aTi Il [: sin = — reste

5 ° 3 1:-0 Par conséquent, les opérations I 57 3(53—: 77 Lt IE 7 ) 1, 7 aT UT rT 1.4 dr 3 2 ( 57 Jr et I 7 33 103 - :: 7 \ I (7 (7 ) 27 NT ur y: 1.2.0 27 $v" RATATE UT,

sout le résultat de la différentiation par rapport à 7 axes, faisant entre eux l'angle =; el tels, dans le premier cas, que l'axe des }° soit l’un de ces axes, et dans le se-

cond qu'il soit le bissecteur de l'angle formé par deux axes consécutifs, propriété énoncée par Maxwell, $ 140.

EXPLICATION DES PLANCIIES.

9. Ces résultats se voient bien sur les PI. VI ct suivantes :

La PI. VI représente l'harmonique du troisième ordre et de type r, l'axe des 3 est perpendiculaire au plan du papier, l’axe des x ou 3 = v est vertical. Les lignes ponctuées sont les projections orthoganales des paralléles, ct du méridien pour lcquel l’harmonique s’annule; les courbes en traits pleins sont des courbes Île long desquelles la fonction Y$l/s — 5sin?(u®— :)v est constante ct égale à L1,2,3,4,5 et 6.

Dans la PI. VIII, l'axe des : est horizontal dans le plan du papier et la fonction Y? — 55(u—+)vasin2s, le plan des xs est à 45° du papier; les courbes en traits pleins indiquent les points pour lesquels la fonction est =. 0,05, 0,10, 0,15, .

Les Pl. VII et IX représentent des harmoniques non tesséraux. Maxwell explique clairement Ilcur construction. Pour la première, il faut considérer un harmonique zonal £(15u%—4u), dans lequel p est le cosinus de la distance angulaire à un pôle situé dans le plan du papicr, sur la verticale, et un autre +(15u— ou) perpendiculaire au papicr. En prenant un nouvel ordre = horizontal, les axes des x et des y passant par les pôles primitifs, on obtient

4[5v (costs + sine) --3%(cosS + sins)]

pour l’harmonique représenté, qui sc met facilement sous forme de sommes d'harmoniques du troisième ordre, du premier ct du troisième typc.

Les mêmes axes ont été pris pour la PL. ZE.

La Planche de la page 235 représente une sphère, sur laquelle la densité’ est représentée par l’harmonique du premier ordre Cu, et change de signe à l’équatcur. Ce potentiel intéricur est

5 — re â nm LI jrru x GC où jrru x C, et la force # +C ÿ est constante ct verticale; à l'extérieur le potentiel est LC + 1 .

srAC x a ou ra Cx --;

les surfaces équipotentielles sont toutes fermées, leur prolongement serait tangent à l’axe des x à l’origine; en valeur absolue et suivant l’axe, le potentiel, nul au centre, croit jusqu’à la sphère, pour décroitre ensuite, cn raison inverse du carré de la distance au centre; sa valeur maximum est

4 nd " ÿ$r Ca.

. ON La composante verticale de la force — = St

t 43° Ü CPE > .

par suite, l'induction (voir les Notes précédentes) à travers un cercle cxtéricur à a sphère de rayon x, à la hauteur z, cst

T ‘1 55° x° + mn | 1racC < f 27TT az (> 5 )= ar — x ra C 0 LE CF] j

Les lignes de forces limitant les cercles à travers l'induction, 47, ont alors pour équation

CS

1 T° k T za C.

La partic (parasite) de ces courhes à l'intérieur de la sphère scrait tangente à l'axe des 3, et les distances auxquelles celles coupent normalement l'axe des z sont en raison inverse de D.

À l'intérieur, les lignes de forces sont verticales.

La figure correspond à des valeurs de D égales à 0, 0,5, 1,...,4, 4,5, ct à des valeurs de V croissant par degrés égaux à 0,5 de — 3 à -:- 3; si l'on suppose la constante C — À et qu'on prenne le rayon a de la sphère égal à 3 unités, dans la

figure il est de ? de pouce anglais.

Dans la 27. F, Maxwell ne s'est pas astreint à tracer les lignes de force suivant la règle du $ 193: cette règle a été appliquée sur la PI. V bis (partie droite); les lignes de force portent un numéro qui, multiplié par 47, donne l'induction à travers une surface limitée par la surface de révolution engendrée par cette ligne; on remarquera : 1° la discontinuité des directions des lignes de force quand elles arrivent à la sphère: 2° la discontinuité de l'induction dans les mèmes circonstances: la composante normale à l'intéricur n'est que la moitié de la composante normale à l'extérieur de la sphère: par conséquent, si l'on considère une calotte sphérique, l'induction à l'extérieur sera double de ce qu’elle est à l’intérieur; on pourra vérifier encore que la composante tangenticlle de la force est continue, à l'intérieur et à l'extéricur; par conséquent, l'angle de la ligne de force et de la normale à l'extérieur à une tangente moitié de langle intéricur correspondant.

Cette distribution des lignes de force, qui correspond, comme on le verra plus loin, au cas d’une sphère aïimantée uniformément, permet d'étudier la déformation que subissent les lignes de force d'un champ électrique uniforme par la présence d'une sphère conductrice isolée; en effet, la distribution étudiée sur la sphère produit à son intérieur une force constante dirigée de haut en bas (cn supposant la densité positive dans la moitié supérieure) et égale à 2; si donc on place cette sphère dans un champ électrique uniforme, où la force soit égale à 2, mais dirigée de bas en haut, la résultante sera nulle à Fintéricur; l'harmonique de preunier ordre représente donc Là distribution de l'électricité sur une sphère placée dans ce champ uniforme, et à Pextérieur, le potentiel et l'induction s'ob-

Uendront en ajoutant le potentiel du champ V.— -23,et l'induction 27x° du Ne g \ ps . 1 Z°

champ sur un cercle de rayon x, au potentiel V,= “=; ct à l'induction I, 3 7 D / 4 +.

dus à la distribution sur la sphère; on à tracé en lignes ponctuées, sur la partie sauche de la figure, les horizontales équipotentielles de - 10 à - 10 (leur distance est la moitié de l'unité de longueur choisie) et les verticales limitant les cylindres pour lesquels l'induction est 47, 87, ..., ou pour lesquels la valeur de est 1.2.3...: leur distance à l'axe est 4/2.

Eu appliquant les méthodes détaillées dans les Notes précédentes, on construit ‘des points pour lesquels le potentiel total et l'induction totale ent les valeurs 0, 1, 2, 9. Les lignes de force, ainsi construites, sont bien normales à la sphère, et le numéro d'ordre de chacune donne la charge de la portion de la sphère qu’elle découpe.

a82 17 PARTIE, CHAP. IX. — SPHÉRIQUES HARMONIQU

PI. V bis.