(•7) Ç^-f’r=2Mr-Pr®-Bn%
Si on substitue (16) et (17) dans l'équation (i5), elle deviendra ,
Xax z: (Pr® — BIl*) (3 R) — Pr(P) dr, et la différentiation de l'équation X* = m* — BIl® P (n) (§. *iGi.) donnera
L I V R E V, C II A P. I r. a69
xax=— DPiiari — iBirap.
En égalant ers deux valeurs de XdX, on aura
B P II d H = Pr (R) ar — 3 B ir a P + (Bir — Pr») (a ü).
Or les équations (/) (3) (§. i Sp.) donnent B(cac-}-c'ac'-|-c"ac") ouBnan~
’ S ' (w) + " 1 ' (K) + ‘ (ïï) ! + ‘ ^ (S) (^) 5
= tll) rdr — ^^(aïOj
ce qui étant nuiiliplié par P, et comparé à la valeur précédente de BPIIdlI^ donnera o=BIl“(aR) — ÎBlI'aP, d'où l'on tirera aP— a(dR), et à cause de
P = J ('0 IS- «fil ).
(i8) a - =:a(aR).
Les équations (y) (§. i5g.), (i3), (i8), donnent les difl'érentielles des quantités c, <i , c', f, J'tf', dont dépendent les élémens de l'orbite en vertu des équations (C) ($. léo.), (ii)(ia) r6i-}> et leurs intégrales sont données par les équations (3) (§, i5y.), (i4', et = a /(a R). Ainsi ces équations renferment les inégalités séculaires, dont celle du moyen mouvement mérite une attention particulière.
Ç. i6I. I.a formule ~ = a/ (a R) qui est do l’ordre des masses per- ® »
turbatriccs ni', exprime la variation de—, due h l’action de la planète m', que nous désignerons par i — , En nommant donc a et (a) les demi-
axes de l'orbite invariable et de l'orbite troublée, on aura — -4- 4 —
zr ^-f-a/(aR) = P, d’où l’on déduira racilement la variation du moyen mouvement. On a vu (§. a-}. (A)), qu'en vertu de la troisième loi de Kepler, corrigée par la théorie de la pesanteur universelle, il est n’ijl — agC(i -t-m) — 3g^C, n étant la vitesse mqyenne dans l’orbite non troublée, et C la force cciiiralc è une ilisiance égale à Tunilé. Or nous avons fait (§. i38. (a)), agC — B, d’où il vient n®o^=zgB. Si on désigne par » le moyen mouvement dans le tems t, on a vzznl, d'i:zindt, équation qui a aussi lieu dans l’orbite troublée, parce que les variations des élémens, comme dn, ne se manilcstent que dans les secondes diirérentielles ($. i6o. i6i.); il s'en suit èii—dnit. Si on dilTérentie l’équation =: jcB , on aura o zzi
La difrérentiella de — est • a a
dti 3 a
■"an
n ja
a-o ASTRONOMIE PHYSIQUE
» /1 9 /I -J- 3 H* a* do, donc — — —
d'où l'on tire — partant ^ d — , et en substituant (i8) an* a
(5. i6a.), (3R). donc ddi-=:dndf=z - an(dR)dl, et en intégrant,
('9) *= i//a#i(3R)at.
$. i64- Considérons maintenant les inégalités périodiques. L’équation (C) (§. iSg.') donne le rayon recteur dans l'orbite troublée, d'où l’on conclura celui de l’orbite invariable , en faisant m' ^ o , et par conséquent (R) = o et (9R) = o. En désignant donc par r le rayon vecteur elliptique, et par r-^-m Sr sa perturbation, on aura les rayons vecteurs dans l'orbite invaiiable et dans l'orbite troublée, par les équations
^ et
+ V^+»(B)+4/(aR). ou
l!\ , «in’J3(réO^
W " — Bit* l»rf f’ r
en négligeant le# produit# de# masse# nt', Subaliluon# mainlenanl on (/;, divisozu par a, et mettons ni à la place de tut/s nous auron»
