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Dis gtgt n 2VONTE.

Il faut nous souvenir que si 3 =0, sin 35 = 0 el cos co: 1.

Pour toutes les valeurs de o comprises de 1 à x inelusivement, il y à un couple d'harmoniques ; mais, lorsques — 0,Y's—oet Yc—2P,, lharmonique zonal. Le nombre total des harmoniques d'ordre 2 est

done 2x -— 1, ainsi que cela doit être.

140 d. La valeur numérique de Y, que l’on a adoptée dans cet Ouvrage, est celle que nous obtenons en différentiant 7 -! par rapport aux # axe*, et divisant le résultat par n!. C'est le produit de quatre

facteurs, le sinus ou le cosinus de 33,7, une fonction de x (ou de y et de »), enfin un coefficient numérique.

Le produit du second et du troisième facteur, c'est-à-dire la partie qui dépend de 8, a été exprimée en fonction de trois symboles différents, qui ne se distinguent l’un de l'autre que par leurs facteurs numériques. Lorsqu'il est exprimé sous la forme du produit de y? par une série de puissances décroissantes de & commencant à u7-7, c'est la fonction que nous désignerons avec Thomson et Tait par 8.

La fonction que eine (/andbuch der Kugelfunctionem, 8 #7) désigne par PS" et appelle eine sugeordnete Function erster Art, ou. suivant la traduction de Todhunter, une fonction associée de première espèce, est liée à 87 par l'équation

(75) O9 —(- 1) Pa.

La série des puissances décroissantes de p commencant à p"-9 est désignée par Ileine au moven du symbole D£", et par Todhunter au moven du symbole ©5(1,3).

Cette série peut aussi s'exprimer sous deux autres formes

Ds = 13,2) — DLL PT cut x" CH). Out+T (70) | at(n—3)tn! 07

‘ on UT OUT Ne

C'est cette dernière forme, sous laquelle on obtient la série quand on différentie lharmonique zonal par rapport à p, qui paraît avoir donné Fidée du symbole adopté par Ferrers. et défini par lui de la manière SUIVante :

(57) Ty = V7 7 P, ; ee ne ‘4 cas (un --3)!n!

Lorsqu'on met cette mème quantité sous forme de fonction homo- “ène de 4 et de y», et qu'on la divise par le coefficient de p-5v9, on à ce que nous avons déjà désigné par 37.

140 c. Les harmoniques du s\stème symétrique ont été classés par Thomson et Tait, d'après la forme des courbes sphériques suivant lesquelles ils s’annulent.

La valeur de l'harmonique zonal en un point quelconque de la sphère est une fonction du cosinus de la distance polaire; en égalant cette fonction à zéro, on obtient une équation de degré », dont toutes les

‘1 f' PARTIE. CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQUES.

racines sont comprises entre + 1 et — 1, et correspondent par suite à p parallelee en latitude sur la sphère.

fee one comprises entre ces parallèles sont alternativement posihvure et négatives. et le cercle qui entoure le pôle est toujours positif.

Lo harmenique zonal peut donc servir à exprimer une fonction qui cannulk -uivant certaines parallèles en latitude de la sphère, ou suisant certaine. <urfaces coniques dans l'espace.

fe sutr-- harmoniques du système symétrique se présentent par gronges de deu, l'un renfermant le cosinus et l'autre le sinus de 5œ. fi: - ssvulent donc suivant: s cercles méridiens, el suivant 2 — o passhicise de la sphère, de sorte que la surface de la sphère est divisée 1, 7 0 —7—1) quadrilatères ou tessères, et + triangles s." géles. Hs sont done utiles dans les recherches relatives à des qua- #s lstères ou Lessères découpés sur la sphère par des méridiens et des pes sileles.

{ju le» appelle Aarmoniques Lessérau.r. sauf ceux du dernier groupe, Jerquels ne s'annulent que sur x cercles méridiens, découpant la sur- Le: # sphérique en an secteurs. On les appelle, par suite, harmoniques wCluI (AUX.

fs1. Inous faut maintenant trouver lintégrale de surface du carré 4 un harmouique tesséral quelconque pour toute l'étendue de la surface 4e Ja -phère. Nous pouvons x arriver par la méthode du n° 13%. Nous ts35-formons l'harmonique de surface Y17 en un harmonique solide de degré positif, en multipliant par 7”, nous différentions cet harmonique solide, par rapport aux x axes de l'harmonique lui-même, nous 151-0ns alors 2 = y = 3 — 0, et nous multiplions le résultat par AT HET Dans notre notation, ces opérations sont représentées par la forsole

n [for ds irait DS rr y] . To ñ u J°

Si l'on met l'harmonique solide sous forme de fonction homogène de :.Z etr,. soit |

um. (a-+6)!.

LYS renrar GP?) 5) :

| x [ are LR SUR SN grrr + …|.

en.‘

on trouve que, les différentiations par rapport à 3 étant effectuées, tous les termes de la série disparaissent sauf le premier, et que le facteur (a — 5): est introduit.

En continuant de diflérentier par rapport à & et r,, nous nous débarrassons aussi de ces variables et nous introduisons le facteur c!, de sorte que le résultat final est