SF? (n : 7). Cu
(80) f [OF sta - ——. ei J. 2H -|-1 nn!
Nous désignerons le second membre de cette équation par le symbole abrégé [7,7].
Cette expression est exacte pour Loutes les valeurs de 3 de 1 à # inclusivement, mais il n°4 a pas d'harmonique en sin 35 pour 5 = 0.
On peut faire voir de la mème manière que
SBra? (n° Tin —s):
(#1) JISE Cds AN -+ I 22Tnln!
our toutes les valeurs de s de 1 à z inclusivement. | Lorsque 5 . 0, l'harmonique devient l'harmonique zonal, et
Lo {7 a?
(N2) [FO ec)? ds [four as nn | T°
résultat que lon pouvait tirer directement de l'équation (50) en y faisaut Ÿ, =. P,,, et en se souvenant que la valeur de lharmonique zonal à son pôle est égale à Funité.
124. Nous pouvons maintenant appliquer la méthode du $ 136 à la détermination du coefficient d'un harmonique tesséral donné quelconque dans le développement d'une fonction quelconque de la posi- Gon d'un point sur une sphère, Soit, en eflet, F la fonction, et soit A7 le coefficient de Y7 s dans le développement de cette fonction en série d'harmoniques de surface du svstème symétrique :
(#3) J J FAT 4 A7 [fo rsras- NOTES
où [2,5] est une abréviation pour la valeur de l'intégrale de surface donnée par Péquation (8o).
142 4. Soit VW une fonction quelconque satisfaisant à l'équation de Laplace et ne présentant point de valeurs singulières dans un ravon. # autour d'un point O que nous pouvons prendre pour origine des coordonnées. Ilest toujours possible de développer une telle fonction en une
rie d'harmoniques solides de degré positifavantleurorigine au point O.
Une façon de faire ce développement consiste à décrire autour du point O, comme centre, une sphère de ravon inférieur à a, et de développer la valeur du potentiel à la surface de cette sphère en une série d'harmoniques de surface. Multiplions chacun de ces harmo-
niques par une puissance de | =) égale à l'ordre de l'harmanique de
surface, nous obtenons les harmoniques solides dont la fonction donnée ust la somme.
Mais une méthode plus simple et qui n'implique pas d'intégration consiste à différentier par rapport aux axes des harmoniques du svstéme symétrique.
Supposons, par exemple. que, dans l'expression de W. il v ait un terme de la forme A7 cY 7".
Si nous effectuons sur W et sur son développement l'opération
sn 7 OT 3 }°
et si nous faisons ensuite x, y et : égaux à zéro après la différentiation, tous les termes du développement s'annulent, à l'exception de celui qui contient Ac.
în exprimant l'opération effectuée sur YF en fonction de symbole de différentiation par rapport aux axes réels, nous obtenons l’équation
| 03 TTurs 1. rt ? y? "** (#4) d | A7 {70 TIltn -5):
=, OC — —— , ° 27h:
au moyen de laquelle nous pouvons déterminer le coefficient d’un harmonique quelconque de la série en fonction des coefficients différentiels de W par rapport à æ, y et 3, pris à l'origine.
143. De l'équation (50) il résulte qu'il est toujours possible d’exprimer un harmonique quelconque par la somme d'un système d'harmoniques zonaux de même ordre dont les pôles sont distribués sur la surface de la sphère; mais il ne semble pas facile de simplifier ce système. Toutefois, pour faire saisir à l'œil quelques-uns des caractères des harmoniques sphériques, j'ai calculé les harmoniques zonaux de troisième et de quatrième ordre, et j'ai dessiné, par la méthode déjà décrite pour l'addition des fonctions, les ligneséquipotentielles de la sphère pour les harmoniques qui sont la somme de deux harmoniques zonaux.
La PI. VI représente la différence de deux harmoniques zonaux du
