R=PIG RO

Cette expression n’est pas logarithmique, mais on la calcule très facilement à l’aide des facteurs du tarif I dont onretranche l’unité.

Dans l'exemple précédent, l’hectare nu est un capital initial qui vaut 400 francs, l'intérêt de cette somme déposée à la caisse d'épargne pendant 35 ans sera bien à 3 0/0 :

400 >< 1,813 — 725 fr.

Mais le taillis de 35 ans vaudra-t-il exactement 725 francs ? Il n’aura cette valeur vénale, absolue, que si le sol vaut bien 400 francs et si la loi de croissance est identique à celle des intérêts composés à 3 0/0, car ce sont les deux facteurs de 725 francs.

(*) Nous avons publié ce tarif I pour 10 taux de 1/2 à 5 pour cent dans nos Estimations concernant la propriété forestière, À vol. gr. in-80, Paris, Marchal et Billard, 1886.

N° 23. — Le tarif I est construit pour un capital primitif de 1 franc: il contient, en réalité, deux tarifs, puisqu’il fournit: 1° le capital augmenté de ses intérêts; 2° les intérêts de ce capital ; ce dernier résultat est obtenu en retranchant l’unité du facteur, c’est-à-dire le capital initial,1 franc. La formation du tarif pour 1 franc de capital fait que, dans ces deux problèmes ainsi ramenés à l’unité, les résultats perdent leur signification relative pour en prendre une absolue qui est celle d’un facteur abstrait de capitalisation ou plutôt de sommation des intérêts, ou celle d’un /actewr d’intérét quand on en retranche l'unité.

Nous avons emprunté, en les complétant, les tarifs I, II et III aux tables publiées, en 1876, à Leipzig,par M.Gust. Heyer, directeur de l’École forestière de Munden.Des tables de cette nature, mais réduites aux taux de 3 à 5 pour cent, ont été originairement publiées, en 1827, par H. Cotta, directeur de l’École forestière de Tharand (Saxe). Elles ont été introduites en France par M. de Salomon, en 1837, et reproduites par M. Nanquette en 1859. (Voir nos Z'stimations concernant la propriété forestière).

N° 24. — Troisième problème. — Voici une conséquence du premier problème (relation entre la valeur initiale P et la valeur future M). On veut connaître la valeur actuelle d’un capital qui ne sera constitué que dans % ans.

La formule (1) donne ; Lin A +6" G)

C’est la valeur de M ramenée à l'actualité ; cette valeur actuelle de M peut être très petite quand # augmente, c’est-à-dire à mesure que l’échéance s’éloigne, mais elle est toujours positive.

Cette formule se résout par les logarithmes de la manière suivante :

Log. P = log. M — # log. (1 +6)

THÉORIE DE L'INTÉRÊT Fa

Elle se résout plus facilement par le{arif IT qui contient les inverses des nombres du tarifI.

Exemple : un billet de 1,125 fr. est à échéance de 35 ans ; quelle est sa valeur actuelle à 3 0/0 ?

1125 >< 0,355 — 400 fr. (tarif IL)

Un taillis exploité actuellement se vendra très probablement 1,125 fr. (terrain 400 et bois 725) dans 35 ans. On voit par le calcul du billet que ce bois, s’il pousse suivant sa loi propre, fournit une valeur finale comme le ferait un capital placé à 3 0/0. Quelle est la valeur actuelle, vénale de la propriété nue ? Est-ce 400 fr. ? non ! car la valeur vénale de la propriété peut être tout autre et dépend des ventes faites dans la localité. Mais il est certain que cette propriété vaudra exactement 400 fr. pour celui qui voudrait faire emploi de ses fonds à 3 0/0 pendant 35 ans seulement.

Examinons maintenant le taillis : s'il vaut 725 fr. à 35 ans, sa valeur à 1 an est celle de 257 fr. |

725 > 0,355 — 251 fr. (tarif Il)

Est-ce la valeur vénale de ce taillis de 1 an ?

Non encore : car personne ne songera à payer ou à estimer 251 fr. une pousse de 1 an. Mais il n’en est pas moins vrai de dire que si un acheteur de récoltes rencontrait un propriétaire vendeur à 257 fr. de cette seule pousse de 1 an (le vendeur conservant la proprieté du terrain), l'acheteur aurait placé son argent pendant 35 ans à 3 0/0.

On voit de quelle manière il faut entendre les choses.

N°25. — Le tarif II donne les valeurs actuelles de 1 franc payable au bout d’un certain nombre d’années. Ainsi réduits à l’unité, les résultats deviennent des facteurs de valeurs actuelles ou de réduction d’un capital à l'actualité. Ce sont les inverses des facteurs du tarif I. Le tarif II suppose l’achat d’une valeur limitée quant à sa durée, et dont on devient propriétaire pour un temps donné. C’est le cas de l’escompteur d’un billet à échéance fixe ou de l’acheteur d’une coupe à réaliser dans un certain temps, le vendeur restant propriétaire de la forêt. (Voir nos Zstimations concernant la propriété forestière.)

La formule (3) qui sert de base au tarif ZT, donnant la

valeur actuelle d’un billet à échéance ultérieure, on en déduit que lescompte E, c’est-à-dire /a somme qu'on retient sur le billet pour l'acheter ou le payer immédiatement, est le montant diminué de sa valeur actuelle.

ES M ne mm 1+) Qi +

(employer le facteur du tarif I, le diminuer d’une unité et multiplier par le facteur du tarif II)

C’est l’escompte naturel, ou l’escompte allemand, ou en dedans. L’escompte français ou en dehors est le montant du billet diminué de son intérêt pendant # ans.

E=M{[I1—(1+é" +1]=MfR—(I—+6)] quantité qui devient vite négative. Dans ce système d’escompte, un billet de 1,000 francs à échéance de 15 ans n’aurait point de valeur à 5 pour 100 puisque PUS 2 070

Cela montre que l’escompte en dedans est seul logique et naturel, car ce billet ne saurait être dépourvu d’une valeur qui est, à 5 p. 100, de 481 francs.

Escompte : 1000 >< 1,079 >< 0,481 — 519 fr.

Valeur : 1000 — 519 — 481 fr.

ou : 1000 >< 0,481 — 481 fr. (tarif IT)

Au surplus, dans un cas pareil, le banquier escompteur abaisserait le taux qui sert de mesure à son achat, c’est affaire de convention et de langage commercial.

N° 26. — Quatrième problème. — Connaissant le loyer, l’intérêt produit R par un certain capital initial P placé à intérêts composés au taux { pendant % ans, calculer ce capital primitif en fonction de R.

De la formule (2)

R=P{( +t}—1] qui établit la relation entre R et P, on déduit R

ones

Comme l'intérêt R est susceptible de se reproduire indéfiniment tous les % ans, on doit considérer le capital primitif P comme le fonds générateur d’une rente périodique ou d’un revenu R se produisant indéfiniment tous les # ans.

L’acquéreur au prix déterminé par cette formule devient propriétaire à {out jamais d’un fonds indéfiniment producteur de R. Pour indiquer cette différence nous écrivons

cette expression (') :

R Real we

Cette formule ne se résout pas par les logarithmes ; on l’obtient très facilement par le {arif ZIT qui donne le capital générateur d’une rente périodique de 1 franc.

Exemple : On veut acheter à 3 0/0 un revenu de 925 fr.

qui se reproduira tous les 35 ans, quel prix faut-il en donner ? 125 >< 0,551 — 400 (tarif LIT)

Faut-il en déduire que le sol (garni de son ensouchement) d’un taillis qui rapporte 725 fr. tous les 35 ans vaut 400 fr. ? Oui, s’il est constaté qu'on cherche une valeur non courante et marchande, mais simplement conventionnelle et relative à un acheteur qui veut faire emploi de son argent à 3 0/0, mais non, s’il en est autrement.

Voici, pour mieux le faire comprendre, un hectare, tout voisin du taillis ; il est planté en pins de 100 ans dont la coupe vaut 4,000 fr. Assurément, le sol se vendrait 400 fr. comme celui du taillis: or, le capital générateur à 3 0/0 tous les 100 ans est de 220 fr.

4000 >< 0,055 — 220 (tarif III)

Pourquoi ce résultat si différent? C’est que pour la coupe des pins à 100 ans valant 4,000 fr., la végétation n’a pas

. marché de 1 à 100 ans comme un capital placé à intérêts composés à 3 (0/0; c’est avec une vitesse beaucoup moindre (2 1/2 0/0 environ) qu'elle a progressé.

4000 >< 0,0924 = 370 fr. (tarif LD) Si l'acquéreur veut lutter avec les marchands de bois et

(1) En d’autres termes, F n’est égal à P que s’il est déduit du même taux £ qui à servi à former M en fonction de P,

avec les spéculateurs en terres, il sera obligé de faire son calcul sur un taux moindre et de se contenter d’un placement à environ 2 1/2 0/0 ; autrement, s’il continuait à ne raisonner que sur un taux uniforme et moyen de 3 0/0, il donnerait à la terre une valeur trop faible (220 fr.), on serait obligé, pour arriver au cours de 400 fr. l’hectare, d’assigner au revenu une valeur (7,272 fr.) exagérée et bien supérieure à la valeur réelle. 1272 fr. > 0,055 — 400 fr. (tarif III)

On voit donc que si on veut estimer des sols de forêts avec le procédé des intérêts composés, il faudra les évaluer non sur un taux moyen des placements en immeubles dans la localité, mais sur un taux particulier aux forêts et spécial à chaque âge d’exploitation dans la région; autrement, le calcul par cette formule ne donne qu’une valeur conventionnelle et relative au propriétaire qui veut faire emploi de ses fonds à un taux déterminé.

N° 27. — Le tarif III donne les valeurs du capital générateur d’un revenu de 1 fr. Réduits ainsi à lunité, les résultats perdent leur valeur relative pour se transformer en facteurs absolus de génération d’un revenu périodique. Quand la périodicité est réduite à un an, le facteur générateur du capital prend le nom particulier de denier de capitalisation. Dans le placement à 5 pour cent, l'intérêt est = ou + du capital ; 20 est le nombre abstrait par lequel il faut multiplier le revenu pour avoir le capital. Les facteurs du tarif IIT sont donc des deniers de capitalisation étendus à tous les intervalles de temps où se produit le revenu.

Le tarif III est une table de facteurs donnant le prix au moyen duquel on acquiert la propriété perpétuelle d’un revenu périodique qui se reproduit sans limitation de durée quand on veut faire emploi de son argent à un taux déterminé. (Voir ce tarif III calculé pour 10 taux de 1/2 à 50/0 dans nos Æstimations concernant la propriété forestière.)

N° 28. — Dans l’emploi de ce tarif IIT, il faut faire attention que le premier revenu R ne se touche pas au début de la période, mais bien à la fin de cette période. Le capital fonctionne pendant # années sans produire, c’est pour cela que cette formule à été employée par les estimations du sol forestier supposé exploité.

Si on devait toucher la première rente au début de la période, il faudrait simplement l’ajouter au résultat.

On dira, par exemple, pour un revenu de 725 fr. tous les 39 ans à 3 0/0, que la valeur capitale est 1,125 fr.

Fonds générateur : 725 > 0,551 —.,.. 400f EROMIOR TOO IE La: JA 2 PR 725 DORE Le re LAS

La formule revêt, dans ce cas particulier, une autre forme qui est :

SPACE ner (A +é—1 (tarif 1 < tarif II)

Cette formule conduit au même résultat que le calcul ci-dessus, car le facteur de R n’est autre que nas On peut le vérifier par les {arifs TZ et 77]. 725 *% 2,813 >< 0,551 — 1,125 fr.

L'observation est faite pour éviter les complications, quand le revenu se perçoit, à la fois, au début et à la fin de la période (taillis non exploité mais garni de la coupe au moment de l’estimation). Elle conduira en outre, à une formule générale qui sera la règle fondamentale des estimations relatives (n° 51).

N° 29. —— Problèmes dérivés. — Les quatre problèmes fondamentaux que nous venons d'expliquer et qui correspondent aux trois tarifs précédents se réduisent en

réalité, à deux relations : l’une entre le capital futur et le capital primitif, l’autre entre le loyer et le capital initial. Examinons la première de ces relations (n° 21): M—P(+6t) (1) (arif T) elle donne naissance à quatre problèmes dans lesquels les quatre quantités sont successivement prises en inconnues.

Nous avons déjà vu (n° 24) M PR 3) (tarif T nr O(nfIn Il ne nous reste plus qu’à déduire le taux du placement pendant ces » ans:

log. M — log. P Monree a (5) Ainsi que le nombre d’années pendant lesquelles le capital a été placé temporairement :

log M=IlopP log. (1 +6)

Voici un exemple de leur application :

On trouve en Champagne à acheter de mauvais terrains mouilleux à 100 fr. l’hectare ; cultivés en aunes, dont la plantation coûte 100, ils reviennent à 200 fr. l’hectare et produisent à 20 ans 700 fr. ; ils valent donc, à cet âge, au moins 900 fr.

Formule (1). — Un propriétaire possède une somme de 200 fr. et la dépose à la caisse d'épargne à 3 0/0, quelle somme aura-t-il au bout de 20 ans ?

200 >< 1,806 — 360 fr. (tarif I) ne vaut-il pas mieux être propriétaire d’aunaie, puisque avec une somme de 200 fr. on aura 900 fr. en 20 ans ?

Formule (3). — Or, ces terrains sont recherchés ; notre propriétaire veut bien les payer plus cher, mais il se demande quelle somme il ne doit pas dépasser pour qu'il ait au moins 3 0/0 de son argent, en d’autres termes quel est le capital initial qui deviendra 900 fr. au bout de 20 ans à 3 0/0.

900 >< 0,5537 — 500 fr. (tarif II)

Comme la plantation coûte 100 fr., notre acheteur peut donc aller jusque 400 fr. l’hectare : à ce prix, il aura encore son argent capitalisé à 3 0/0, c’est-à-dire se grossissant à intérêts composés de 3 0/0, pendant 20 ans, seul laps de temps qu’il considère (voir n° 31) :

500 >< 1,806 — 900 (tarif I)

Formule (5). — Cette plantation est très imitée dans le pays, car ce déboursé de 200 fr. devenant 900 fr. en 20 ans, correspond à un placement à intérêts composés de 8 0/0 environ : est-ce une jolie caisse d'épargne ?

log. 900 —.... 2.95424 log. 200 —.... 2.30103

0.65321 0,653 Log. (1 + t) — LE — 0,03266 (1 + ©) = 1,078 —0:018— "1:86 0/0 Formule (6). — Si notre propriétaire avait laissé ses 200 fr.

à la caisse d'épargne à 3 0/0, il lui aurait fallu 50 ans pour en obtenir 900 fr.

Log. 1,03 — 0,01283 0,65321 0,01283

— 50 ans environ

Les tarifs I et II ne peuvent servir qu'aux problèmes (1) et (3), mais cependant par des tâtonnements, ils conduisent les personnes qui ignorent le calcul des logarithmes à une solution approximative des questions (5) et (6), car le taux des placements forestiers dépasse rarement 5 pour cent.

Exemple : Une plantation de pins qui vient d’être effectuée a une valeur de 400 fr. l’hectare ; on prévoit qu’à 36 ans la coupe vaudra 900 fr. l’hectare (5 stères par an — 150 et à 6 fr. l’un) et que l'immeuble vaudra ainsi 1,300 fr. l'hectare, à quel taux l’argent a-t-il été placé pendant ces 30 ans ?

400 >< (1 + x)*° — 1300 __ 1300 2 (1 + x)°° AUD — 3,290

En consultant le tarif I sur la ligne de 30 ans, on voit que

le taux s'approche de 4 0/0 qui a le facteur 3,243.

Combien d’années faudrait-il pour que la mise de fonds, 400 fr., devienne 1,300 fr. à 3 0/0?

En parcourant la colonne du 3 0/0, on voit que le facteur 3,250 tombe entre 39 et 40 ans, tout près de 40 ans.

N° 30. — La relation entre le capital générateur F et

le revenu R R=F{(I +é)— 1] (2) (tarif I —1)

fournit de la même manière trois autres problèmes qui Sont :

1° Le capital générateur du revenu

F— ee (4) (tarif TIT)

2° Le taux du placement

log. (R + F) — log. F

Log. (1 + t) — cs

3° Le nombre d’années de la périodicité pour un taux connu | UE log. (R+F) — log. F (8)

log. (1 + 6)

Nous avons considéré la formule (4) comme donnant le prix du fonds générateur (so/ et matériel d'exploitation) ; c’est fort exact quand on donne à £ la valeur du taux auquel F a fonctionné pour fournir R, ainsi

C’est bien 200 francs qui est la valeur du sol et de sa plantation, ou du sol ensouché. Mais si on veut calculer le prix du sol avec cette formule, en se servant du taux habituel des placements en biens fonds, trois pour cent, par exemple, on aurait

700 >< 1,240 — 868 fr. (tarif IIT) qui est de la pure fantaisie, car les prix des terrains sont donnés par les ventes faites dans la localité, c’est dire

— 200 fr.

qu’ils tiennent à la loi de l’offre et de la demande qui est différente pour chaque village et pour chaque nature de terrain; un taux de placement moyen mesure cette loi, mais avec des différences énormes d’un cas à l’autre. Il mesure les prix, comme les moyennes dans les statistiques expriment la valeur d’une chose dans une localité (n° 29).

N° 31. — On a vu que nous avons deux formules pour exprimer le capital initial