SURFACES DU DEUXIÈME DEGRÉ IIOMOFOCALES

1#7. Soit l'équation générale d'un système homofocal

(1) PR nt — = |.

A2— a? it }2— ci où À est un paramètre variable que nous aflecterons d’un indice suivant l'espèce de surfaces considérées : ainsi nous prendrons }, pour les hyperboloïdes à deux nappes, À, pour les hyperboloïdes à une nappe, et À, pour les ellipsoïdes. Supposons que l’ordre

«dd, 1, b. ha. C, hs.

soit celui des grandeurs croissantes de ces quantités. La quantité @ est introduite pour la symétrie, mais dans tous nos résultats nous supposerons 4 = 0.

Si l’on considère les trois surfaces dont les paramètres sont 4,, 4; et À,, on trouve, en éliminant entre leurs équations, que la valeur de æ?, à leur point d’intersection, satisfait à l'équation

(2) db? aie. at) — tr —ArUXI. ANA ati.

Les valeurs de rt et 3? S'obtiendraient par la permutation circulaire

de «, bet ce.

în différentiant cette expression par rapport à z,, on trouve

(3) ee me dr.

Si ds, est la longueur de l'arc de la courbe d'intersection de 7, et 73. qui est compris entre les surfaces À, et 2,-— dj. on à

LS 2? ! or 2 y - 2 32 3 2 (7° , ( { ' ( os1 \ … ( Lea … ( 0) ] 0 ) : rx nl { À 5» J.1 ( #3 ni t . | NULATRE Oh. CUS UNE (A it AË — D?) A - - cè !

(') Cette étude cest principalement empruntée à l'Ouvrage si intéressant de G. Lamé: ZLecons sur les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes. Paris, 1857.

Le dénominateur de cette fraction est le produit des carrés des demi-axes de la surface À..

Si nous posons

5 2 — } 7.2 2 — )° 2? 2 — }2— 2 (5) Di=42—,2, Di— 5 — 47, Di=/:— 7,3

et si nous faisons @ = :, 1l vient