OZ

JE Ur

seront cncorc des harmoniques ; par conséquent, les expressions suivantes

}" n }" PE ns mo rl TT IE JE F PE — v" 2, RE EE or, 03" hr sien -1 1° or" r

sont des harmoniques; mais 7? = êr, + <°, par suite

de = (a). .3.5...(23—1: ) oi” ct ces harmoniques deviennent, au facteur r"+! près, d 1 9 7 1.3.5...(27n —1:) nn ue Cr... (27 —:) - Us ee .. 0 3 .. d : 1.3.5...(27n —:1) — 4 zu race (—$)7.1.9.5... (3 —1) te el me mt

En ajoutant deux harmoniques situés sur la mème colonne, ou en retranchant et divisant par £ = 4 — 3 , il vicndra, en observant que & = rvei?, n == rve-f?,

1) I jn—7 I

— 21Y SIN? Ji °°? 2 cos 32 (— rv)7.1.3.5.(23 —1)

gp" + i

sossssssss. 2 SINND(—vr)" 9

— 3 oescccscsssee 2 COR D — VT ) ——— -—.

— LA V cos % 7 U5" ion à y pri

Par analogie avec ce qu’on a fait pour les harmoniques zonaux, on prendra pour valeur des harmoniques d'ordre 7 et de type o les deux fonctions

17 1 ñ | bi { à . . h \7 3 - " 7 Land Lt r C— (— 1) PU u COS 3% (—7 V)°.1. Je (231) ns pari

et n—t n- I

Vis - (— ii)" - 2sins®(—7rv)7.1.3.5...(23 —1)-

dzn-s ris ?

ou, plus simplement, on pourra écrire comme facteur de sino> et coss> dans les deux Y 7)

pnrstlagl 0 1

Les valeurs de ces Ÿ résultent des équations

: (— 1)" 1 d" Ï VTC HN TS — "© ————— -, " 1 n' JO" Sr Vie —ivss— CNT 07:

—— pe nc] Ce — 9 n d n! 0 03-T r

analogues à celle que donne P,.

Ces fonctions ne peuvent différer que par un facteur constant de 8! coss2; en effet on trouve facilement

d"-s | I = (nn Lee. (an 1) O3" T ri 1.3.9... (27 —1)

pn+7+i

On pourra, sous cette forme, vérifier par les principes généraux de la théorie des équations que 8) s'annule pour (7 — +) valeurs réelles de 4, entre —r et +1. et qu'ainsi l’harmonique Y®)sinoz, ou coss?, s’annule sur © méridiens et sur n parallèles, d’où le nom de tesséraux donné à ces harmoniques.

9. Lorsque À est une direction faisant avec les axes des angles dont les cosinus

, ON ., . ON OV ON sont 2, 5, +, on entend par le symbolc Dh l'expression 2 ru Ê d T5 dif-

férentiant de nouveau, par rapport à unc direction k', on aura l'équation

OV OV, ŒV AA AN RS — ue — oh 0h Ur* 0) "ts BV JV OV 2 (an) —— à (a ne) (RS) — — , ( DT é) ru ( : rs (?, ù y ds qu'on écrira symboliquement 7 à ( o) . 9 D, 0) nr 0 , 9 ——, ai — la — + ss — koh UE 3 F (LA "3 L \ ox À 0) " Q5 l ' ; t) 1) Jen convenant de remplacer, dans le produit, les facteurs —--— :4 — par —-; -... (744 JT UT"

Cette équation sc généralise immédiatement pour n différentiations successives

ct l'on a o" t) n 9 72 / (7) . 0 1) °

o,.0h,.0h.... 0h, 18 4 y (ES Ur "dr 05

Toutc expression de cette forme est donc une combinaison linéaire des dérivées le la f ?" dm m'-+m'rn; mai d ac la 10rmcC PPT AT ELA quand Mm--Mm-rIN — NN; Mais, quand on opcre sur une fonction V satisfaisant à l’équation VV —o, ces dérivées sont clles-mèmes des fonctions linéaires de (27 --1) d’entre elles : par exemple, de

(js s)" Q" (UE 4 Qt gai CU va et de D) o"1 1) 0"— 9"!

05 or 0 'ord) Us g?

NOTE SUR LES SPHÉRIQUES HARMONIQUES. 279 auxquelles on peut ramener toutes les autres de mème ordre, puisque

OL f CL 9 05 Er ANT

ce qui permet de réduire l’exposant de 93 à o, ou 1. Si l'on suppose que p de ces directions À, h',... soient dans le plan des æ), l'expression

op 0) 0° F0) n 0° oo (rat gIReGaé) devient OP. «)P | op À, dcr A) Der y 7 A4 Oyr°

si le polynôme A ,æ + A ær ty... Apr (ar ip)... (2,7 + Ph ÿ Les poulynômes

z{ — a H — 1 (27. -19) TT LT — — 7 1) 2773" -- ...n ) 1.2 Il, - (ET — ):=32x7"y — (3221) (372) 173 8 | 2i ? ‘ ° 1.2.3 ‘ , ‘ "°°

présentent à cet égard un intérèt particulicr. On a, en effet,

{ Ti f (2 HIT, , 27—1 ny) \ Tr: 5 --eTr'...1\s—e SC 7, \3—e To 7%,,, { \ / 27/; \ { RIT 27-47. SE 1 2 (E--eT 1 2 —e FT 7:

mais 7 EL IF, DJ 17%: Q —-— = —— , . (27 -1)7 97 -1)F E—e TT ve ?5 if. sin 2 DE yes PE], | 3 3 et, par suite, =G-1. . .

— . (27 -1)7 (2/7 :-1)7 £ r, 07 [I z sin C Le > COS NET, LE e] ‘ 3 J 0 et, de mème.