SURFACES DU DEUXIÈME DEGRÉ HOMOFOCALES

tégrale de surface pour l'élément correspondant de la surface x + dz, sera d\ D: di\ D?

— —,- d3 cd — - 2 dr ec no da € M

puisque D, ne dépend pas de z. L'intégrale de surface pour les deux faces oppostes de l'élément de volume sera la somme de ces quantités. soit

da? pa da «3 dr.

De mème, les intégrales de surface pour les deux autres couples de faces opposées seront d'V D:

dŒ\ D: 1 IV 3 L da ps dax ds d: et ds: ps da d3 d'+.

Ces six faces comprennent un élément dont le volume est

ds, ds: ds, = - dx di d,

DYDHDY

et sis est la densité de volume dans cet élément, nous trouvons, en

vertu du $ 77, que l'intégrale prise sur la surface totale de cet élé-

ment, augmentée de la quantité d'électricité qui y est comprise mul-

upliée par 47, est égale à zéro, ou, eu divisant par dx, dB, dy,

OV, PV 2 PV ., , D?D:D:

co Di---, rU5 += Di -r in - = 0.

D ges TN ci

Telle est la forme que prend en coordonnées elliptiques l'équation de Laplace généralisée par Poisson.

Si: —o,le quatrième terme s'annule, et Féquation équivaut à celle de Laplace.

Pour la discussion générale de cette équation, on renvoie Île lecteur à l'ouvrage de Lamé cité plus haut.

149. Pour déterminer les quantités 2, 8, y, on peut les mettre sous forme d'intégrales elliptiques ordinaires, en introduisant les angles auxiliaires 0, & et 4; on a

(12) 2, = bsin0, (13) ds = Ve?sin?e Le D: costs,

(14) 2, = rsèct.

Si l’on pose b —£, et A°+ K'?— 1, en appelant { et 4’ les deux modules complémentaires du système homofocal, on trouve

(15) Z — [ ne — 4 us

intégrale elliptique de première espèce, que l’on peut écrire suivant la notation habituelle : F(4,0).

De mème, on a

? > (16) 9 == f (15. = FA F4, 9,

où F(#'}) est la fonction complète pour le module £,

(5 = [— EF GR) FC, "0 Vi 4: cost Ÿ

Ici x est guré comme fonction de l'angle 8, qui, par suite, doit être une fonction du paramètre À,; 8, comme une fonction de », et par suite de },; et +, conime une fonction de + ou de À.

Mais ces angles el ces paramètres peuvent être regardés comme fonctions de a, 3, +. Les propriétés de ces fonctions inverses, et d’autres qui en dépendent, sont développées dans le Traité de M. Lamé sur cette question.

Il est aisé de voir que les paramètres, étant des fonctions périodiques des angles auxiliaires, doivent être des fonctions périodiques de x, 3 et >. La période de À, et de À, est 4F(Æ), celle de X, est 2F (4).

Solutions particulières.

150. Si V est une fonction linéaire de x, 8, y, l'équation est satisfaite. Donc nous pouvons déduire de l'équation la distribution de l'électricité sur deux surfaces confocales de même famille, maintenues à des potentiels constants, et le potentiel en un point quelconque de l'espace compris entre ces surfaces.

Hyperboloïdes à deux nappes.

Sizest constant, la surface correspondante est un hyperboloïde à deux nappes. Supposons que le signe de 2 soit le même que celui de Æ sur la nappe que nous considérons. Nous pourrons ainsi n'étudier qu'une seule nappe à la fois.

HYPERBOLOIDES A DEUX NAPPES. 287

Soient 2, et x, les valeurs de x pour deux nappes particulières appartenant au même hyperboloïde ou à des hyperboloïdes différents, et soient V, et V, les potentiels auxquels elles sont maintenues. Alors, si nous posons | %1V 7 23V; … 2 V. — Vo) ,

les conditions seront satisfaites sur les deux surfaces et dans tout l’espace intermédiaire. Si nous faisons V constant et égal à V, pour tout l'espace situé au delà de la surface z,, V constant et égal à V, pour tout l'espace situé au delà de la surface #,, nous aurons la solution complète dans ce cas particulier.

La force résultante en un point quelconque de l'une ou l’autre des nappes est

N OV ox 119) RE x ds ou | …. Vi — Ve C

Si p, est la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en un point quelconque de la surface, et si P, est le produit des demiaxes de la surface, on a

P1D:D3 = Pi, d'où l’on tire

(21) Ro Si ;

c'est-à-dire qu'en un point quelconque de la surface la force résultante est proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent. La densité superficielle s se déduit de l'équation

La quantité totale d'électricité répandue sur le segment intercepté sur une des nappes de l’hyperboloïde par le plan dont l'équation est L'T- da, est

(23) QE (Si)

La quantité répandue sur la totalité de la nappe infinie est donc infinie.

Les formes limites de la surface sont les suivantes :

1° Pour 2—F(#), la surface est la partie du plan des æ3, qui est

située du côté positif de la branche positive de l’hvperbole ayant pour

équation

2° Pour 2 — 0, la surface se réduit au plan des y 5.

3° Pour 3:=— F(z), la surface se réduit à la partie du plan des æ3 qui est du côté négatif de la branche négative de l'hyperbole dont il a été parlé plus haut.

Hyperboloïde à une nappe.

En faisant 8 constant, nous obtenons l'équation de l'hyperboloïde à une nappe. Les deux surfaces qui limitent le champ électrique doivent donc appartenir à deux hyperboloïdes différents. Pour tout le reste. l’étude est la mème que pour les hyperboloïdes à deux nappes; quand la différence des potentiels est donnée, la densité en un point quelconque de la surface est proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent, et la quantité totale répandue sur la nappe infinie est infinie.

Les formes limites de la surface sont les suivantes :

1° Quand ? —0, la surface est la partie du plan des x3 comprise entre les branches de l'hyperbole dont l'équation a été donnée plus haut (24).

2° Quand 5 —F(£") la surface est la partie du plan des y extérieure à l’ellipse homofocale dont l'équation est

Ellipsoides.

est constant pour un ellipsoïde donné. Si deux ellipsoïdes +, et ÿ2 sont maintenus à des potentiels V, et V,, nous avons en un point quelconque + de l’espace intermédiaire

(26) V— 4171: ul,

où p;, est la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent, et P, le produit des demi-axes.