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139. Lorsque l'on considère un harmonique zonal simplement comme une fonction de 11, sans référence expresse à aucune sphère particulière, on peut l'appeler un polynôme de Legendre.

Si nous considérons l’harmonique zonal comme existant sur une surface sphérique, dont les points sont déterminés par les coordonnées Hets, el si nous supposons que le pôle de l'harmonique zonal soit au point (9, z’), la valeur de l'harmonique zonal au point (6, &) est une fonction des quatre angles 0", &', 0 ele, et, comme c’est une fonction de x, cosinus de l'arc qui joint les points (0, ©) et (9’, +’), elle ne sera pas altérée si l’on échange les plans de 6 et 0’, et de # et 6’. L’har-

monique zoual ainsi exprimé a été appelé coefficient de Laplace. Thomson et Tait l'appellent l'harmonique biare.

Toute fonction homogène de .r, », 3 qui satisfait à l'équation de Laplace peut être appelée un harmonique solide; et l'on peut appeler harmonique de surface la valeur que prend un harmonique solide à la surface d'une sphère dont le centre est à l'origine. Dans cet Ouvrage, nous avons défini l'harmonique de surface au moyen de ses rx pôles, de sorte qu'il n’a que 2x variables. L'harmonique de surface plus général qui à 22 +1 variables n'est autre que l harmonique de surface plus particulier multiplié par une constante arbitraire. Quand :il est exprüné en fonction de 0 et de =, l'harmonique de surface le plus général est appelé fonction de Laplace.

150 a. Pour obtenir les autres harmoniques du système symétrique, nous devons différentier par rapport à 5 axes situés dans le plan des

e. . , « , « LT ay, et inclinés les uns sur les autres d'angles égaux à = C'est ce que

l'on fait très aisément, en employant le système de coordonnées ima- “inaires donné par Thomson et Tait, Vatural Philosophy, Vol. E, bp. 143 (ou p. 185 de la deuxième édition).

Si nous posons

(575 E=r+iy, nr —éy,

ss ° °° . « M « , , ° ® 0 Le ° en désignant par € l'imaginaire | — 1, l'opération qui consiste à différentier par rapport aux s axes peut s'écrire

d23 5) st un des axes coïncide avec l'axe des s:. et

«ls ds

L " 1 TT L D 5e 9 «25 cr,5

si l'axe des y est bissecteur de l'angle compris entre deux des axes.

Nous trouverons commode de représenter ces opérations par les svmboles abrégés d'opérations D'T's et De. Mais ce sont en fait des opérations réelles que lon peut représenter de la manière suivante, sans recourir à l'emploi symbolique des imaginaires,

. ; 071 y stT Lit - 1 07 3 03

(on 27 Das 70 0 GS Us Co des-l dy 1.2.3 Ur T4 dy

, 05 JT — 41 47 ? 4}

(Gr: 27-1D6 ce | ,

HARMONIQUES CONJUGUÉS. aûi Nous poserons aussi

Qn-T dn-c Dis s— Ds et Dzr=8 Doc — De.

{ 62) dzn-0 De la sorte Ds et D'c représentent les opérations de la différentiation par rapport à » axes, dont (7 — s) coïncident avec l'axe des 3,

, T et dont les os restants font les uns avec les autres des angles égaux à — (°1

dans le plan des xy; le symbole Ds, servant quand l'axe des y coïncide avec l’un des axes, et le symbole Dfc, quand l'axe des y est bissecteur de l'angle compris entre deux des axes.

Les deux harmoniques de surface tesséraux d'ordre # et de type 5 peuvent alors s’écrire

1 I (63) Vs =(—i) — rat Dis -.

LA r I , (64) Ve = (— 1 meet De !.

Posant

um: Co), v= sing, pi—=zxz?+yt, de sorte que 3 =, G=Vr, T—=PCOS®, } = psine.

nous avons

oi s (27)! . !

(65) Ps CD ire 9 er | 5.1 s (29)! l (66) DE C0 gr C7 +0) 5:

‘où nous pouvons poser or.

| L Gr n7) 2 p9 sine, (67) | : (27-17) = pT cosoz.

Nous n'avons plus maintenant qu’à différentier par rapport à 3, ce que nous pouvons faire de facon à obtenir le résullat, soit comme fonction de 7 et de 5, soit comme fonction homogène de 3 et de p divisée par une puissance de r,

Tr. d'Elect. et de Magn., 1. 10

ou on 1 (A— 3) 1!

, — ne me = (— 1) 9 5 —————— 0zn-T pr23-1 (293). rin-1 69) fon tr sun 5-0, 22: | 107--1)

Si l’on pose

— — T—1 \ 67 -:,1 [are (RTTURT STI m7?

17€ ° (n—T3UNn—T INR —T—-SWUA—3— 3) D um" Le] LL...

el \ 39. 5] uns — CNT TN TN nm.

(N- T(I—T—1NUN 73—2htn—373—5%) nn ee — (7 Act: DR PE PRES , NT 1NT- 2) * on aura 27-Tnpiin— Te, :. "6: — 7 (72) 99 2." 7 57.

Ges deux fonctions ne diffèrent donc que par un facteur constant. Nous pouvons maintenant écrire les expressions des deux harmoniques tesséraux d'ordre À et de type 5 en fonction de 8 ou de 3,

t ri (sn): | | Yes — en 5 er 0,7 ) «UN 72 21190. n. * (+3) ‘ , (7 Dr 7 ). 57) .